Calculus II-sekwencje
Pokaż powiadomienia mobilne Pokaż wszystkie notatki Ukryj wszystkie notatki
sekcja 4-1 : Sekwencje
zacznijmy ten rozdział od omówienia, czym jest sekwencja. Sekwencja to nic innego jak lista liczb zapisanych w określonej kolejności. Lista może, ale nie musi, zawierać w sobie nieskończoną liczbę terminów, chociaż będziemy mieli do czynienia wyłącznie z nieskończonymi sekwencjami w tej klasie. Ogólne terminy sekwencji są oznaczane w następujący sposób,
\
ponieważ będziemy mieli do czynienia z nieskończonymi sekwencjami, każde wyrażenie w sekwencji będzie poprzedzone innym terminem, jak wspomniano powyżej. W notacji powyżej musimy być bardzo ostrożni z indeksami. Indeks dolny \(N + 1\) oznacza następny wyraz w sekwencji, a nie jeden plus \(n^{\mbox{th}}\)! Innymi słowy,
\
więc bądź bardzo ostrożny podczas pisania indeksów, aby upewnić się, że „+1” nie migruje z indeksu dolnego! Jest to łatwy błąd do popełnienia, gdy po raz pierwszy zaczynasz mieć do czynienia z tego rodzaju rzeczami.
istnieje wiele sposobów oznaczania sekwencji. Każdy z poniższych sposobów jest równorzędnym oznaczeniem sekwencji.
\
w drugim i trzecim zapisie powyżej an jest zwykle dana wzorem.
kilka notatek jest teraz w porządku na temat tych notacji. Po pierwsze, zwróć uwagę na różnicę między drugim i trzecim zapisem powyżej. Jeśli punkt wyjścia nie jest ważny lub jest w jakiś sposób implikowany przez problem, często nie jest zapisywany tak, jak to zrobiliśmy w trzeciej notacji. Następnie użyliśmy punktu początkowego \(N = 1\) tylko w trzeciej notacji, abyśmy mogli zapisać jeden. Nie ma absolutnie żadnego powodu, aby sądzić, że sekwencja rozpocznie się od \(N = 1\). Sekwencja rozpocznie się tam, gdzie trzeba.
rzućmy okiem na kilka sekwencji.
- \(\displaystyle\ left \{{\frac{{n + 1}}{{{N^2}}} \right\}_{n = 1}^\infty\)
- \(\displaystyle\ left \{{\frac {{- 1} \right)}^{N + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{N = 0}^\infty \)
- \(\left\ {{b_n}} \right\}_{N = 1}^\infty \), where \({b_n} = {n^{th}} {\MBOX {digit of }}\pi \)
Pokaż wszystkie rozwiązania Ukryj wszystkie rozwiązania
aby uzyskać tutaj kilka pierwszych terminów sekwencji, wystarczy podłączyć wartości \(n\) do podanej formuły i otrzymamy sekwencję warunki.
\
zwróć uwagę na włączenie ” … ” na końcu! Jest to ważny element zapisu, ponieważ jest to jedyna rzecz, która mówi nam, że ciąg kontynuuje się i nie kończy w ostatnim wyrazie.
b \(\displaystyle \left\{ {\frac {{{\left ({- 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^N}}}} \right\}_{N = 0}^\infty \) Pokaż rozwiązanie
To jest podobne do pierwszego. Główną różnicą jest to, że sekwencja ta nie zaczyna się od \(n = 1\).
\
zauważ, że terminy w tej sekwencji zmieniają się w znakach. Sekwencje tego rodzaju nazywane są czasami sekwencjami przemiennymi.
C \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{N = 1}^\infty \), gdzie \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \) pokazuje rozwiązanie
sekwencja ta różni się od dwóch pierwszych w tym sensie, że nie ma określonego wzoru dla każdego wyrażenia. Jednak mówi nam, jaki powinien być każdy termin. Każdy wyraz powinien być N-tą cyfrą \(\pi\). Więc wiemy, że \(\pi = 3.14159265359 \ldots \)
sekwencja jest wtedy,
\
w pierwszych dwóch częściach poprzedniego przykładu zauważ, że tak naprawdę traktowaliśmy formuły jako funkcje, które mogą mieć tylko liczby całkowite podłączone do nich. Lub,
\
jest to ważna idea w badaniu sekwencji (i serii). Traktowanie terminów sekwencji jako oceny funkcji pozwoli nam robić wiele rzeczy z sekwencjami, których nie moglibyśmy zrobić inaczej. Zanim jednak zagłębimy się w ten pomysł, musimy usunąć z drogi jeszcze kilka pomysłów.
najpierw chcemy pomyśleć o „wykresie” sekwencji. Aby narysować ciąg \(\left \ {{{a_n}} \ right\}\) rysujemy punkty \(\left ({n, {a_n}} \right)\) jako zakresy \(n\) dla wszystkich możliwych wartości na wykresie. Na przykład, narysujmy sekwencję \(\left \ {{\frac {{n + 1}} {{N^2}}} \right\}_{n = 1}^\infty\). Pierwsze kilka punktów na wykresie to,
\
wykres, dla pierwszych 30 wyrazów ciągu, To,
Ten wykres prowadzi nas do ważnego pojęcia o sekwencjach. Zauważ, że gdy \(n\) zwiększa terminy sekwencji w naszej sekwencji, w tym przypadku zbliżamy się i zbliżamy do zera. Następnie mówimy, że zero jest granicą (lub czasami wartością graniczną) sekwencji i piszemy,
\
ta notacja powinna wyglądać znajomo. Jest to ten sam zapis, którego użyliśmy, gdy mówiliśmy o granicy funkcji. W rzeczywistości, jeśli pamiętacie, powiedzieliśmy wcześniej, że możemy myśleć o sekwencjach jako funkcjach w jakiś sposób, więc ta notacja nie powinna być zbyt zaskakująca.
korzystając z pomysłów, które opracowaliśmy dla granic funkcji, możemy zapisać następującą definicję roboczą dla granic sekwencji.
robocza definicja granicy
- mówimy, że \
Jeśli możemy zrobić tak blisko \(L\), jak chcemy dla wszystkich wystarczająco dużych \(n\). Innymi słowy, wartość podejścia \ ({a_n}\) \(L\) jako \(n\) zbliża się do nieskończoności.
- mówimy, że \
Jeśli możemy zrobić tak duże, jak chcemy dla wszystkich wystarczająco dużych \(n\). Innymi słowy, wartość \({a_n}\) staje się coraz większa i większa bez wiązania, gdy \(n\) zbliża się do nieskończoności.
- mówimy, że \
Jeśli możemy zrobić tak duże i ujemne, jak chcemy dla wszystkich wystarczająco dużych \(n\). Innymi słowy, wartość \ ({a_n}\) ’ S jest ujemna i staje się coraz większa bez wiązania, gdy \(n\) zbliża się do nieskończoności.
robocze definicje różnych granic sekwencji są miłe, ponieważ pomagają nam wizualizować, czym właściwie jest granica. Podobnie jak w przypadku granic funkcji, istnieje również dokładna definicja dla każdej z tych granic. Podajmy je przed przejściem
precyzyjna definicja granicy
- mówimy, że \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = L\) Jeśli dla każdej liczby \(\varepsilon > 0\) istnieje liczba całkowita \(n\) taka, że \
- We powiedzmy, że \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) jeśli dla każdej liczby \(m > 0\) istnieje liczba całkowita \(n\) taka, że \
- mówimy, że \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = – \infty \) jeśli dla każdej liczby \(m < 0\) jest liczba całkowita \(N\) tak, że \
nie będziemy często używać dokładnej definicji, ale pojawi się ona od czasu do czasu.
zauważ, że obie definicje mówią nam, że aby granica istniała i miała skończoną wartość, wszystkie terminy sekwencji muszą być coraz bliżej tej skończonej wartości, gdy\ (n\) wzrasta.
teraz, gdy mamy definicje granicy sekwencji z drogi, mamy trochę terminologii, na którą musimy się przyjrzeć. Jeśli \(\mathop {\lim} \ limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) istnieje i jest skończona mówimy, że ciąg jest zbieżny. Jeśli \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) nie istnieje lub jest nieskończona mówimy, że sekwencja jest rozbieżna. Zauważ, że czasami powiemy, że sekwencja różni się od \(\infty \) jeśli \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ do \ infty } {a_n} = \ infty \) i jeśli \(\mathop {\lim }\limits_{n \do \infty } {a_n} = – \infty\) czasami powiemy, że sekwencja różni się od \( – \infty\).
przyzwyczaić się do terminów „zbieżny” i „rozbieżny”, jak będziemy je zobaczyć sporo w tym rozdziale.
więc jak znaleźć granice sekwencji? Większość granic większości sekwencji można znaleźć za pomocą jednego z poniższych twierdzeń.
twierdzenie 1
biorąc pod uwagę ciąg \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) jeśli mamy funkcję \(f\left( x \right)\) taką, że \(f\left( n \right) = {a_n}\) i \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\), to \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = l\)
to twierdzenie zasadniczo mówi nam, że bierzemy granice sekwencji, podobnie jak bierzemy granice funkcji. W rzeczywistości, w większości przypadków nie będziemy nawet używać tego twierdzenia przez jawne zapisywanie funkcji. Częściej będziemy traktować granicę tak, jakby była to granica funkcji i bierzemy ją tak, jak zawsze w rachunku różniczkowym I, kiedy przyjmowaliśmy granice funkcji.
więc teraz, kiedy wiemy, że wzięcie granicy ciągu jest prawie identyczne jak wzięcie granicy funkcji, wiemy również, że wszystkie właściwości z granic funkcji również będą się trzymać.
właściwości
Jeśli \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) I \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) są sekwencjami zbieżnymi, to
- \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} \PM \mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty} {a_n}\)
- \(\mathop {\Lim} \limits_{N\to\infty}\left ({{a_n}\, {b_n}} \right) = \left ({\mathop {\Lim}\limits_{N \to \infty} {a_n}} \right) \left ({\mathop {\lim \limits_{n \to \infty} {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim} \limits_{N \to \infty} \frac {{a_n}}} {{b_n}} = \frac {{\mathop {\lim} \limits_ {N \to \infty} {a_n}} {{\mathop {\lim}} {{limits_{n\to \infty} {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{provided }}\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) provided \({a_n} \ge 0\)
te właściwości można udowodnić za pomocą twierdzenia 1 powyżej i właściwości limitu funkcji widzieliśmy w rachunku różniczkowym i lub możemy udowodnić je bezpośrednio za pomocą precyzyjnego definicja granicy przy użyciu prawie identycznych dowodów właściwości granicy funkcji.
następnie, tak jak mieliśmy twierdzenie o ściśnięciu dla granic funkcji, mamy również jedno dla sekwencji i jest prawie identyczne z wersją limitu funkcji.
twierdzenie o ściśnięciu dla sekwencji
If \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) for all \(n > n\) for some \(N\) and \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = l\) then \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {c_n} = l\).
zauważ, że w tym twierdzeniu „dla wszystkich \(n> n\) dla niektórych \(N\)” tak naprawdę mówi nam, że musimy mieć \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) dla wszystkich wystarczająco dużych \(n\), ale jeśli nie jest prawdą dla pierwszych kilku \(n\), to nie unieważni twierdzenia.
jak zobaczymy nie wszystkie sekwencje mogą być zapisywane jako funkcje, których faktycznie możemy przyjąć granicę. Będzie to szczególnie prawdziwe dla sekwencji, które zmieniają się w znakach. Chociaż zawsze możemy zapisać te terminy sekwencji jako funkcję, po prostu nie wiemy, jak przyjąć granicę takiej funkcji. Poniższe twierdzenie pomoże w niektórych z tych sekwencji.
twierdzenie 2
If \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) then \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = 0\).
zauważ, że aby twierdzenie to utrzymywało granicę musi być zerową i nie będzie działać dla ciągu, którego granica nie jest zerowa. To twierdzenie jest dość łatwe do udowodnienia, więc zróbmy to.
dowód twierdzenia 2
najważniejsze w tym dowodzie jest zwrócenie uwagi, że
\
następnie należy zauważyć, że
\
mamy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) i tak przez twierdzenie o ściśnięciu musimy również mieć,
\
następne twierdzenie jest użytecznym twierdzeniem dającym zbieżność/dywergencję i wartość (gdy jest zbieżna) sekwencji powstającej przy okazji.
twierdzenie 3
Sekwencja \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{N = 0}^\infty \) zbiega się, jeśli \( – 1< r \le 1\) i różni się dla wszystkich innych wartości \(r\). Ponadto,
\
tutaj jest szybki (NO nie tak szybki, ale zdecydowanie prosty) częściowy dowód tego twierdzenia.
częściowy dowód twierdzenia 3
zrobimy to przez serię przypadków, chociaż ostatni przypadek nie zostanie całkowicie udowodniony.
Przypadek 1 : \(r > 1\)
z rachunku różniczkowego I wiemy, że \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) jeśli \(r > 1\) i tak z powyższego twierdzenia 1 wiemy również, że \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {R^n} = \infty \) i tak Sekwencja różni się jeśli \(R > 1\).
Przypadek 2 : \(R = 1\)
w tym przypadku mamy,
\
więc Sekwencja zbiega się do \(r = 1\) i w tym przypadku jej granica wynosi 1.
Przypadek 3 : \(0 < r < 1\)
z rachunku różniczkowego I wiemy, że \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) jeśli \(0 < r < 1\) i tak z powyższego twierdzenia 1 wiemy również, że \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {R^n} = 0\) i tak ciąg zbiegnie się, jeśli \(0 < r < 1\) i w w tym przypadku jego granica wynosi zero.
przypadek 4 : \(R = 0\)
w tym przypadku mamy,
\
więc Sekwencja zbiega się do \(R = 0\) i w tym przypadku jej granica wynosi zero.
przypadek 5 : \( – 1< r< 0\)
najpierw zauważmy, że jeśli \( – 1< r< 0\) then \(0< \Left| r \right|< 1\) then by case 3 above we have,
\
theorem 2 above now tells us that we must also have, \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {R^n} = 0\) and so if \( – 1< r< 0\) Sekwencja zbiega się i ma limit 0.
przypadek 6 : \(r = – 1\)
w tym przypadku sekwencja jest następująca,
\
i miejmy nadzieję, że jest jasne, że \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) nie istnieje. Przypomnijmy, że aby to ograniczenie istniało, warunki muszą zbliżać się do pojedynczej wartości, gdy \(n\) wzrasta. W tym przypadku jednak wyrażenia po prostu zmieniają się między 1 i -1 i tak granica nie istnieje.
tak więc Sekwencja różni się od \(r = – 1\).
przypadek 7 : \(r< – 1\)
w tym przypadku nie przejdziemy przez kompletny dowód. Zobaczmy, co się stanie, jeśli na przykład pozwolimy \(r = – 2\). Jeśli to zrobimy, Sekwencja staje się,
\
więc, jeśli \(r = – 2\) otrzymamy sekwencję terminów, których wartości zmieniają się w znak i stają się większe i większe, a więc \(\mathop {\lim } \ limits_{N \ to \ infty } {\left( { – 2} \ right)^n}\) nie istnieje. Nie rozkłada się do pojedynczej wartości, gdy \(n\) wzrasta, ani Warunki Wszystkie nie zbliżają się do nieskończoności. Tak więc Sekwencja różni się dla \(r = – 2\).
możemy zrobić coś podobnego dla dowolnej wartości \(r\), takiej jak \(r< – 1\) i tak Sekwencja różni się dla \(r< – 1\).
przyjrzyjmy się kilku przykładom granic sekwencji.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10N + 5{n^2}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{\BF {e}}^{2n}}} {n}} \right\}_{N = 1}^\infty \)
- \(\left\ {{\displaystyle \frac {{{\left ({- 1} \right)}^n}}} {n}} \right\}_{N = 1}^\infty \)
- \(\left\ {{{{\left ({- 1} \right)}^n}} \right\}_{N = 0}^\infty \)
pokaż wszystkie rozwiązania ukryj wszystkie rozwiązania
w tym przypadku wystarczy przypomnieć sobie metodę, która została opracowany w rachunku różniczkowym I do czynienia z granicami funkcji racjonalnych. Zobacz granice w nieskończoności, Część I sekcja rachunku różniczkowego i uwagi do przeglądu tego, jeśli trzeba.
aby obliczyć granicę w tej postaci wystarczy z licznika i mianownika odjąć największą potęgę \(n\), anulować, a następnie przyjąć granicę.
\
tak więc ciąg jest zbieżny, a jego granica to \(\frac{3}{5}\).
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{N = 1}^\infty \) Pokaż rozwiązanie
będziemy musieli być ostrożni z tym. Będziemy musieli użyć reguły l ’ Hospitala w tej sekwencji. Problem w tym, że reguła l ’ Hospitala działa tylko na funkcjach, a nie na sekwencjach. Normalnie byłoby to problemem, ale mamy twierdzenie 1 z góry, które nam pomoże. Zdefiniujmy
\
i zauważmy, że
\
twierdzenie 1 mówi, że wszystko, co musimy zrobić, to wziąć granicę funkcji.
\
tak więc Sekwencja w tej części różni się (do \(\infty \)).
najczęściej wykonujemy regułę l ’ Hospitala na terminach sekwencyjnych bez uprzedniej konwersji na \(x\), ponieważ praca będzie identyczna niezależnie od tego, czy użyjemy \(x\) czy \(n\). Jednak naprawdę powinniśmy pamiętać, że technicznie nie możemy robić pochodnych, gdy mamy do czynienia z terminami sekwencji.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{\left ({- 1} \right)}^n}}} {n}} \right\}_{N = 1}^\infty \) Pokaż rozwiązanie
będziemy również musieli być ostrożni z tą sekwencją. Możemy pokusić się o stwierdzenie, że granica wyrazów sekwencji wynosi zero (i mamy rację). Jednak technicznie nie możemy przyjąć granicy sekwencji, których wyrazy zmieniają się w znak, ponieważ nie wiemy, jak wykonać granice funkcji, które wykazują to samo zachowanie. Ponadto chcemy być bardzo ostrożni, aby nie polegać zbytnio na intuicji w tych problemach. Jak zobaczymy w następnej sekcji, i w późniejszych sekcjach, nasza intuicja może doprowadzić nas na manowce w tych problemach, jeśli nie będziemy ostrożni.
więc popracujmy nad tym według zasad. Będziemy musieli użyć twierdzenia 2 na ten problem. Do tego musimy najpierw obliczyć,
\
dlatego, ponieważ granica terminów sekwencji z bezwzględnymi słupkami wartości na nich idzie do zera wiemy z twierdzenia 2, że,
\
co również oznacza, że sekwencja zbiega się do wartości zero.
D \(\left\ {{{\left ({- 1} \right)}^n}} \right\}_{N = 0}^\infty \) Pokaż rozwiązanie
dla tego twierdzenia zauważ, że wszystko, co musimy zrobić, to uświadomić sobie, że jest to ciąg w twierdzeniu 3 powyżej za pomocą \(r = – 1\). Tak więc, przez twierdzenie 3 ten ciąg się rozdziela.
musimy teraz dać ostrzeżenie o niewłaściwym użyciu twierdzenia 2. Twierdzenie 2 działa tylko wtedy, gdy granica wynosi zero. Jeśli granica wartości bezwzględnej wyrazów ciągu nie jest równa zeru, to twierdzenie nie zostanie utrzymane. Ostatnia część poprzedniego przykładu jest dobrym tego przykładem (i faktycznie to Ostrzeżenie jest powodem, dla którego ta część tam jest). Zauważ, że
\
a jednak \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) nie istnieje nawet równe 1. Więc uważaj używając tego twierdzenia 2. Musisz zawsze pamiętać, że działa tylko wtedy, gdy limit wynosi zero.
zanim przejdziemy do następnej sekcji, musimy podać jeszcze jedno twierdzenie, które będzie nam potrzebne do udowodnienia.
twierdzenie 4
dla sekwencji \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) jeśli zarówno \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n}} = L\), jak i \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\), to \(\left\ {{a_n}} \right\}\) jest zbieżny i \(\mathop {\Lim }\limits_ {n \to \infty} {a_n} = l\).
dowód twierdzenia 4
Let \(\varepsilon> 0\).
then since \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n}} = L\) there is an \({n_1} > 0\) such that if \(n > {n_1}\) we know that,
\
podobnie, ponieważ \(\Mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) istnieje \({n_2} > 0\) taki, że jeśli \(n > {n_2}\) wiemy, że
\
teraz,let \(n = \max \left\{ {2{n_1}, 2{n_2} + 1} \Right\}\) i Let \(n > n\). Następnie \({a_n} = {a_{2K}}\) dla niektórych \(k > {N_1}\) lub \({a_n} = {a_{2K + 1}}\) dla niektórych \(k > {N_2}\) i tak w obu przypadkach mamy to,
\
dlatego \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = L\) i tak \(\Left\{ {{a_n}} \right\}\) jest zbieżne.