Elipsa
elipsa zwykle wygląda jak zgnieciony okrąg:
„F” to ognisko, „G” to ognisko,
i razem nazywane są ogniskami.
(wymawiane „fo-westchnienie”)
całkowita odległość od F do P do G pozostaje taka sama
innymi słowy, zawsze pokonujemy tę samą odległość, przechodząc z:
- punkt „F” do
- do dowolnego punktu na elipsie
- a następnie do punktu „g”
możesz narysować go samodzielnie
umieścić Dwa Piny w planszy, a następnie …
Umieść pętlę łańcucha wokół nich,
włóż ołówek do pętli,
rozciągnij łańcuch tak, aby tworzył Trójkąt,
i narysuj krzywą.
To jest elipsa!
to działa, ponieważ łańcuch naturalnie wymusza taką samą odległość od pin-to-pencil-to-other-pin.
okrąg jest elipsą
w rzeczywistości okrąg jest elipsą, gdzie oba ogniska znajdują się w tym samym punkcie (centrum).
innymi słowy, okrąg jest „szczególnym przypadkiem” elipsy. Elipsy Rządzą!
definicja
elipsa jest zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległości od dwóch stałych punktów F I G sumują się do stałej.
osie główne i mniejsze
oś główna jest najdłuższą średnicą. Przechodzi z jednej strony elipsy, przez środek, na drugą stronę, w najszerszej części elipsy. A Oś mniejsza jest najkrótszą średnicą (w najwęższej części elipsy).
Oś Półgłówna jest połową osi głównej, a oś półgłówna jest połową osi mniejszej.
oś główna równa się f+g
Pamiętaj od góry, jak Odległość „f+g” pozostaje taka sama dla elipsy?
dobrze f+g jest równa długości osi głównej.
możesz pomyśleć dlaczego? (Spróbuj przesunąć punkt P na górze.)
obliczenia
powierzchnia jest łatwa, Obwód nie jest!
Powierzchnia
powierzchnia elipsy wynosi:
π × a × b
gdzie A jest długością osi pół-większej, A b jest długością osi pół-mniejszej.
uważaj: a i b są od środka na zewnątrz (nie do końca).
(uwaga: dla okręgu, a i b są równe promieniowi i otrzymujemy π × r × r = nr2, co jest słuszne!)
przybliżenie obwodu
co dziwne, Obwód elipsy jest bardzo trudny do obliczenia, więc stworzyłem specjalną stronę dla tematu: przeczytaj Obwód elipsy, aby uzyskać więcej szczegółów.
ale proste przybliżenie, które mieści się w około 5% wartości rzeczywistej (o ile a jest nie więcej niż 3 razy dłuższe niż b) jest następujące:
pamiętaj, że to tylko przybliżenie przybliżone! (Dlatego „znak równości” jest zawiły.)
styczna
linia styczna dotyka krzywej w jednym punkcie, nie przecinając jej.Tutaj jest styczna do elipsy:
tutaj jest fajna rzecz: linia styczna ma równe kąty, a dwie linie idą do każdego ogniska!Spróbuj połączyć te dwa punkty ostrości (a więc elipsa jest okręgiem)… co zauważyłeś?
odbicie
światło lub dźwięk zaczynające się w jednym punkcie ostrości odbija się na drugim punkcie ostrości (ponieważ kąt w dopasowuje się do kąta Na Zewnątrz):
baw się prostym komputerowym modelem odbicia wewnątrz elipsy.
Mimośrodowość
mimośrodowość jest miarą tego, jak „nie okrągła” jest elipsa.
wzór (przy użyciu osi pół-dur i pół-moll) to:
√(A2−b2)a
Odcinek stożka
Możesz również uzyskać elipsę po przecięciu stożka (ale nie za stromy kawałek lub dostajesz parabolę lub hiperbolę).
w rzeczywistości elipsa jest odcinkiem stożkowym (odcinkiem stożka) o mimośrodzie między 0 a 1.
równanie
umieszczając elipsę na wykresie x-y (z osią Główną na osi x i osią mniejszą na osi y), równanie krzywej wynosi:
x2a2 + y2b2 = 1
(podobnie do równania hiperboli: X2/A2-Y2/B2 = 1, z wyjątkiem „+” zamiast” -„)
lub możemy „równania parametryczne”, gdzie mamy inną zmienną „t” i obliczamy z niej X i y, jak to:
- x = A cos(t)
- y = b sin(t)
(wyobraź sobie „t” idące od 0° do 360°, jakie wartości X i y otrzymamy?)