Kursy

Obliczanie prawdopodobieństwa (ryzyka) vs kursy

w statystykach kursy są wyrażeniem względnego prawdopodobieństwa, Zwykle cytowanym jako kurs na korzyść. Kurs (na korzyść) zdarzenia lub propozycji jest stosunkiem prawdopodobieństwa, że zdarzenie nastąpi do prawdopodobieństwa, że zdarzenie nie nastąpi. Matematycznie jest to próba Bernoulliego, ponieważ ma dokładnie dwa wyniki. W przypadku skończonej przestrzeni próbnej równie prawdopodobnych wyników, jest to stosunek liczby wyników, w których zdarzenie występuje do liczby wyników, w których zdarzenie nie występuje; mogą one być reprezentowane jako W I L (dla zwycięstw i porażek) lub S I F (dla sukcesu i porażki). Na przykład prawdopodobieństwo, że losowo wybrany dzień tygodnia jest weekendem, wynosi od 2 do 5 (2:5), ponieważ dni tygodnia tworzą przestrzeń próbną siedmiu wyników, a zdarzenie ma miejsce dla dwóch wyników (sobota i niedziela), a nie dla pozostałych pięciu. Z drugiej strony, biorąc pod uwagę kurs jako stosunek liczb całkowitych, może to być reprezentowane przez przestrzeń prawdopodobieństwa skończonej liczby równie prawdopodobnych wyników. Definicje te są równoważne, ponieważ podzielenie obu pojęć w stosunku przez liczbę wyników daje prawdopodobieństwo: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7).}

odwrotnie, szanse przeciw są odwrotne. Na przykład, szanse na losowy dzień tygodnia będący weekendem wynoszą 5:2.

szanse i prawdopodobieństwo można wyrazić prozą za pomocą przyimków do i w: „odds of so many to so many on (or against)” odnosi się do kursów – stosunku liczby (równie prawdopodobnych) wyników na korzyść i przeciw (lub odwrotnie); „chances of So many , in so many” odnosi się do prawdopodobieństwa – liczby (równie podobnych) wyników na korzyść w stosunku do liczby za i przeciw razem. Na przykład” szanse na weekend wynoszą 2 do 5″, podczas gdy”szanse na weekend wynoszą 2 do 7″. W codziennym użyciu słowa szanse i szanse (lub szansa) są często używane zamiennie, aby niejasno wskazać pewną miarę szans lub prawdopodobieństwa, chociaż zamierzone znaczenie można wywnioskować, zauważając, czy przyimek między dwiema liczbami jest to, czy in.

zależności Matematyczneedit

kursy mogą być wyrażone jako stosunek dwóch liczb, w którym to przypadku nie jest unikalny – skalowanie obu terminów tym samym współczynnikiem nie zmienia proporcji: kursy 1:1 i 100:100 są takie same (kursy parzyste). Kurs może być również wyrażony jako liczba, dzieląc wyrazy w stosunku-w tym przypadku jest unikalny (różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną). Kursy jako stosunek, kursy jako liczba i prawdopodobieństwo (również Liczba) są powiązane za pomocą prostych formuł, a podobnie kursy na korzyść i kursy przeciw, a prawdopodobieństwo sukcesu i prawdopodobieństwo porażki mają proste relacje. Kursy wahają się od 0 do nieskończoności, podczas gdy prawdopodobieństwa wahają się od 0 do 1, a zatem są często przedstawiane jako procent od 0% do 100%: odwrócenie współczynnika zmienia kurs na kurs przeciw, podobnie prawdopodobieństwo sukcesu na prawdopodobieństwo porażki.

Podane kursy (na korzyść) jako stosunek W:L (wygrane:straty), kursy na korzyść (jako liczba) o f {\displaystyle o_{f}}

I kursy przeciwko (jako liczba) o A {\displaystyle o_{a}}

można obliczyć po prostu dzieląc i są odwrotnościami mnożnikowymi: o f = W / L = 1 / o A o A = L / W = 1 / O f O f ⋅ o A = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=w/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/w=1/o_{f}\\o_{F}\cdot o_{a}&=1\End{aligned}}}

analogicznie, biorąc pod uwagę kursy jako stosunek, prawdopodobieństwo sukcesu lub porażki można obliczyć dzieląc, a prawdopodobieństwo sukcesu i prawdopodobieństwo porażki sumują się do jedności (jedynki), ponieważ są to jedyne możliwe wyniki. W przypadku skończonej liczby równie prawdopodobnych wyników, można to zinterpretować jako liczbę wyników, w których zdarzenie występuje, podzieloną przez całkowitą liczbę zdarzeń:

p = W / ( W + L ) = 1 − q q = L / ( W + L ) = 1 − p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}

biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo P, kurs jako stosunek wynosi p : q {\displaystyle P:q}

(prawdopodobieństwo sukcesu do prawdopodobieństwa porażki), a szanse jako liczby można obliczyć dzieląc: lub f = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q a = q / p = ( 1 − p ) / p = q / ( 1 − q ) {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}

Conversely, given the odds as a number o f , {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi o_{f},}

this can be represented as the ratio o f : 1 , {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi o_{f}:1,}

lub odwrotnie 1 : ( 1 / o f ) = 1 : o A, {\displaystyle 1:(1/o_{F})=1:o_{a},}

z którego można obliczyć prawdopodobieństwo sukcesu lub porażki: p = o f / ( o F + 1 ) = 1 / ( o A + 1 ) q = o A / ( o A + 1 ) = 1 / ( o f + 1 ) {\displaystyle {\begin{align}p&=o_{f}/(o_{F}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{F}+1)\end{aligned}}}

zatem, jeśli wyrażone jako ułamek z licznikiem 1, prawdopodobieństwo I kurs różnią się dokładnie o 1 w mianowniku: Prawdopodobieństwo 1 do 100 (1/100 = 1%) jest takie samo jak Kursy od 1 do 99 (1/99 = 0,0101… = 0.01), podczas gdy kurs od 1 do 100 (1/100 = 0,01) jest taki sam jak Prawdopodobieństwo 1 do 101 (1/101 = 0,00990099… = 0.0099). Jest to niewielka różnica, jeśli prawdopodobieństwo jest małe (bliskie zeru lub „długie kursy”), ale jest to duża różnica, jeśli prawdopodobieństwo jest duże (bliskie zeru).

te są opracowane dla kilku prostych kursów:

odds (ratio)	o f {\displaystyle o_{f}}	o a {\displaystyle o_{a}}	p {\displaystyle p}	q {\displaystyle q}
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	67%	33%
1:2	0.5	2	33%	67%
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%
9:1	9	0.1	90%	10%
10:1	10	0.1	90.90%	9.09%
99:1	99	0.01	99%	1%
100:1	100	0, 01	99, 0099%	0, 9900%

te przekształcenia mają pewne specjalne właściwości geometryczne: konwersje między kursami for i odds against (lub. prawdopodobieństwo sukcesu z prawdopodobieństwem porażki) oraz między prawdopodobieństwem a prawdopodobieństwem są wszystkie transformacje Möbiusa (ułamkowe przekształcenia liniowe). Są one zatem określone przez trzy punkty (Ostro 3-przechodnie). Wymiana kursów na i kursy na swapy 0 i Nieskończoność, ustalanie 1, natomiast Zamiana prawdopodobieństwa sukcesu na prawdopodobieństwo niepowodzenia swapy 0 i 1, ustalanie .5; oba są rzędu 2, stąd przekształcenia kołowe. Przeliczanie kursów na prawdopodobieństwo naprawia 0, wysyła nieskończoność do 1 i wysyła 1 do .5 (prawdopodobieństwo parzystości wynosi 50%) i odwrotnie; jest to transformata paraboliczna.

Zastosowaniaedit

w teorii prawdopodobieństwa i statystyce kursy i podobne współczynniki mogą być bardziej naturalne lub wygodniejsze niż prawdopodobieństwa. W niektórych przypadkach stosuje się log-odds, czyli logit prawdopodobieństwa. Najprościej rzecz ujmując, kursy są często mnożone lub dzielone, a log przekształca mnożenie w dodawanie, a dzielenie W odejmowanie. Jest to szczególnie ważne w modelu logistycznym, w którym log-szanse zmiennej docelowej są liniową kombinacją obserwowanych zmiennych.

podobne współczynniki stosuje się gdzie indziej w statystykach; centralne znaczenie ma współczynnik prawdopodobieństwa w statystykach likelihoodystycznych, który jest używany w statystykach Bayesa jako współczynnik Bayesa.

kursy są szczególnie przydatne w problemach sekwencyjnego podejmowania decyzji, jak na przykład w problemach zatrzymania (online) ostatniego konkretnego zdarzenia, które jest rozwiązywane przez algorytm kursów.

kursy są stosunkiem prawdopodobieństw; iloraz szans jest ilorazem szans, czyli ilorazem ilorazów prawdopodobieństw. Kursy-współczynniki są często używane w analizie badań klinicznych. Chociaż mają użyteczne właściwości matematyczne, mogą generować przeciwintuicyjne wyniki: Zdarzenie z 80% prawdopodobieństwem wystąpienia jest cztery razy bardziej prawdopodobne niż Zdarzenie z 20% prawdopodobieństwem, ale Kurs jest 16 razy wyższy w przypadku mniej prawdopodobnego zdarzenia (4-1 przeciwko lub 4) niż w przypadku bardziej prawdopodobnego zdarzenia (1-4 lub 4-1 na lub 0,25).

przykład # 1 jest 5 różowych kulek, 2 niebieskie i 8 fioletowych kulek. Jakie są szanse na wybranie niebieskiego marmuru?

odpowiedź: szanse na blue marble wynoszą 2: 13. Można powiedzieć, że szanse są 13:2 przeciw. Są 2 z 15 szans na korzyść niebieskiego, 13 z 15 przeciwko niebieskiemu.

w teorii prawdopodobieństwa i statystyce, gdzie zmienna p jest prawdopodobieństwem na korzyść zdarzenia binarnego, a prawdopodobieństwo przeciw zdarzeniu wynosi zatem 1-p, „szanse” zdarzenia są ilorazem dwóch, lub p 1 − p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}

. Wartość ta może być traktowana jako względne prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, wyrażone jako ułamek (jeśli jest mniejszy niż 1) lub wielokrotność (jeśli jest równa lub większa niż jeden) prawdopodobieństwa, że zdarzenie nie nastąpi.

w pierwszym przykładzie na górze mówiąc, że szanse na niedzielę wynoszą „jeden do sześciu” lub, rzadziej, „jedna szósta” oznacza, że prawdopodobieństwo przypadkowego wybrania niedzieli jest jedną szóstą prawdopodobieństwa nie wybrania niedzieli. Podczas gdy matematyczne prawdopodobieństwo zdarzenia ma wartość w zakresie od zera do jedynki, „szanse” na korzyść tego samego zdarzenia leżą między zerem a nieskończonością. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia z prawdopodobieństwem podanym jako P wynosi 1-p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}

. Szanse na niedzielę wynoszą 6:1 lub 6/1 = 6. Jest 6 razy bardziej prawdopodobne, że losowy dzień nie jest niedzielą.