prędkość kątowa i liniowa oraz RPM
sektory, obszary i Arcword Problemyangularna, liniowa prędkość
Purplemath
z jakiegoś powodu wydaje się, że dość często podręczniki zwracają się do kwestii prędkości kątowej, prędkości liniowej i obrotów na minutę (rpm) krótko po wyjaśnieniu sektorów okręgu, ich obszarów i długości łuku.
długość łuku to odległość odcinka wokół okręgu; a odległość liniowa pokonana przez, powiedzmy, rower jest związana z promieniem opon roweru. Jeśli zaznaczysz jeden punkt na przedniej oponie roweru (powiedzmy punkt naprzeciwko Zaworu Opony) i policzysz liczbę obrotów koła, możesz znaleźć liczbę obwodów okręgu, które poruszał zaznaczony punkt.
treść znajduje się poniżej
MathHelp.com
Jeśli „odprężysz” te obwody, aby uzyskać linię prostą, to znajdziesz odległość, którą przejechał rower. Ten rodzaj relacji między różnymi środkami jest, myślę, dlaczego ten temat często pojawia się w tym momencie w naszych badaniach.
Po pierwsze, potrzebujemy trochę terminologii technicznej i definicji.
„prędkość kątowa” jest miarą obrotu na jednostkę czasu. Określa rozmiar kąta, przez który coś się obraca w danym przedziale czasowym. Na przykład, jeśli koło obraca się sześćdziesiąt razy w ciągu jednej minuty, to ma prędkość kątową 120π radianów na minutę. Następnie prędkość kątowa jest mierzona w radianach na sekundę, grecka mała litera omega (ω) jest często używana jako jej nazwa.
„prędkość liniowa” jest miarą odległości na jednostkę czasu. Na przykład, jeśli koło w poprzednim przykładzie ma promień 47 centymetrów, to każde przejście obwodu wynosi 94π cm, czyli około 295 cm. Ponieważ koło wykonuje sześćdziesiąt takich obrotów w ciągu jednej minuty, całkowita długość pokrywy wynosi 60 × 94&pi = 5,640 π cm, czyli około 177 metrów, w ciągu jednej minuty. (To około 10,6 km / h, czyli około 6,7 km / h.)
„obroty na minutę”, zwykle w skrócie „rpm”, jest miarą obrotów na jednostkę czasu, ale jednostką czasu jest zawsze jedna minuta. I zamiast podawać miarę kąta skrętu, po prostu podaje liczbę skrętów. Kiedy patrzysz na obrotomierz na desce rozdzielczej pojazdu, patrzysz na bieżące obroty silnika pojazdu. W powyższym przykładzie rpm będzie po prostu „60”.
„Częstotliwość” f jest miarą skrętu (lub drgań) na jednostkę czasu, ale jednostką czasu jest zawsze jedna sekunda. Jednostką częstotliwości jest „hertz”, który jest oznaczony jako Hz.
zależność między częstotliwością f (W Hz), prędkością obrotową i prędkością kątową ω (w radianach) przedstawiono poniżej (wszystkie elementy w jednym rzędzie są równoważne):
|
ω (in rad/sec) |
f (in Hz) |
rpm |
jednak może się okazać, że „prędkość kątowa” jest używana zamiennie (ale tylko nieformalnie; nie przez naukowców) z prędkością obrotową lub częstotliwością. Ponadto niektórzy (np. fizycy) twierdzą, że” prędkość kątowa „jest wielkością wektorową, a ω jest wielkością skalarną zwaną”częstotliwością kątową”.
Affiliate
proszę nie zapamiętywać tych potencjalnych kombinacji ani nie martwić się o to, jakie mogą być „wektory” lub „Skalary”. Mówię wam o tym, aby ostrzec was, że powinniście zwrócić bardzo szczególną uwagę na to, jak wasz konkretny podręcznik i wasz konkretny instruktor definiują różne terminy dla tej konkretnej klasy. I wiedzcie, że w następnej klasie terminy i definicje mogą się bardzo różnić.
-
koło ma średnicę 100 centymetrów. Jeśli koło wspiera wózek poruszający się z prędkością 45 kilometrów na godzinę, to jaka jest prędkość obrotowa koła, do najbliższej całkowitej liczby obrotów na minutę?
„rpm” to liczba obrotów koła na minutę. Aby dowiedzieć się, ile razy to koło obraca się w ciągu jednej minuty, muszę znaleźć (liniową lub prostą) pokonaną odległość (na minutę) podczas ruchu z prędkością 45 km / h. Następnie muszę znaleźć obwód koła i podzielić całkowitą odległość na minutę (liniową) przez tę odległość” raz na około”. Liczba obwodów, które mieszczą się w całkowitej odległości, jest liczbą obrotów koła w tym okresie czasu.
najpierw przeliczę (liniową) prędkość wózka z kph na „centymetry na minutę”, wykorzystując to, czego się nauczyłem o przeliczaniu jednostek. (Dlaczego „centymetry na minutę”? Ponieważ szukam „obrotów na minutę”, więc minuty są lepszą jednostką czasu niż godziny. Również średnica jest podana w centymetrach, więc jest to lepsza jednostka długości niż kilometry.)
więc odległość pokonana w ciągu jednej minuty wynosi 75 000 centymetrów. Średnica koła wynosi 100 cm, więc promień wynosi 50 cm, a obwód 100 cm. Ile z tych obwodów (lub obrotów koła) mieści się wewnątrz 75 000 cm? Innymi słowy, gdybym miał oderwać bieżnik tego koła z wózka i ułożyć go płasko, mierzyłby odległość 100 cm. Ile z tych długości mieści się w całej odległości pokonanej w ciągu jednej minuty? Aby dowiedzieć się, ile z (tego) mieści się w tak wielu z (tamtego), muszę podzielić (to) przez (to), więc:
następnie, zaokrąglając do najbliższego całego obrotu (czyli zaokrąglając odpowiedź do liczby całkowitej), mój odpowiedź brzmi:
239 rpm
uwaga: ta prędkość nie jest tak szybka, jak może się wydawać: to tylko pod czterema obrotami na sekundę. Możesz to zrobić na rowerze bez potu. Oto kolejna notka: Źródłem, z którego zaczerpnąłem ramy do powyższego ćwiczenia były ” prędkość kątowa „i” ω ” dla „liczby obrotów na minutę”. Tak, w podręczniku do algebry użyto niewłaściwych jednostek.
treść znajduje się poniżej
poprzednie ćwiczenie podało prędkość pojazdu i informacje o kole. Z tego wynika, że obroty na minutę. Możemy też pójść w drugą stronę; możemy zacząć od obrotów na minutę (plus informacje o kole) i znaleźć prędkość pojazdu.
-
koło rowerowe ma średnicę 78 cm. Jeśli koło obraca się z prędkością 120 obrotów na minutę, jaka jest prędkość liniowa roweru, w kilometrach na godzinę? Zaokrąglić odpowiedź do jednego miejsca po przecinku.
Affiliate
prędkość liniowa będzie to odległość w linii prostej, jaką porusza się rower w określonym czasie. Podali mi liczbę obrotów koła w każdej minucie. Stały punkt na oponie (powiedzmy kamyk w bieżniku opony) przesuwa długość obwodu dla każdego obrotu. Rozwijając tę odległość na ziemię, rower będzie poruszać się po ziemi w tej samej odległości, po jednym obwodzie na raz, dla każdego obrotu. To pytanie polega na znalezieniu długości obwodu, a następnie użyciu tego, aby znaleźć całkowitą pokonaną odległość na minutę.
ponieważ średnica wynosi 78 cm, to obwód wynosi C = 78 cm. Rozwijanie ścieżki opony w linię prostą na ziemi, oznacza to, że rower porusza się o 78 cm do przodu dla każdego obrotu opony. Jest 120 takich obrotów na minutę, więc:
(78π cm/obr)×(120 obr/min) = 9,360 π cm/min
teraz muszę przekonwertować to z centymetrów na minutę na kilometry na godzinę:
rower porusza się z prędkością około 17,6 km / h.
…albo jakieś 11 mil na godzinę.
Reklama
-
Załóżmy, że orbita Ziemi jest okrągła, o promieniu 93 000 000 mil, i niech „jeden rok” będzie równy 365,25 dni. W tych warunkach znajdź prędkość liniową ziemi w milach na sekundę. Zaokrąglić odpowiedź do jednego miejsca po przecinku.
prędkość będzie (liniową lub równoważną prostą) odległością pokonaną w ciągu jednej sekundy, podzieloną przez jedną sekundę. Dali mi informacje na rok, więc zacznę od tego. Obwód okręgu o r = 93,000,000 mil będzie liniową odległością, którą Ziemia pokonuje w ciągu jednego roku.
jest to liczba przejechanych mil w ciągu jednego roku, ale potrzebuję liczby przejechanych mil w ciągu jednej sekundy. Istnieje dwadzieścia cztery godziny na dobę, sześćdziesiąt minut na godzinę i sześćdziesiąt sekund na minutę, więc całkowita liczba sekund dla tego roku wynosi:
wtedy prędkość liniowa, będąca całkowitą odległością liniową podzieloną przez całkowity czas i wyrażoną jako prędkość jednostkowa, is:
następnie, w zaokrągleniu do jednego miejsca po przecinku, prędkość liniowa Ziemi wynosi:
18,5 mil na sekundę
affiliate
„hej!”Słyszę, jak płaczesz. „Kiedy będziemy używać miar kątowych do czegokolwiek?”Podczas gdy wielu („większość”?) z ćwiczeń w książce będzie prawdopodobnie podobny do powyższego, może czasami znaleźć się do czynienia z rzeczywistych radianów i stopni.
-
pociąg jedzie z prędkością 10 km / h na łuku o promieniu 3000 stóp. Pod jakim kątem pociąg skręci w ciągu minuty? Zaokrąglić do najbliższej liczby stopni.
„krzywa o promieniu 3000 stóp” oznacza, że gdybym spróbował dopasować okrąg do wnętrza krzywej, najlepszym dopasowaniem byłby okrąg o promieniu r = 3000 stóp. Innymi słowy, mogę użyć faktów koła, aby odpowiedzieć na to pytanie.
ponieważ promień krzywej jest w stopach i ponieważ muszę znaleźć kąt pokonany w ciągu jednej minuty, zacznę od przeliczenia prędkości mil na godzinę na stopy na sekundę:
ilość zakrzywionego toru, który pokrywa pociąg, jest również częścią obwodu okręgu. Więc to 880 stóp jest długością łuku, a teraz muszę znaleźć kąt podprzestrzenny (domniemanego) sektora okręgu:
ale ta wartość jest w radianach (ponieważ tego używa formuła długości łuku), a moja odpowiedź musi być w stopniach, więc muszę przekonwertować:
pociąg skręca pod kątem około:
17°
wyobraź sobie, że stoisz w środku tego wyimaginowanego okręgu (czyli trzy tysiące stóp od Krzywej, ponad pół mili) i obserwujesz pociąg poruszający się po krzywej. Gdybyś trzymał rękę na wyciągnięcie ręki, zrobił ciasną pięść, a jednocześnie mocno trzymając środkowe palce kciukiem, podniósł paluszek i palce wskazujące, odległość między nimi wynosiłaby około piętnastu stopni. Pociąg prawie nie ruszyłby dalej. Gdybyś trzymał pięść na wyciągnięcie ręki i wyciągnął palec i kciuk, odległość wynosiłaby około 25 stopni. Pociąg nie opuściłby twoich palców w wyznaczonym czasie.
(czasami uczę się najfajniejszych rzeczy, gdy badam problemy ze słowem. Z drugiej strony, moja definicja „cool” może być trochę smutna….)
URL: https://www.purplemath.com/modules/sectors3.htm
strona 1strona 2strona 2