Rachunek różniczkowy i-pochodne funkcji hiperbolicznych

Pokaż notatkę mobilną Pokaż wszystkie notatki Ukryj wszystkie notatki

notatkę mobilną
wydajesz się być na urządzeniu z „wąską” szerokością ekranu (tzn. prawdopodobnie korzystasz z telefonu komórkowego). Ze względu na charakter matematyki na tej stronie jest to najlepsze widoki w trybie poziomym. Jeśli urządzenie nie jest w trybie poziomym, wiele równań będzie przebiegać z boku urządzenia (powinno być w stanie przewijać, aby je zobaczyć), a niektóre pozycje menu zostaną odcięte z powodu wąskiej szerokości ekranu.

sekcja 3-8 : Pochodne funkcji hiperbolicznych

ostatni zbiór funkcji, na który będziemy patrzeć w tym rozdziale, to funkcje hiperboliczne. W wielu sytuacjach fizycznych dość często powstają kombinacje \({{\bf{e}}^x}\) i \({{\bf{e}}^{ – x}}\). Z tego powodu te kombinacje otrzymują nazwy. Istnieje sześć funkcji hiperbolicznych i są one zdefiniowane w następujący sposób.

\

oto wykresy trzech głównych funkcji hiperbolicznych.

Wykres \(y=\cosh \left( x \right)\). Wygląda nieco jak parabola otwierana ku górze z wierzchołkiem w (0,1).Wykres \(y = \ sinh \ left (x \right)\). Wygląda niejasno jak w górę jak wykres \(y = x^{3}\) zaczynając w trzecim kwadrancie i zwiększając poprzez początek (gdzie spłaszcza się na krótko), a następnie kontynuując wzrost w pierwszym kwadrancie.
Wykres \(y=\tanh \left (x \right)\). Wykres rozpoczyna się po lewej stronie Przy poziomej asymptocie w \(y = -1\) i wzrasta przechodząc przez (0,0), a następnie zbliża się do innej poziomej asymptoty W \(y=1\).

mamy również następujące fakty dotyczące funkcji hiperbolicznych.

\

zauważysz, że są one podobne, ale nie do końca takie same, do niektórych bardziej powszechnych tożsamości trygonometrycznych, więc uważaj, aby nie pomylić tożsamości ze standardowymi funkcjami trygonometrycznymi.

ponieważ funkcje hiperboliczne są zdefiniowane w kategoriach funkcji wykładniczych znalezienie ich pochodnych jest dość proste, pod warunkiem, że przeczytałeś już następną sekcję. Nie mamy jednak, więc będziemy potrzebować następującego wzoru, który można łatwo udowodnić po omówieniu następnej sekcji.

\

za pomocą tego wzoru wykonamy pochodną sinusa hiperbolicznego, a resztę pozostawimy wam jako ćwiczenie.

\

dla reszty możemy użyć definicji funkcji hiperbolicznej i / lub reguły ilorazowej. Oto wszystkie sześć pochodnych.

\

oto kilka szybkich pochodnych wykorzystujących funkcje hiperboliczne.

przykład 1 rozróżnij każdą z następujących funkcji.

  1. \(f\left( x \right) = 2{x^5}\cosh x\)
  2. \(\displaystyle h\left( t \right) = \frac{{\sinh t}}{{t + 1}}\)
Pokaż rozwiązanie

a

\

b

\



Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.