Układ współrzędnych kartezjańskich

w matematyce, kartezjański układ współrzędnych (lub prostokątny układ współrzędnych) jest używany do wyznaczania każdego punktu na płaszczyźnie za pomocą dwóch liczb, Zwykle zwanych współrzędną x i współrzędną y punktu. Aby zdefiniować współrzędne, określa się dwie prostopadle skierowane linie (oś x lub abscissa i oś y lub ordinate), a także długość jednostki, która jest zaznaczona na dwóch osiach (patrz rysunek 1). Układy współrzędnych kartezjańskich stosowane są również w przestrzeni (gdzie stosuje się trzy współrzędne) oraz w wyższych wymiarach.

rys. 2-kartezjański układ współrzędnych o okręgu o promieniu 2 wyśrodkowanym na początku zaznaczonym na Czerwono. Równanie okręgu to x2 + y2 = 4.

korzystając z kartezjańskiego układu współrzędnych, kształty geometryczne (takie jak krzywe) można opisać równaniami algebraicznymi, czyli równaniami spełniającymi współrzędne punktów leżących na kształcie. Na przykład okrąg o promieniu 2 może być opisany równaniem x2 + y2 = 4 (patrz rysunek 2).

Historia

Kartezjusz oznacza nawiązanie do francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (łac. Cartesius), który między innymi pracował nad połączeniem algebry i geometrii euklidesowej. Praca ta miała wpływ na rozwój geometrii analitycznej, rachunku różniczkowego i Kartografii.

idea tego systemu została rozwinięta w 1637 roku w dwóch pismach Kartezjusza. W drugiej części wykładu o metodzie Kartezjusz wprowadza nową ideę określania położenia punktu lub obiektu na powierzchni, wykorzystując dwie przecinające się osie jako prowadnice pomiarowe. W La Géométrie dalej zgłębia wyżej wymienione koncepcje.

dwuwymiarowy układ współrzędnych

rys. 3 – cztery ćwiartki kartezjańskiego układu współrzędnych. Strzałki na osiach wskazują, że rozciągają się one w nieskończoność w swoich kierunkach.

kartezjański układ współrzędnych w dwóch wymiarach jest zwykle definiowany przez dwie osie, pod kątem prostym względem siebie, tworzące płaszczyznę (płaszczyznę xy). Oś pozioma jest zwykle oznaczona x, a oś pionowa jest zwykle oznaczona y. w trójwymiarowym układzie współrzędnych dodaje się inną oś, Zwykle oznaczoną z, zapewniając trzeci wymiar pomiaru przestrzeni. Osie są powszechnie zdefiniowane jako wzajemnie prostopadłe do siebie (każdy pod kątem prostym do drugiego). (Wczesne systemy pozwalały na” ukośne ” osie, czyli osie, które nie spotykały się pod kątem prostym, a takie systemy są obecnie sporadycznie używane, chociaż głównie jako ćwiczenia teoretyczne.) Wszystkie punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych wzięte razem tworzą tzw. płaszczyznę Kartezjańską. Równania wykorzystujące kartezjański układ współrzędnych nazywane są równaniami Kartezjańskimi.

punkt przecięcia, w którym spotykają się osie, nazywa się początkiem Zwykle oznaczonym O.Osie x i y definiują płaszczyznę, która jest określana jako płaszczyzna xy.Biorąc pod uwagę każdą oś, wybierz długość jednostki i zaznacz każdą jednostkę wzdłuż osi, tworząc grid.To określ konkretny punkt w dwuwymiarowym układzie współrzędnych, wskaż najpierw jednostkę x (abscissa), a następnie jednostkę y (ordinate) w postaci (x,y), uporządkowanej pary.

wybór liter pochodzi z konwencji, aby użyć drugiej części alfabetu do wskazania nieznanych wartości. Natomiast pierwsza część alfabetu została użyta do wyznaczenia znanych wartości.

przykład punktu P w układzie jest pokazany na rysunku 3, używając współrzędnych (3,5).

przecięcie dwóch osi tworzy cztery regiony, zwane ćwiartkami, oznaczone cyframi rzymskimi I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) i IV (+,−). Konwencjonalnie, ćwiartki są oznaczone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, począwszy od prawej górnej („northeast”) kwadrant. W pierwszym kwadrancie obie współrzędne są dodatnie, w drugim kwadrancie współrzędne X są ujemne i współrzędne y dodatnie, w trzecim kwadrancie obie współrzędne są ujemne, a w czwartym kwadrancie współrzędne X są dodatnie i współrzędne y ujemne (patrz tabela poniżej.)

trójwymiarowy układ współrzędnych

rys. 4-trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich z osią y skierowaną od obserwatora.

rys. 5-trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich z osią x skierowaną w stronę obserwatora.

trójwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich zapewnia trzy fizyczne wymiary przestrzeni—długość, szerokość i wysokość. Na rysunkach 4 i 5 przedstawiono dwa wspólne sposoby jej przedstawiania.

trzy osie kartezjańskie określające układ są prostopadłe do siebie. Odpowiednie współrzędne mają postać (x, y, z). Jako przykład, rysunek 4 pokazuje dwa punkty wykreślone w trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych: P (3,0,5) i Q(-5,-5,7). Osie są przedstawione w orientacji „współrzędnych świata” z osią Z skierowaną w górę.

x-, y-i z-współrzędne punktu mogą być również brane jako odległości od płaszczyzny YZ, płaszczyzny xz i płaszczyzny xy odpowiednio. Rysunek 5 pokazuje odległości punktu P od płaszczyzn.

płaszczyzny xy-, yz-i XZ-dzielą przestrzeń trójwymiarową na osiem podziałów znanych jako oktanty, podobnych do ćwiartek przestrzeni 2D. Chociaż ustanowiono konwencje dotyczące oznaczania czterech ćwiartek płaszczyzny x-y, tylko pierwszy Oktant przestrzeni trójwymiarowej jest oznaczany. Zawiera wszystkie punkty, których współrzędne x, y i z są dodatnie.

współrzędna z jest również nazywana applicate.

Orientacja i ręczność

Zobacz także: reguła prawej ręki

w dwóch wymiarach

reguła prawej ręki.

ustalenie lub wybór osi x określa Oś y do kierunku. Mianowicie, oś y jest koniecznie prostopadła do osi x przez punkt oznaczony 0 Na osi X. Istnieje jednak możliwość wyboru, która z dwóch półlinii na prostopadle ma być oznaczona jako dodatnia, a która jako ujemna. Każdy z tych dwóch wyborów określa inną orientację (zwaną też ręcznością) płaszczyzny kartezjańskiej.

zwykły sposób orientacji osi, z dodatnią osią x skierowaną w prawo i dodatnią osią y skierowaną w górę (a oś x jest „pierwszą”, a oś y „drugą”) jest uważany za orientację dodatnią lub standardową, zwaną również orientacją praworęczną.

powszechnie stosowanym mnemonikiem do określania orientacji pozytywnej jest reguła prawej ręki. Umieszczając nieco zamkniętą prawą rękę na płaszczyźnie z kciukiem skierowanym do góry, palce wskazują od osi x do osi y, W pozytywnie zorientowanym układzie współrzędnych.

innym sposobem orientacji osi jest podążanie za regułą lewej ręki, umieszczenie lewej ręki na płaszczyźnie z kciukiem skierowanym do góry.

niezależnie od reguły używanej do orientacji osi, obracanie układu współrzędnych zachowa orientację. Zmiana roli x i y spowoduje odwrócenie orientacji.

w trzech wymiarach

rys. 7-orientacja leworęczna jest pokazana po lewej stronie, a praworęczna po prawej.

rys. 8-prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich wskazujący płaszczyzny współrzędnych.

po określeniu osi x i y wyznaczają linię, wzdłuż której powinna leżeć oś z, ale istnieją dwa możliwe kierunki na tej linii. Dwa możliwe układy współrzędnych, których wynikiem są nazywane ” praworęcznymi „i” leworęcznymi.”Standardowa orientacja, w której płaszczyzna xy jest pozioma, a oś Z punktuje w górę (a oś x i y tworzą dodatnio zorientowany dwuwymiarowy układ współrzędnych w płaszczyźnie xy, jeśli jest obserwowana z góry płaszczyzny xy), nazywana jest prawoskrętną lub dodatnią.

nazwa pochodzi od reguły prawej ręki. Jeśli palec wskazujący prawej ręki jest skierowany do przodu, środkowy palec zgięty do wewnątrz pod kątem prostym do niego, a kciuk umieszczony pod kątem prostym do obu, trzy palce wskazują względne Kierunki osi x, y i z w systemie praworęcznym. Kciuk wskazuje Oś x, palec wskazujący Oś y, a palec środkowy oś Z. Odwrotnie, jeśli to samo dzieje się z lewą ręką, układ leworęczny powoduje.

różne dyscypliny używają różnych odmian układów współrzędnych. Na przykład matematycy zwykle używają praworęcznego układu współrzędnych z osią y skierowaną w górę, podczas gdy inżynierowie zwykle używają leworęcznego układu współrzędnych z osią Z skierowaną w górę. Może to prowadzić do zamieszania, gdy inżynierowie i matematycy pracują nad tym samym projektem.

Rysunek 7 jest próbą przedstawienia układu współrzędnych lewo – i praworęcznych. Ponieważ trójwymiarowy obiekt jest reprezentowany na dwuwymiarowym ekranie, zniekształcenia i niejednoznaczność powodują. Oś skierowana w dół (i w prawo) ma również wskazywać na obserwatora, podczas gdy oś „środkowa” ma wskazywać na obserwatora. Czerwone kółko jest równoległe do poziomej płaszczyzny xy i wskazuje obrót od osi x do osi y (w obu przypadkach). Stąd czerwona strzałka przechodzi przed osią Z.

Rysunek 8 to kolejna próba przedstawienia praworęcznego układu współrzędnych. Ponownie, istnieje niejednoznaczność spowodowana rzutowaniem trójwymiarowego układu współrzędnych na płaszczyznę. Wielu obserwatorów widzi Rysunek 8 jako „przewracanie się i wychodzenie” między wypukłym sześcianem a wklęsłym narożnikiem.”Odpowiada to dwóm możliwym orientacjom układu współrzędnych. Postrzeganie figury jako wypukłej daje lewostronny układ współrzędnych. Tak więc, „poprawnym” sposobem oglądania rysunku 8 jest wyobrażenie sobie osi x jako skierowanej w stronę obserwatora, a tym samym widząc wklęsły róg.

w fizyce

powyższa dyskusja dotyczy kartezjańskich układów współrzędnych w matematyce, gdzie powszechnie nie używa się żadnych jednostek miary. W fizyce ważne jest, aby pamiętać, że wymiar jest po prostu miarą czegoś i że dla każdej klasy mierzonych cech można dodać inny wymiar. Przywiązanie do wizualizacji wymiarów wyklucza zrozumienie wielu różnych wymiarów, które można zmierzyć (czas, masa, kolor, koszt itp.). Obiekty wielowymiarowe mogą być obliczane i manipulowane algebraicznie.

reprezentowanie wektora z notacją Kartezjańską

punkt w przestrzeni w kartezjańskim układzie współrzędnych może być również reprezentowany przez wektor, który można traktować jako strzałkę skierowaną od początku układu współrzędnych do punktu. Jeśli współrzędne reprezentują pozycje przestrzenne (przemieszczenia), to często przedstawia się Wektor od początku do punktu zainteresowania jako r {\displaystyle \mathbf {r} } . Używając współrzędnych kartezjańskich, Wektor od początku do punktu (x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} można zapisać jako:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} I z {\displaystyle z} osie, odpowiednio.

notacja ta jest zwykle określana jako notacja kartezjańska. Wektory jednostkowe i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } I k {\displaystyle \mathbf {k} } nazywane są wersorami układu współrzędnych i stanowią przykład standardowej bazy.

dalsze uwagi

w geometrii komputerowej kartezjański układ współrzędnych jest podstawą algebraicznej manipulacji kształtami geometrycznymi. Od Kartezjusza powstało wiele innych układów współrzędnych. Jeden wspólny zbiór systemów używa współrzędnych biegunowych; astronomowie często używają współrzędnych sferycznych, typu układu współrzędnych biegunowych.

Zobacz też

• Krzywa
• Geometria
• Wykres
• linia (matematyka)
• Matematyka
• liczba
• płaszczyzna (matematyka)
• Punkt (geometria)
• René Descartes

notatki

• Descartes, René. 2001. Rozprawa o metodzie, optyce, geometrii i meteorologii. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, w: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• Gelʹfand, I. M., E. G. Głagoleva, and A. A. Kirillov. 1990. Metoda współrzędnych. Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Matematyka dla Niematematyków. New York: Dover. ISBN 0817635335.

wszystkie linki

• kartezjański układ współrzędnych.
• Wydrukuj współrzędne kartezjańskie.
• współrzędne kartezjańskie. PlanetMath.