Ukryty skręt w tworzeniu paska Möbiusa

w dziedzinie geometrii symplektycznej centralnym zagadnieniem jest liczenie punktów przecięcia dwóch skomplikowanych przestrzeni geometrycznych. To pytanie jest sednem jednego z najsłynniejszych problemów w tej dziedzinie, hipotezy Arnolda, i jest to również kwestia podstawowej techniki: Matematycy muszą wiedzieć, jak to policzyć, aby przeprowadzić inne badania.

jak opisuję w moim artykule „walka o poprawienie podstaw geometrii”, opracowanie metody liczenia tych punktów przecięcia było ciągłym i czasem spornym procesem. Rzetelne, szeroko rozumiane, bezbłędne podejście stanowiło wyzwanie z wielu powodów, od braku wspólnego słownictwa, gdy zaczyna się nowa dziedzina (geometria symplektyczna dopiero zaczęła się w latach 90.), po naturę samego problemu: mówiąc najprościej, jest to trudne.

trudność polega na tym, że z subtelnych powodów nie można policzyć punktów przecięcia wszystkich na raz. Zamiast tego matematycy muszą podzielić przestrzeń na” lokalne „regiony, policzyć punkty przecięcia w każdym regionie i dodać je do siebie, aby uzyskać” globalną ” liczbę. Łączenie lokalnych liczeń okazało się bardziej delikatnym i wymagającym technicznie zadaniem, niż matematycy zdawali sobie z tego sprawę na początku: jeśli nie jesteś ostrożny w sposobie rysowania lokalnych regionów, możesz łatwo pominąć jeden punkt przecięcia lub dwukrotnie policzyć inny.

Poniższe ilustracje badają trudność zadania za pomocą paska Möbiusa (dwuwymiarowy okrągły pasek z zakrętem). Pas Möbiusa ma dwa okręgi przechodzące przez jego powierzchnię. Pytanie brzmi: ile razy te dwa okręgi się przecinają? Jak zobaczysz, odpowiedź wydaje się być jedną rzeczą, gdy patrzysz na pasek na raz, a inną, jeśli nie jesteś ostrożny, gdy pociąłeś Pasek Möbiusa na dwie części.

zagadka Zliczająca

Matematycy chcą liczyć punkty przecięcia, ale pewne przeszkody uniemożliwiają im bezpośrednie zliczanie wszystkich tych punktów. Aby pokonać te przeszkody, dzielą kolektor na „lokalne” regiony, liczą przecięcia w każdym z nich i dodają je do siebie, aby uzyskać liczbę dla całego kolektora.

jednak, jeśli matematycy nie są ostrożni, jak łączą liczby z lokalnych regionów, mogą łatwo skończyć z niewłaściwym liczeniem dla całego kolektora. Delikatność dodawania lokalnych liczeń jest widoczna w tym prostym przykładzie.

Möbius Rip

weź pasek Möbius. Narysuj dwa koła biegnące przez nią. Jeśli spojrzymy na cały pasek Möbiusa, dwa koła muszą się przecinać co najmniej raz: jeden okrąg zaczyna się nad drugim, ale kończy się pod nim z powodu skręcającego charakteru paska.

teraz pociąć ten sam pasek Möbiusa na dwie części. Nacięcia usuwają skręt w pasku. Narysuj dwa segmenty koła na każdym kawałku. Bez skrętu łatwo jest narysować segmenty okręgu tak, aby przebiegały równolegle do siebie i nigdy się nie przecinały. W konsekwencji można błędnie wnioskować, że liczba przecięć na całym pasie Möbiusa wynosi zero. Matematycy w geometrii symplektycznej dowiedzieli się, że sklejanie „lokalnych” elementów w celu odzyskania „globalnej” liczby przecięć jest znacznie bardziej złożonym procesem, niż początkowo sobie wyobrażali.