Calculus II-sequências
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secção 4-1 : Sequências
vamos começar esta secção com uma discussão sobre o que é uma sequência. Uma sequência não é nada mais do que uma lista de números escritos em uma ordem específica. A lista pode ou não ter um número infinito de termos neles, embora estejamos lidando exclusivamente com sequências infinitas nesta classe. Os termos da sequência geral são denotados da seguinte forma,
\
porque estaremos lidando com sequências infinitas cada termo na sequência será seguido por outro termo como indicado acima. Na notação acima temos de ter muito cuidado com as subscrições. O subscrito de \(n + 1\) denota o próximo termo na sequência e não um mais o termo \(n^{\mbox{th}}\)! Em outras palavras,
\
portanto, tenha muito cuidado ao escrever subscritos para ter certeza de que o” +1 ” não migra para fora do subscrito! Este é um erro fácil de cometer quando você começa a lidar com este tipo de coisa.
Há uma variedade de maneiras de denotar uma sequência. Cada uma das seguintes formas são equivalentes de denotar uma sequência.
\
na segunda e terceira notações acima de an é geralmente dada por uma fórmula.
algumas notas estão agora em ordem sobre estas notações. Em primeiro lugar, observe a diferença entre a segunda e a terceira Notação acima. Se o ponto de partida não é importante ou está implícito de alguma forma pelo problema, muitas vezes não é escrito como fizemos na terceira Notação. Em seguida, usamos um ponto de partida de \(n = 1\) na terceira Notação apenas para que pudéssemos escrever um. Não há absolutamente nenhuma razão para acreditar que uma sequência irá começar em \(n = 1\). Uma sequência vai começar onde quer que precise de começar.vamos dar uma olhada em algumas sequências.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), onde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digito }}\pi \)
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Para obter as primeiras sequência de termos aqui tudo o que precisa fazer é ligar os valores de \(n\) na fórmula dada e nós vamos chegar a sequência condicao.
\
Note a inclusão do ” … ” no final! Esta é uma peça importante de notação, pois é a única coisa que nos diz que a sequência continua e não termina no último período.
b \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Mostrar a Solução
Este é semelhante ao primeiro. A diferença principal é que esta sequência não começa em \(n = 1\).
\
Note que os termos desta sequência alternam nos sinais. Sequências deste tipo são por vezes chamadas sequências alternadas.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), onde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digito }}\pi \) Mostrar a Solução
Esta sequência é diferente dos dois primeiros, no sentido de que ele não tem uma fórmula específica para cada termo. No entanto, diz-nos qual deve ser cada termo. Cada termo deve ser o nono dígito de \(\pi\). Então sabemos que \(\pi = 3.14159265359 \ldots \)
a sequência é então,
\
nas duas primeiras partes do exemplo anterior note que estávamos realmente a tratar as fórmulas como funções que só podem ter inteiros ligados a elas. Ou,
\
Esta é uma ideia importante no estudo de sequências (e séries). Tratar os termos da sequência como avaliações de função nos permitirá fazer muitas coisas com sequências que não poderíamos fazer de outra forma. Antes de aprofundar esta ideia, no entanto, precisamos de tirar mais algumas ideias do caminho.
primeiro, queremos pensar em “graficar” uma sequência. Para graficar a sequência \(\esquerda\ {{{{{a_n}}} \direita\}) desenhamos os pontos \(\esquerda( {n,{a_n}}} \direita)\) como \(n\) varia sobre todos os valores possíveis num gráfico. Por exemplo, vamos graficar a sequência \(\left\ {\frac {{n + 1}} {{{{n^2}}}}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). Os primeiros pontos no gráfico são,
\
O gráfico, para os 30 primeiros termos da sequência, é, então,
Este gráfico nos leva a uma ideia importante sobre sequências. Note que como \(n\) aumenta os Termos de sequência na nossa sequência, neste caso, aproximar-se cada vez mais de zero. Nós então dizemos que zero é o limite (ou às vezes o valor limite) da sequência e escrita,
\
esta notação deve parecer familiar para você. É a mesma notação que usamos quando falamos sobre o limite de uma função. Na verdade, se você se lembra, dissemos anteriormente que poderíamos pensar em sequências como funções de alguma forma e assim esta notação não deve ser muito surpreendente.
Usando as ideias que desenvolvemos para limites de funções podemos escrever a seguinte definição de trabalho para limites de sequências.
definição de trabalho do limite
- dizemos que \
se podemos fazer um tão próximo de \(L\) como queremos para todos suficientemente grande \(n\). Por outras palavras, o valor da abordagem \({a_n}\)’S \(L\) como \(n\) aproxima-se do infinito.
- dizemos que \
se podemos fazer um tão grande quanto queremos para todos suficientemente grande \(n\). Mais uma vez, em outras palavras, o valor dos \({a_n}\)’s ficar maior e maior sem limite como \(n\) aproxima-se do infinito.
- dizemos que \
se podemos fazer um tão grande e negativo como queremos para todos suficientemente grande \(n\). Mais uma vez, por outras palavras, o valor dos \({a_n}\)’s são negativos e tornam-se cada vez maiores sem limite, à medida que \(n\) se aproxima do infinito.
as definições de trabalho dos vários limites de sequência são agradáveis, na medida em que nos ajudam a visualizar qual o limite realmente é. Assim como com os limites das funções no entanto, há também uma definição precisa para cada um desses limites. Vamos dar os antes de prosseguir
Definição Precisa de Limite
- Podemos dizer que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) se para cada número de \(\varepsilon > 0\) não é um número inteiro \(N\) tais que \
- Podemos dizer que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) se para cada número de \(M > 0\) não é um número inteiro \(N\) tal que \
- Podemos dizer que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) se para cada número de \(M < 0\) não é um número inteiro \(N\) tal que \
não estaremos a usar a definição precisa frequentemente, mas irá aparecer ocasionalmente.
Note que ambas as definições nos dizem que para que um limite exista e tenha um valor finito todos os Termos de sequência devem estar cada vez mais próximos desse valor finito à medida que \(n\) aumenta.
Agora que temos as definições do limite de sequências fora do caminho temos um pouco de terminologia que precisamos olhar. Se \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) existe e é finito, dizemos que a sequência é convergente. Se \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) não existe ou é infinito, dizemos que a sequência diverge. Observe que, às vezes, vamos dizer que a sequência diverge para \(\infty \) se \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) e \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) será, por vezes, dizer que a sequência diverge para \( – \infty \).
habitue-se aos Termos “convergente” e “divergente”, pois vamos vê-los um pouco ao longo deste capítulo.então, como é que encontramos os limites das sequências? A maioria dos limites da maioria das sequências podem ser encontrados usando um dos seguintes teoremas.
Teorema 1
Dada a sequência de \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) se temos uma função \(f\left( x \right)\) tal que \(f\left( n \right) = {a_n}\) e \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\), então \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Este teorema é, basicamente, nos dizendo que nós tomamos os limites de sequências muito como podemos tomar o limite de funções. Na verdade, na maioria dos casos, nem sequer usaremos este teorema escrevendo explicitamente uma função. Mais frequentemente trataremos o limite como se fosse um limite de uma função e tomaremos o limite como sempre fizemos no cálculo I quando estávamos tomando os limites das funções.
assim, agora que sabemos que tomar o limite de uma sequência é quase idêntico a tomar o limite de uma função, também sabemos que todas as propriedades a partir dos limites das funções também se manterão.
Propriedades
Se \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) e \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) são convergentes sequências em seguida,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{fornecido }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) fornecido \({a_n} \ge 0\)
Estas propriedades pode ser provado usando o Teorema 1, acima, e a função de limite de propriedades vimos em Cálculo I ou podemos provar-lhes diretamente usando o preciso definição de um limite usando provas quase idênticas das propriedades de limite da função.
A seguir, assim como nós tivemos um teorema do Squeeze para limites de função nós também temos um para sequências e é praticamente idêntico à versão do limite de função.
o Teorema de confronto para as Sequências
Se \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) para todo o \(n > N\) para \(N\) e \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\), então \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = L\).
Observe que este teorema “para todo \n > N\) para \(N\)” é realmente apenas nos dizendo que precisamos ter \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) para todos os suficientemente grande \(n\), mas se não é verdadeira para os primeiros \(n\) o que não invalida o teorema.
como veremos, nem todas as sequências podem ser escritas como funções que podemos realmente tomar o limite de. Isto será especialmente verdadeiro para sequências que alternam em sinais. Enquanto nós podemos sempre escrever estes Termos de sequência como uma função nós simplesmente não sabemos como tomar o limite de uma função como essa. O seguinte teorema ajudará com algumas dessas sequências.
Teorema 2
Se \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\), então \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Note que para que este teorema mantenha o limite deve ser zero e não funcionará para uma sequência cujo limite não é zero. Este teorema é fácil o suficiente para provar, então vamos fazer isso.
uma Prova de um Teorema 2
A coisa principal para esta prova é de notar que,
\
em Seguida, observe que,
\
temos então \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) e portanto, pelo Teorema de confronto também temos de ter,
\
O próximo teorema é útil teorema dando a convergência/divergência e de valor (para quando é convergente) de uma sequência que surge na ocasião.
Teorema 3
A sequência de \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) converge se \( – 1 < r \le 1\) e diverge para todos os outros valores de \(r\). Além disso,
\
Aqui está uma prova parcial rápida (bem não tão rápida, mas definitivamente simples) deste teorema.
prova parcial do Teorema 3
vamos fazer isso por uma série de casos, embora o último caso não será completamente provado.Caso 1 : \(r > 1\)
sabemos que a partir de Cálculo I que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) se \(r > 1\) e portanto, pelo Teorema 1, acima, também sabemos que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \frac) e portanto, a seqüência diverge se \(r > 1\).
Case 2: \(r = 1\)
In this case we have,
\
So, the sequence converges for \(r = 1\) and in this case its limit is 1.caso 3 : \(0 < r < 1\)
sabemos que a partir de Cálculo I que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) se \(0 < r < 1\) e assim, pelo Teorema 1, acima, também sabemos que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) e portanto a sequência converge se \(0 < r < 1\) e, neste caso, o limite é zero.
Caso 4 : \(r = 0\)
neste caso, temos,
\
Assim, a sequência converge para \(r = 0\) e, neste caso, o limite é zero.
Caso 5 : \( – 1 < r < 0\)
em Primeiro lugar, vamos notar que se \( – 1 < r < 0\) então \(0 < \left| r \right| < 1\), então, pelo Caso 3 acima temos,
\
Teorema 2 acima agora nos diz que precisamos ter, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) e então, se \( – 1 < r < 0\) a sequência converge e tem um limite de 0.Caso 6 : \(r = – 1\)
neste caso, a sequência é,
\
e, esperamos, é claro que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) não existe. Lembre-se que, por ordem deste limite para existir, os termos devem estar se aproximando de um único valor à medida que \(n\) aumenta. Neste caso, no entanto, os Termos apenas alternam entre 1 e -1 e assim o limite não existe.
assim, a sequência diverge para \(r = – 1\).
Case 7: \(r < – 1\)
In this case we’re not going to going to going through a complete proof. Vamos ver o que acontece se deixarmos \(r = – 2\) por exemplo. Se fizermos isso, a sequência torna – se,
\
assim, se \(r = – 2\) obtemos uma sequência de termos cujos valores alternam no sinal e ficam maiores e maiores e por isso \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left ({- 2} \right)^n}\) não existe. Ele não se estabelece para um único valor como \(n\) aumenta nem todos os termos se aproximam do infinito. Assim, a sequência diverge para \(r = – 2\).
poderíamos fazer algo semelhante para qualquer valor de \(r\) tal que \(r < – 1\) e portanto, a seqüência diverge para \(r < – 1\).
vamos dar uma olhada em alguns exemplos de limites de sequências.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
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neste caso, tudo o que precisamos fazer é recordar o método que foi desenvolvido em Cálculo I para lidar com os limites das funções racionais. Veja os Limites no infinito, parte I Seção do Cálculo I nota para uma revisão disto se você precisar.
para fazer um limite nesta forma, tudo o que precisamos fazer é fator do numerador e denominador A maior potência de \(n\), cancelar e, em seguida, tomar o limite.
\
assim, a sequência converge e o seu limite é \(\frac{3}{5}\).
b \(\left\ {\displaystyle \frac {{{{{{\bf{e}}^{2n}}}}}} {n}} \right\}_{n = 1}^ \ infty \) Show Solution
teremos de ter cuidado com este. Vamos precisar de usar a Regra do Hospital nesta sequência. O problema é que a regra de L’Hospital só funciona em funções e não em sequências. Normalmente isto seria um problema, mas temos o teorema 1 de cima para nos ajudar. Vamos definir
\
E notar que,
\
Teorema 1 diz que tudo o que precisamos fazer é tomar o limite da função.
\
assim, a sequência nesta parte diverge (para \(\infty \)).
mais frequentemente do que não apenas fazemos a regra de L’Hospital’s nos termos da sequência sem primeiro converter para \(x\)’s, uma vez que o trabalho será idêntico, independentemente de usarmos \(x\) ou \(n\). No entanto, devemos realmente lembrar que tecnicamente não podemos fazer os derivados enquanto lidamos com termos de seqüência.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Mostrar a Solução
Vamos também precisa ter cuidado com esta sequência. Poderíamos ser tentados a dizer apenas que o limite dos termos da sequência é zero (e estaríamos corretos). No entanto, tecnicamente não podemos tomar o limite de sequências cujos termos alternam em sinal, porque não sabemos como fazer limites de funções que exibem esse mesmo comportamento. Além disso, queremos ter muito cuidado para não confiar muito na intuição com estes problemas. Como veremos na próxima seção, e em seções posteriores, nossa intuição pode nos levar a se desviar nesses problemas se não formos cuidadosos.então, vamos fazer isto de acordo com as regras. Vamos precisar usar o teorema 2 sobre este problema. Para isso vamos primeiro precisar computar,
\
portanto, uma vez que o limite dos termos da sequência com barras de valor absoluto sobre eles vai para zero nós sabemos pelo teorema 2 que,
\
o que também significa que a sequência converge para um valor de zero.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Mostrar a Solução
Para isso o teorema de nota que tudo o que precisamos fazer é perceber que esta é a seqüência no Teorema 3 acima, usando \(r = – 1\). Então, pelo teorema 3 Esta sequência diverge.
Agora precisamos dar um aviso sobre o uso indevido do Teorema 2. O teorema 2 só funciona se o limite for zero. Se o limite do valor absoluto dos termos da sequência não for zero, então o teorema não se manterá. A última parte do exemplo anterior é um bom exemplo disso (e na verdade este aviso é toda a razão que parte está lá). Repare que
\
e ainda assim, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left ({- 1} \right)^n}\) nem sequer existe muito menos igual a 1. Por isso, tem cuidado ao usar este teorema 2. Você deve sempre lembrar que ele só funciona se o limite é zero.
Antes de avançar para a próxima seção, precisamos dar mais um teorema que precisaremos de uma prova na estrada.
Teorema 4
Para a sequência \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) se \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) e \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) então \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) é convergente e \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\).
prova do Teorema 4
Let \(\varepsilon > 0\).
Então, como \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) é \({N_1} > 0\) tal que, se \(n > {N_1}\) sabemos que,
\
da Mesma forma, porque \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) é \({N_2} > 0\) tal que, se \(n > {N_2}\) sabemos que,
\
Agora, deixe \(N = \max \left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) e deixe \n > N\). Em seguida, \({a_n} = {a_{2k}}\) para \(k > {N_1}\) ou \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) para \(k > {N_2}\) e, portanto, em qualquer caso, temos que,
\
Portanto, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) e então \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) é convergente.