Sistema de coordenadas cartesianas

Fig. 1-Sistema de coordenadas cartesianas. Quatro pontos são marcados: (2,3) em verde, (-3,1) em vermelho, (-1,5,-2,5) em azul e (0,0), a origem, em amarelo.

Em matemática, o sistema de coordenadas Cartesianas (ou retangular sistema de coordenadas) é usado para determinar cada ponto exclusivamente em um avião através de dois números, geralmente chamada de coordenada x e a coordenada y do ponto. Para definir as coordenadas, são especificadas duas linhas perpendiculares direcionadas (o eixo x ou abcissa, e o eixo y ou ordenação), bem como o comprimento unitário, que é marcado nos dois eixos (ver Figura 1). Sistemas de coordenadas cartesianas também são usados no espaço (onde três coordenadas são usadas) e em dimensões mais altas.

Fig. 2-Sistema de coordenadas cartesianas com o círculo de raio 2 centrado na origem marcada a vermelho. A equação do círculo é x2 + y2 = 4.

Usando o sistema de coordenadas cartesianas, formas geométricas (tais como curvas) podem ser descritas por equações algébricas, ou seja, equações satisfeitas pelas coordenadas dos pontos situados na forma. Por exemplo, um círculo de raio 2 pode ser descrito pela equação x2 + y2 = 4 (ver Figura 2).

History

Cartesian means relating to the French mathematician and philosopher René Descartes( Latin: Cartesius), who, among other things, worked to merge algebra and Euclidean geometry. Este trabalho foi influente no desenvolvimento da geometria analítica, cálculo e cartografia.a ideia deste sistema foi desenvolvida em 1637 em dois escritos de Descartes. Na segunda parte de seu discurso sobre o método, Descartes introduz a nova ideia de especificar a posição de um ponto ou objeto em uma superfície, usando dois eixos de interseção como guias de medição. In La Géométrie, he further explores the above-mentioned concepts.

bidimensional sistema de coordenadas

Fig. 3-Os quatro quadrantes de um sistema de coordenadas cartesianas. As setas nos eixos indicam que elas se estendem para sempre em suas respectivas direções (isto é, infinitamente).

Um sistema de coordenadas Cartesianas em duas dimensões é comumente definido por dois eixos, em ângulos retos, para o outro, formando um plano (um plano xy). O eixo horizontal é normalmente marcado como x, e o eixo vertical é normalmente rotulado y. num sistema de coordenadas tridimensionais, é adicionado outro eixo, normalmente rotulado como z, proporcionando uma terceira dimensão de medição de espaço. Os eixos são comumente definidos como ortogonais entre si (cada um em um ângulo reto para o outro). (Sistemas antigos permitiam eixos oblíquos, isto é, eixos que não se encontravam em ângulos retos, e tais sistemas são ocasionalmente usados hoje, embora principalmente como exercícios teóricos. Todos os pontos de um sistema de coordenadas cartesiano juntos formam um chamado plano cartesiano. Equações que usam o sistema de coordenadas cartesianas são chamadas equações cartesianas.

O ponto de intersecção, onde os eixos se encontram, é chamado de origem normalmente chamada O.Os eixos x e y definem um plano que é referido como o plano xy.Dado cada eixo, escolha um comprimento de unidade e marque cada unidade ao longo do eixo, formando um grid.To especificar um ponto particular em um sistema de coordenadas bidimensionais, indicar a unidade x primeiro (abcissa), seguido pela unidade y (ordenação) na forma (x,y), um par ordenado.

a escolha das letras Vem de uma convenção, para usar a última parte do alfabeto para indicar valores desconhecidos. Em contraste, a primeira parte do alfabeto foi usada para designar valores conhecidos.

um exemplo de um ponto P no sistema é indicado na Figura 3, utilizando a coordenada (3,5).

A intersecção dos dois eixos cria quatro regiões, chamadas quadrantes, indicadas pelos algarismos Romanos I ( + ,+), II ( − ,+), III ( − ,−) e IV (+,−). Convencionalmente, os quadrantes são rotulados no sentido contrário aos ponteiros do relógio a partir do quadrante superior direito (“nordeste”). No primeiro quadrante, ambas as coordenadas são positivas, no segundo quadrante x-coordenadas são negativos e coordenadas de y positivo, no terceiro quadrante ambas as coordenadas são negativos e no quarto quadrante, as coordenadas x são positivos e coordenadas de y negativo (ver tabela abaixo.)

sistema de coordenadas tridimensionais

Fig. Sistema de coordenadas cartesianas 4-tridimensionais com eixo y a apontar para longe do observador.

Fig. Sistema de coordenadas cartesianas 5-tridimensionais com o eixo x apontando para o observador.

o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais fornece as três dimensões físicas do espaço—comprimento, largura e altura. As figuras 4 e 5 mostram duas formas comuns de representá-la.os três eixos cartesianos que definem o sistema são perpendiculares entre si. As coordenadas relevantes são do formulário (x, y, z). Como exemplo, a figura 4 mostra dois pontos plotados em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional: P(3,0,5) e Q (-5,-5,7). Os eixos são representados em uma orientação de “coordenadas do mundo” com o eixo z apontando para cima.

as coordenadas x-, y -, E z-de um ponto também podem ser tomadas como as distâncias do plano yz, plano xz, e plano xy, respectivamente. A figura 5 mostra as distâncias do ponto P em relação aos planos.os planos xy, yz e xz dividem o espaço tridimensional em oito subdivisões conhecidas como octantes, semelhantes aos quadrantes do espaço 2D. Embora tenham sido estabelecidas convenções para a rotulagem dos quatro quadrantes do plano x-y, apenas o primeiro octante do espaço tridimensional é rotulado. Contém todos os pontos cujas coordenadas x, y e z são positivas.

a coordenada z também é chamada de Aplicação.

a Orientação e a lateralidade

veja também: direito-regra da mão

Em duas dimensões

A regra da mão direita.

fixar ou escolher o eixo dos x determina o eixo dos y até à direcção. Ou seja, o eixo y é necessariamente a perpendicular ao eixo x através do ponto marcado com 0 no eixo x. Mas há uma escolha de qual das duas meias linhas na perpendicular para designar como positivo e que como negativo. Cada uma destas duas escolhas determina uma orientação diferente (também chamada handedness) do plano cartesiano.

a maneira usual de orientar os eixos, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima (e o eixo x sendo o “primeiro” e o eixo y o “segundo” eixo) é considerado a orientação positiva ou padrão, também chamada de orientação destra.

uma mnemônica comumente usada para definir a orientação positiva é a regra da mão direita. Colocando uma mão direita um pouco fechada no plano com o polegar apontando para cima, os dedos apontam do eixo x para o eixo y, em um sistema de coordenadas positivamente orientado.

a outra forma de orientar os eixos é seguindo a regra da mão esquerda, colocando a mão esquerda no plano com o polegar apontando para cima.

independentemente da regra usada para orientar os eixos, a rotação do sistema de coordenadas preservará a orientação. Mudar o papel de x e y irá reverter a orientação.

Em três dimensões

Fig. 7-a orientação para a esquerda é mostrada para a esquerda, e para a direita para a direita.

Fig. 8-o sistema de coordenadas cartesianas destras que indica os planos de coordenadas.

Uma vez que os eixos x e y são especificados, eles determinam a linha ao longo da qual o eixo z deve estar, mas há duas possíveis direções nesta linha. Os dois sistemas de coordenadas possíveis que resultam são chamados de “destro” e “canhoto”.”A orientação padrão, onde o plano xy é horizontal e o eixo z aponta para cima (e o eixo x – e o eixo y formam um sistema de coordenadas bidimensionais positivamente orientado no plano xy, se observado de cima do plano xy) é chamado de destro ou positivo.

o nome deriva da regra da direita. Se o dedo indicador da mão direita é apontado para a frente, o dedo médio dobrado para dentro em um ângulo direito para ele, e o polegar colocado em um ângulo direito para ambos, os três dedos indicam as direções relativas dos eixos x -, y -, E z em um sistema com a mão direita. O polegar indica o eixo x, o dedo indicador o eixo y e o dedo médio o eixo Z. Inversamente, se o mesmo é feito com a mão esquerda, um sistema canhoto resulta.

diferentes disciplinas utilizam diferentes variações dos sistemas de coordenadas. Por exemplo, os matemáticos normalmente usam um sistema de coordenadas destro com o eixo y apontando para cima, enquanto os engenheiros normalmente usam um sistema de coordenadas canhoto com o eixo z apontando para cima. Isto tem o potencial de levar à confusão quando engenheiros e matemáticos trabalham no mesmo projeto.a Figura 7 é uma tentativa de representar um sistema de coordenadas canhoto e destro. Porque um objeto tridimensional é representado na tela bidimensional, distorção e resultado de ambiguidade. O eixo apontando para baixo (e para a direita) é também destinado a apontar para o observador, enquanto o eixo “médio” é destinado a apontar para longe do observador. O círculo vermelho é paralelo ao plano XY horizontal e indica rotação do eixo x para o eixo y (em ambos os casos). Por isso, a seta vermelha passa em frente ao eixo Z.a figura 8 é outra tentativa de representar um sistema de coordenadas destro. Novamente, há uma ambiguidade causada pela projeção do sistema de coordenadas tridimensionais no plano. Muitos observadores vêem a figura 8 como “flipping in and out” entre um cubo convexo e um canto côncavo.”Isto corresponde às duas possíveis orientações do sistema de coordenadas. Ver a figura como convexa dá um sistema de coordenadas canhoto. Assim, a maneira” correta ” de ver a figura 8 é imaginar o eixo x como apontando para o observador e, assim, vendo um canto côncavo.

In physics

The above discussion applies to Cartesian coordinate systems in mathematics, where it is common to not use any units of measurement. Na física, é importante notar que uma dimensão é simplesmente uma medida de algo, e que, para cada classe de características a ser medida, outra dimensão pode ser adicionada. O apego à visualização das dimensões impede a compreensão das muitas dimensões diferentes que podem ser medidas (tempo, massa, Cor, custo, etc.). Objetos multidimensionais podem ser calculados e manipulados algebricamente.

Representa um vetor com Cartesiano notação

Um ponto no espaço, em um sistema de coordenadas Cartesianas pode também ser representada por um vetor, que pode ser pensado como uma seta apontando da origem do sistema de coordenadas para o ponto. Se as coordenadas espaciais representam posições (deslocamento) é comum representar o vetor da origem para o ponto de interesse como r {\displaystyle \mathbf {r} } . Usando coordenadas Cartesianas, o vetor da origem ao ponto ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} pode ser escrito como:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} e z {\displaystyle z} eixos, respectivamente.

esta notação é tipicamente referida como notação cartesiana. A unidade de vectores de i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } e k {\displaystyle \mathbf {k} } são chamados a versors do sistema de coordenadas, e representam um exemplo de padrão de base.

Notas Adicionais

em geometria computacional, o sistema de coordenadas cartesianas é a base para a manipulação algébrica de formas geométricas. Muitos outros sistemas de coordenadas foram desenvolvidos desde Descartes. Um conjunto comum de sistemas usa coordenadas polares; astrônomos frequentemente usam coordenadas esféricas, um tipo de Sistema de coordenadas polares.

Veja também:

• Curva
• Geometria
• Graph
• Linha (matemática)
• Matemática
• Número
• Avião (matemática)
• Ponto (geometria)
• René Descartes

Notas

• Descartes, René. 2001. Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Transexual. Paul J. Olscamp. Indianapolis, IN: Hackett Pub. ISBN 0872205673.Gelʹfand, I. M., E. G. Glagoleva, and A. A. Kirillov. 1990. O Método das coordenadas. Boston: Birkhauser. ISBN 0817635335.Kline, Morris. 1985. Matemática para os não-matemáticos. New York: Dover. ISBN 0817635335.

All links retrieved January 16, 2017.

• Sistema de coordenadas cartesianas.coordenadas cartesianas para impressão.coordenadas cartesianas. PlanetMath.