The Binomial Theorem

Binomial Expansions Using Pascal’s Triangle

Consider the following expanded powers of (a + b)n, where a + b is any binomial and n is a whole number. Procura padrões.

Cada expansão é um polinômio. Há alguns padrões a serem anotados.1. Há um termo a mais do que o poder do expoente, n. isto é, há termos na expansão de (a + b)n.

2. Em cada termo, a soma dos expoentes é n, o poder ao qual o binômio é elevado.3. Os expoentes de um começo com n, o poder do binomial, e diminuir para 0. O último termo não tem fator de A. O primeiro termo não tem fator de b, então os poderes de b começam com 0 e aumentam para n.

4. Os coeficientes começam em 1 e aumentam através de certos valores cerca de”meio” caminho e, em seguida, diminuem através desses mesmos valores de volta para 1.vamos explorar os coeficientes. Suponha que queremos encontrar uma expansão de (A + b)6. Os padrões que apenas observou indicam que existem 7 termos na expansão:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.como podemos determinar o valor de cada coeficiente, ci? Podemos fazê-lo de duas maneiras. O primeiro método envolve escrever os coeficientes em uma matriz triangular, como segue. Este é conhecido como triângulo de Pascal:

existem muitos padrões no triângulo. Encontra o máximo que puderes.
talvez você tenha descoberto uma maneira de escrever a próxima linha de números, dado os números na linha acima dela. Há sempre um lá fora. Cada número restante é a soma dos dois números acima. Vamos tentar encontrar uma expansão de (a + b)6 adicionando outra linha usando os padrões descobrimos:

Nós vemos que na última linha

o 1º e último números são 1;
o 2º número é 1 + 5, ou 6;
o 3º número é 5 + 10, ou 15;
o 4º número é 10 + 10, ou 20;
o 5º número é 10 + 5 ou 15; e
6º número é o 5 + 1, ou 6.

Thus the expansion for(a + b)6 is
(A + B)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

Para encontrar uma expansão de (a + b)8, podemos concluir mais duas linhas do triângulo de Pascal:

Assim a expansão da for
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

podemos generalizar os nossos resultados da seguinte forma.

The Binomial Theorem Using Pascal’s Triangle

For any binomial a + b and any natural number n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2B2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
where the numbers c0, c1, c2,…., cn-1, cn são da linha (n + 1)-st do triângulo de Pascal.exemplo 1 expandir: (u – v)5.

solução temos (a + b) n, onde a = u, b = -v, e n = 5. Usamos a 6ª linha do triângulo de Pascal:
1 5 10 10 5 1
em Seguida, temos
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u) (v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.Note que os sinais dos Termos alternam entre + e -. Quando o poder de-v é estranho, o sinal é -.Exemplo 2 expandir: (2t + 3/t)4.

solução temos (a + b) n, onde a = 2t, b = 3/t, e n = 4. Usamos a 5ª linha do triângulo de Pascal:
1 4 6 4 1
então temos

expansão Binomial usando notação Factorial

suponha que queremos encontrar a expansão de (A + b)11. A desvantagem em usar o triângulo de Pascal é que devemos calcular todas as linhas anteriores do triângulo para obter a linha necessária para a expansão. O seguinte método evita isso. Ele também nos permite encontrar um termo específico-digamos, o oitavo Termo-sem computar todos os outros termos da expansão. This method is useful in such courses as finite mathematics, calculus, and statistics, and it uses the binomial coefficient notation .
podemos reformular o teorema binomial da seguinte forma.

The Binomial Theorem Using Factorial Notation

For any binomial (a + b) and any natural number n,
.

O teorema binomial pode ser provado por indução matemática. (SeeExercise 63.) This form shows why is called a binomial coefficient.exemplo 3 expandir: (x2-2y) 5.

solução temos (a + b) n,onde a = x2, b = -2y, e n = 5. Em seguida, usando o teorema binomial, temos

Finalmente, (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.exemplo 4 expandir: (2/x + 3√x)4.

solução temos (a + b)n, em que a = 2/x, b = 3√x, e n = 4. Em seguida, usando o teorema binomial, temos

Finalmente, (2/x + 3√x)4 = 16/x4 + 96/x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

encontrar um termo específico

suponha que queremos determinar apenas um termo particular de uma expansão. O método que desenvolvemos nos permitirá encontrar esse Termo sem computar todas as linhas do triângulo de Pascal ou todos os coeficientes anteriores.

Note que o teorema binomial, nos dá o 1º termo, dá-nos o 2º termo, nos dá o 3º período, e assim por diante. Isto pode ser generalizado da seguinte forma.

Finding the (k + 1)-st Term

The (k + 1) – st term of (a + b) n is .

exemplo 5 Encontrar o quinto termo na expansão de (2x – 5y)6.

solução primeiro, notamos que 5 = 4 + 1. Assim, k = 4, a = 2x, b = -5y, e n = 6. Then the 5th term of the expansion is

Example 6 Find the 8th term in the expansion of (3x – 2)10.

solução primeiro, notamos que 8 = 7 + 1. Assim, k = 7, a = 3x, b = -2, e n = 10. Então o oitavo termo da expansão é

número Total de subconjuntos

suponha que um conjunto tem objetos n. O número de subconjuntos que contêm elementos k . O número total de subconjuntos de um conjunto é o número de subconjuntos com 0 elementos, mais o número de subconjuntos com 1 elemento, mais o número de subconjuntos com 2 elementos, e assim por diante. O número total de subconjuntos de um conjunto com elementos n É
.
now consider the expansion of (1 + 1)n:
.assim, o número total de subconjuntos é (1 + 1)n, ou 2n. nós provamos o seguinte.

Número Total de Subconjuntos

O número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2n.

Exemplo 7 O conjunto {A, B, C, D, E} tem quantos subconjuntos?

solução o conjunto tem 5 elementos, de modo que o número de subconjuntos é 25, ou 32.exemplo 8 Wendy’s, uma cadeia nacional de restaurantes, oferece as seguintes coberturas para os seus hambúrgueres: catsup, mostarda, maionese, tomate, alface, cebola, pickle, relish, queijo.quantos tipos diferentes de hambúrgueres podem servir a Wendy’s, excluindo o tamanho do hambúrguer ou o número de hambúrgueres?

solução as coberturas em cada hambúrguer são os elementos de um subconjunto do conjunto de todas as coberturas possíveis, sendo o conjunto vazio um hambúrguer simples. The total number of possible hamburgers is

Thus Wendy’s serves hamburgers in 512 different ways.