The Hidden Twist to Making a Möbius Strip

In the field of symplectic geometry, a central issue involves how to count the intersection points of two complicated geometric spaces. Esta questão de contagem está no coração de um dos problemas mais famosos no campo, a conjectura de Arnold, e é também uma questão de técnica básica: os matemáticos precisam saber como fazer essas contagens para fazer outros tipos de pesquisa.

Como eu descrevo no meu artigo “uma luta para fixar as fundações da geometria”, o desenvolvimento de um método para contar estes pontos de intersecção tem sido um processo desenhado e, por vezes, controverso. Uma abordagem confiável, amplamente entendida, livre de erros tem apresentado um desafio por uma série de razões, desde a falta de um vocabulário compartilhado quando um novo campo começa (geometria simplética só realmente decolou no início dos anos 90), para a natureza do problema em si: simplificando, é difícil.

A dificuldade reside no fato de que, por razões sutis, não é possível contar os pontos de interseção de uma só vez. Em vez disso, os matemáticos precisam dividir o espaço em regiões “locais”, contar pontos de interseção em cada região, e adicioná-los juntos para obter a contagem “global”. Juntar as contagens locais provou ser uma tarefa mais delicada e tecnicamente exigente do que os matemáticos perceberam no início: Se você não tem cuidado com a forma como você desenha suas regiões Locais, você pode facilmente omitir um ponto de intersecção ou contar duas vezes outra.

as seguintes ilustrações exploram a dificuldade da tarefa usando uma tira de Möbius (uma banda circular bidimensional com um toque nela). A faixa de Möbius tem dois círculos passando por sua superfície. A questão é: quantas vezes os dois círculos se cruzam? Como você verá, a resposta parece ser uma coisa quando você olha para a tira de uma vez, e outra se você não é cuidadoso quando você cortar a tira de Möbius em dois pedaços.

um Puzzle de contagem

os matemáticos querem contar pontos de intersecção, mas certos obstáculos impedem-nos de contar todos esses pontos directamente. Para superar esses obstáculos, eles dividem a variedade em regiões “locais” do tamanho de mordida, contam as interseções em cada uma e adicionam-NAS para obter uma contagem para toda a variedade.

No entanto, se os matemáticos não são cuidadosos sobre como eles combinam contagens de regiões locais, eles podem facilmente acabar com a contagem errada para toda a variedade. A delicadeza de somar as contagens locais é evidente neste exemplo simples.

Möbius Rip

Tome uma tira de Möbius. Desenha dois círculos a correr por ela. Se você olhar para toda a faixa de Möbius, os dois círculos têm que se Intersectar pelo menos uma vez: um círculo começa acima do outro, mas acaba abaixo dele por causa da natureza torcida da faixa.agora corte essa mesma tira de Möbius em dois pedaços. Os cortes removem a torção na tira. Desenhar dois segmentos em círculo em cada peça. Sem o twist, é fácil desenhar os segmentos do círculo para que eles corram paralelos um ao outro e nunca se intersectem. Como consequência, você pode erroneamente concluir que o número de interseções em toda a faixa de Möbius é zero. Matemáticos em Geometria simplética aprenderam que colar peças “locais” para recuperar uma contagem de intersecção “global” é um processo muito mais complexo do que eles imaginaram.