Calculus II-secvente
Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
secțiunea 4-1 : Secvențe
să începem această secțiune cu o discuție despre ce este o secvență. O secvență nu este altceva decât o listă de numere scrise într-o anumită ordine. Lista poate avea sau nu un număr infinit de termeni în ele, deși vom avea de-a face exclusiv cu secvențe infinite din această clasă. Termenii secvenței generale sunt notați după cum urmează,
\
deoarece vom avea de-a face cu secvențe infinite fiecare termen din secvență va fi urmat de un alt termen așa cum s-a menționat mai sus. În notația de mai sus trebuie să fim foarte atenți cu indicii. Indicele \(n + 1\) denotă următorul termen din secvență și nu unul plus termenul\(n^{\mbox{th}}\)! Cu alte cuvinte,
\
deci, fiți foarte atenți atunci când scrieți indici pentru a vă asigura că „+1” nu migrează din indice! Aceasta este o greșeală ușor de făcut atunci când începeți să vă ocupați de astfel de lucruri.
există o varietate de moduri de a indica o secvență. Fiecare dintre următoarele sunt modalități echivalente de a indica o secvență.
\
în a doua și a treia notații de mai sus an este de obicei dată de o formulă.
câteva note sunt acum în ordine cu privire la aceste notații. În primul rând, rețineți diferența dintre a doua și a treia notație de mai sus. Dacă punctul de plecare nu este important sau este implicat într-un fel de problemă, adesea nu este scris așa cum am făcut-o în a treia notație. Apoi, am folosit un punct de plecare de \(n = 1\) în a treia notație doar pentru a putea scrie unul. Nu există absolut nici un motiv să credem că o secvență va începe de la \(n = 1\). O secvență va începe în cazul în care vreodată trebuie să înceapă.
Să aruncăm o privire la câteva secvențe.
- \(\displaystyle \ stânga \ { {\frac{{n + 1}}{{{N^2}}}} \ dreapta\} _ {n = 1} ^ \infty\)
- \(\displaystyle \ stânga \ { {\frac {{{{\stânga ({- 1} \ dreapta)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), unde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \)
Afișează toate soluțiile ascunde toate soluțiile
pentru a obține primii termeni de secvență aici, tot ce trebuie să facem este să conectăm valorile \(n\) în formula dată și vom obține secvența Termeni.
\
rețineți includerea ” … ” la sfârșit! Aceasta este o notație importantă, deoarece este singurul lucru care ne spune că secvența continuă și nu se termină la ultimul termen.
b \(\displaystyle \ stânga \ { {\frac {{{{\stânga ({ – 1} \ dreapta)}^{n + 1}}}}{{{2^N}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) arată soluția
aceasta este similară cu prima. Principala diferență este că această secvență nu începe de la \(n = 1\).
\
rețineți că termenii din această secvență alternează în semne. Secvențele de acest fel sunt uneori numite secvențe alternante.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{N = 1}^\infty \), unde \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \) arată soluția
această secvență este diferită de primele două în sensul că nu are o formulă specifică pentru fiecare termen. Cu toate acestea, ne spune ce ar trebui să fie Fiecare termen. Fiecare termen ar trebui să fie A N-A cifră a lui \(\pi\). Deci știm că \ (\pi = 3.14159265359 \ldots\)
secvența este atunci,
\
în primele două părți ale exemplului anterior, rețineți că am tratat cu adevărat formulele ca funcții care pot avea doar numere întregi conectate la ele. Sau,
\
aceasta este o idee importantă în studiul secvențelor (și seriilor). Tratarea Termenilor secvenței ca evaluări ale funcțiilor ne va permite să facem multe lucruri cu secvențe pe care nu le-am putea face altfel. Înainte de a aprofunda această idee, totuși, trebuie să mai scoatem câteva idei din drum.
În primul rând, vrem să ne gândim la „graficarea” unei secvențe. Pentru a Grafic secvența \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) am complot punctele \(\left( {n,{a_n}} \right)\) ca \(n\) variază peste toate valorile posibile pe un grafic. De exemplu, să graficăm secvența \(\stânga \ { {\frac{{n + 1}}{{{N^2}}} \dreapta\}_{N = 1}^\infty \). Primele câteva puncte de pe grafic sunt,
\
graficul, pentru primii 30 de termeni ai secvenței, este atunci,
Acest grafic ne conduce la o idee importantă despre secvențe. Observați că pe măsură ce \(n\) crește termenii secvenței din secvența noastră, în acest caz, apropiați-vă mai aproape de zero. Spunem apoi că zero este limita (sau uneori valoarea limită) a secvenței și scriem,
\
această notație ar trebui să vă pară familiară. Este aceeași notație pe care am folosit-o când am vorbit despre limita unei funcții. De fapt, dacă vă amintiți, am spus mai devreme că am putea gândi secvențele ca funcții într-un fel și astfel această notație nu ar trebui să fie prea surprinzătoare.
folosind ideile pe care le-am dezvoltat pentru limitele funcțiilor putem scrie următoarea definiție de lucru pentru limitele secvențelor.
definiția de lucru a limitei
- spunem că \
dacă putem face o cât mai aproape de \(L\) pe care o dorim pentru toate suficient de mari \(n\). Cu alte cuvinte, valoarea abordării lui \({a_n}\) \(L\) ca \(n\) se apropie de infinit.
- spunem că \
dacă putem face o cât de mare vrem pentru toate suficient de mari \(n\). Din nou, cu alte cuvinte, valoarea lui \({a_n}\) devine din ce în ce mai mare fără legătură pe măsură ce \(n\) se apropie de infinit.
- spunem că \
dacă putem face o la fel de mare și negativ, după cum ne-o dorim pentru toate suficient de mare \(n\). Din nou, cu alte cuvinte, valoarea \({a_n}\) sunt negative și devin din ce în ce mai mari fără a fi legate pe măsură ce \(n\) se apropie de infinit.
definițiile de lucru ale diferitelor limite de secvență sunt frumoase prin faptul că ne ajută să vizualizăm care este de fapt limita. La fel ca în cazul limitelor funcțiilor, există, de asemenea, o definiție precisă pentru fiecare dintre aceste limite. Să le dăm înainte de a continua
definirea precisă a limitei
- spunem că \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = l\) dacă pentru fiecare număr \(\varepsilon > 0\) există un număr întreg \(n\) astfel încât \
- spunem că că \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) dacă pentru fiecare număr \(M > 0\) există un număr întreg \(n\) astfel încât \
- spunem că \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {A_n} = – \infty \) dacă pentru fiecare număr \(M > 0\) număr \ (M < 0\) există un număr întreg \(N\) astfel încât \
nu vom folosi definiția precisă des, dar va apărea ocazional.
rețineți că ambele definiții ne spun că, pentru ca o limită să existe și să aibă o valoare finită, toți termenii secvenței trebuie să se apropie din ce în ce mai mult de acea valoare finită pe măsură ce \(n\) crește.
acum, că avem definițiile limitei secvențelor din drum, avem un pic de terminologie la care trebuie să ne uităm. Dacă \(\mathop {\Lim } \ limits_{N \ to \ infty } {a_n}\) există și este finit spunem că secvența este convergentă. Dacă \(\mathop {\Lim } \ limits_{N \ to \ infty } {a_n}\) nu există sau este infinit spunem că secvența diferă. Rețineți că uneori vom spune că secvența diferă la \(\infty\) dacă \(\mathop {\Lim} \limits_{n \la \infty } {a_n} = \ infty\) și dacă \(\mathop {\lim} \limits_{n \la \infty } {a_n} = – \ infty\) vom spune uneori că secvența diferă la \(- \infty\).
obișnuiește-te cu Termenii „convergent” și „divergent”, deoarece îi vom vedea destul de mult pe parcursul acestui capitol.
deci, cum găsim limitele secvențelor? Majoritatea limitelor majorității secvențelor pot fi găsite folosind una dintre următoarele teoreme.
Teorema 1
dată secvenței \(\stânga\{ {{a_n}} \dreapta\}\) dacă avem o funcție \(f\stânga( x \dreapta)\) astfel încât \(F\stânga( n \dreapta) = {a_n}\) și \(\mathop {\lim }\limits_{X \la \infty } F\stânga( x \dreapta) = L\) atunci \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = l\)
această teoremă ne spune practic că luăm limitele secvențelor la fel cum luăm limita funcțiilor. De fapt, în majoritatea cazurilor nici măcar nu vom folosi cu adevărat această teoremă scriind în mod explicit o funcție. Vom trata mai des limita ca și cum ar fi o limită a unei funcții și vom lua limita așa cum am făcut-o întotdeauna în calculul I când luam limitele funcțiilor.
deci, acum că știm că luarea limitei unei secvențe este aproape identică cu luarea limitei unei funcții, știm, de asemenea, că toate proprietățile din limitele funcțiilor vor deține, de asemenea.
proprietățile
dacă \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) și \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) sunt ambele secvențe convergente atunci,
- \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{N \la \infty } {A_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\Lim }\limits_{n \la \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim} \ limits_ {N \ to \ infty} {a_n} \ right) \ left ({\mathop {\lim
- \(\displaystyle \mathop {\lim}\limits_ {n\la\infty} \frac {{{a_n}}} {{{b_n}} = \frac {{\mathop {\Lim} \limits_ {n \la \infty} {a_n}}} {{{b_n}} = \frac {{\mathop {\Lim} \limits_ {n \la\infty} {a_n}}} {{\mathop {\Lim} \limits_ {n \la \ infty} {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{furnizat }}\mathop {\Lim }\limits_{n \la \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } a_n^p = {\left^p}\) furnizat \({a_n} \ge 0\)
aceste proprietăți pot fi dovedite folosind teorema 1 de mai sus și proprietățile limită de funcții pe care le văzut în calculul i sau le putem dovedi direct folosind precizia definirea unei limite folosind dovezi aproape identice ale proprietăților limitei funcției.
în continuare, la fel cum am avut o teoremă de stoarcere pentru limitele de funcții, avem și una pentru secvențe și este destul de identică cu versiunea limită de funcții.
Teorema stoarcerii pentru secvențe
dacă \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) pentru toți \(n > N\) pentru unii \(N\) și \(\mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } {b_n} = l\) apoi \(\Mathop {\Lim }\limits_{n \la \infty } {c_n} = l\).
rețineți că în această teoremă „pentru toți \(n> N\) pentru unii \(N\)” ne spune doar că trebuie să avem \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) pentru toți suficient de mari \(n\), dar dacă nu este adevărat pentru primii \(n\) asta nu va invalida teorema.
după cum vom vedea, nu toate secvențele pot fi scrise ca funcții pe care le putem lua de fapt limita. Acest lucru va fi valabil mai ales pentru secvențele care alternează în semne. În timp ce putem scrie întotdeauna acești Termeni de secvență ca o funcție, pur și simplu nu știm cum să luăm limita unei astfel de funcții. Următoarea teoremă va ajuta cu unele dintre aceste secvențe.
Teorema 2
dacă \(\mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } \stânga| {{a_n}} \dreapta / = 0\) atunci \(\mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } {a_n} = 0\).
dacă \(\mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } \stânga| {{a_n}} \dreapta / = 0\) atunci \(\mathop {\lim }\limits_{n \la \infty } {a_n} = 0\).
rețineți că pentru ca această teoremă să dețină limita trebuie să fie zero și nu va funcționa pentru o secvență a cărei limită nu este zero. Această teoremă este destul de ușor de dovedit, așa că hai să facem asta.
dovada teoremei 2
principalul lucru la această dovadă este de a nota că,
\
apoi rețineți că,
\
avem apoi \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) și astfel prin teorema squeeze trebuie să avem, de asemenea,
\
următoarea teoremă este o teoremă utilă care dă convergența/divergența și valoarea (pentru când este convergentă) a unei secvențe care apare ocazional.
Teorema 3
secvența \(\stânga\{ {{r^n}} \dreapta\}_{n = 0}^\infty \) converge dacă \( – 1< r \le 1\) și diferă pentru toate celelalte valori ale \(r\). De asemenea,
\
Iată o dovadă parțială rapidă (bine nu atât de rapidă, dar cu siguranță simplă) a acestei teoreme.
dovada parțială a teoremei 3
vom face acest lucru printr-o serie de cazuri, deși ultimul caz nu va fi complet dovedit.
cazul 1 : \(r > 1\)
știm din calculul I că \(\mathop {\lim }\limits_{X \la \infty } {r^x} = \infty \) dacă \(r > 1\) și astfel prin teorema 1 de mai sus știm, de asemenea, că \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) și astfel secvența diferă dacă \(R > 1\).
Cazul 2 : \(r = 1\)
în acest caz avem,
\
deci, secvența converge pentru \(r = 1\) și în acest caz limita sa este 1.
Cazul 3 : \(0 < r < 1\)
știm din calculul I că \(\mathop {\lim }\limits_{X \la \infty } {r^x} = 0\) Dacă \(0 < r < 1\) și astfel prin teorema 1 de mai sus știm, de asemenea, că \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {R^N} = 0\) și astfel secvența converge dacă \(0 < r < 1\) și în acest sens, în caz limita sa este zero.
Cazul 4 : \(r = 0\)
în acest caz avem,
\
deci, secvența converge pentru \(r = 0\) și în acest caz limita sa este zero.
cazul 5 : \( – 1< r< 0\)
Mai întâi să observăm că dacă \( – 1< r< 0\) apoi \(0< \left| r \right|< 1\) apoi prin Cazul 3 de mai sus avem,
\
teorema 2 de mai sus ne spune acum că trebuie să avem, de asemenea, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) și deci dacă \( – 1< r< 0\) secvența converge și are o limită de 0.
cazul 6 : \(r = – 1\)
în acest caz, secvența este,
\
și sperăm că este clar că \(\mathop {\lim} \limits_{n \la\infty} {\stânga( { – 1}\ dreapta)^n}\) nu există. Reamintim că, în ordinea acestei limite să existe Termenii trebuie să se apropie de o singură valoare ca \(n\) crește. În acest caz, totuși, termenii alternează doar între 1 și -1 și astfel limita nu există.
deci, secvența diferă pentru \(r = – 1\).
cazul 7 : \(R< – 1\)
în acest caz nu vom trece printr-o dovadă completă. Să vedem ce se întâmplă dacă lăsăm \(r = – 2\) de exemplu. Dacă facem asta secvența devine,
\
deci, dacă \(r = – 2\) obținem o secvență de termeni ale căror valori alternează în semn și devin din ce în ce mai mari și astfel \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) nu există. Nu se stabilește la o singură valoare pe măsură ce \(n\) crește și nici Termenii nu se apropie de infinit. Deci, secvența diferă pentru \(r = – 2\).
am putea face ceva similar pentru orice valoare de \(r\) astfel încât \(r< – 1\) și astfel secvența diferă pentru \(R< – 1\).
Să aruncăm o privire la câteva exemple de limite ale secvențelor.
- \(\stânga\{ {\displaystyle \frac{{3{N^2} – 1}}{{10N + 5{N^2}}}} \dreapta\}_{N = 2}^\infty \)
- \(\stânga\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \dreapta\}_{N = 1}^\infty \)
- \(\stânga\{ {\displaystyle \frac{{{{\stânga( { – 1} \dreapta)}^n}}}{n}} \dreapta\}_{N = 1}^\infty \)
- \(\stânga\{ {{{\stânga( { – 1} \dreapta)}^n}} \dreapta\}_{N = 0}^\infty \)
afișează toate soluțiile ascunde toate soluțiile
în acest caz, tot ce trebuie să facem este să reamintim metoda care a fost dezvoltat în calculul I pentru a face față limitelor funcțiilor raționale. A se vedea limitele la infinit, Partea I secțiunea de calcul i note pentru o revizuire a acestui dacă aveți nevoie să.
pentru a face o limită în această formă, tot ce trebuie să facem este să determinăm de la numărător și numitor cea mai mare putere a lui \(n\), să anulăm și apoi să luăm limita.
\
deci, secvența converge și limita ei este \(\frac{3}{5}\).
B \(\stânga\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \dreapta\}_{N = 1}^\infty \) arată soluția
va trebui să fim atenți cu aceasta. Va trebui să folosim regula l ‘ Hospital pe această secvență. Problema este că regula l ‘ Hospital funcționează numai pe funcții și nu pe secvențe. În mod normal, aceasta ar fi o problemă, dar avem Teorema 1 de sus pentru a ne ajuta. Să definim
\
și rețineți că,
\
Teorema 1 spune că tot ce trebuie să facem este să luăm limita funcției.
\
deci, secvența din această parte diferă (la \(\infty \)).
de cele mai multe ori facem regula l’Hospital cu privire la termenii secvenței fără a converti mai întâi la \(x\), deoarece lucrarea va fi identică indiferent dacă folosim \(x\) sau \(n\). Cu toate acestea, ar trebui să ne amintim cu adevărat că din punct de vedere tehnic nu putem face derivatele în timp ce avem de-a face cu termeni de secvență.
c \(\stânga\{ {\displaystyle \frac{{{{\stânga( { – 1} \dreapta)}^n}}}{n}} \dreapta\}_{N = 1}^\infty \) arată soluție
de asemenea, va trebui să fim atenți cu această secvență. Am putea fi tentați să spunem doar că limita Termenilor secvenței este zero (și am fi corecți). Cu toate acestea, din punct de vedere tehnic nu putem lua limita secvențelor ai căror termeni alternează în semn, deoarece nu știm cum să facem limitele funcțiilor care prezintă același comportament. De asemenea, vrem să fim foarte atenți să nu ne bazăm prea mult pe intuiție cu aceste probleme. După cum vom vedea în secțiunea următoare și în secțiunile ulterioare, intuiția noastră ne poate duce în eroare în aceste probleme dacă nu suntem atenți.
deci, hai să lucrăm la asta ca la carte. Va trebui să folosim Teorema 2 pe această problemă. Pentru aceasta va trebui mai întâi să calculăm,
\
prin urmare, deoarece limita Termenilor secvenței cu bare de valoare absolută pe ele merge la zero, știm prin teorema 2 că,
\
ceea ce înseamnă, de asemenea, că secvența converge la o valoare de zero.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) arată soluția
pentru această teoremă rețineți că tot ce trebuie să facem este să realizăm că aceasta este secvența din teorema 3 de mai sus folosind \(r = – 1\). Deci, prin teorema 3 această secvență diferă.
acum trebuie să dăm un avertisment despre folosirea greșită a teoremei 2. Teorema 2 funcționează numai dacă limita este zero. Dacă limita valorii absolute a Termenilor secvenței nu este zero, atunci teorema nu va rămâne. Ultima parte a exemplului anterior este un bun exemplu în acest sens (și, de fapt, acest avertisment este întregul motiv pentru care o parte este acolo). Observați că
\
și totuși, \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {\stânga( { – 1} \dreapta)^n}\) nici măcar nu există, cu atât mai puțin egal cu 1. Deci, fii atent folosind această teoremă 2. Trebuie să vă amintiți întotdeauna că funcționează numai dacă limita este zero.
înainte de a trece la următoarea secțiune, trebuie să mai dăm o teoremă de care vom avea nevoie pentru o dovadă pe drum.
Teorema 4
pentru secvența \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) dacă ambele \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n}} = l\) și \(\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) atunci \(\left\{ {{a_n}} \dreapta\}\) este convergentă și \(\mathop {\Lim }\limits_{n \la \infty } {a_n} = l\).
dovada teoremei 4
Let \(\varepsilon> 0\).
atunci de când \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n}} = L\) există un \({n_1} > 0\) astfel încât dacă \(n > {n_1}\) știm că,
\
de asemenea, deoarece \(\Mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) există un \({n_2} > 0\) astfel încât dacă \(n > {n_2}\) știm că,
\
acum, fie \(n = \max \stânga\{ {2{n_1},2{n_2} + 1} \dreapta\}\) și fie \(n > n\). Apoi fie \({a_n} = {a_{2k}}\) pentru unele \(k > {n_1}\) sau \({a_n} = {a_{2K + 1}}\) Pentru unele \(k > {n_2}\) și astfel în ambele cazuri avem asta,
\
prin urmare, \(\mathop {\Lim }\limits_{N \to \infty } {a_n} = l\) și astfel \(\stânga\{ {{a_n}} \dreapta\}\) este convergentă.