răsucirea ascunsă pentru a face o bandă m Oquxbius

în domeniul geometriei simplectice, o problemă centrală implică modul de numărare a punctelor de intersecție a două spații geometrice complicate. Această întrebare de numărare este în centrul uneia dintre cele mai faimoase probleme din domeniu, conjectura Arnold, și este, de asemenea, o chestiune de tehnică de bază: matematicienii trebuie să știe cum să facă aceste numărări pentru a face alte tipuri de cercetări.

așa cum am descris în articolul meu „o luptă pentru a repara bazele geometriei”, dezvoltarea unei metode de numărare a acestor puncte de intersecție a fost un proces elaborat și uneori controversat. O abordare fiabilă, înțeleasă pe scară largă, fără erori a prezentat o provocare din mai multe motive, de la lipsa unui vocabular comun atunci când începe un nou domeniu (geometria simplectică a decolat cu adevărat începând cu anii 1990), până la natura problemei în sine: pur și simplu, este greu.

dificultatea constă în faptul că, din motive subtile, nu este posibil să numărați punctele de intersecție dintr-o dată. În schimb, matematicienii trebuie să împartă spațiul în regiuni „locale”, să numere punctele de intersecție din fiecare regiune și să le adauge împreună pentru a obține numărul „global”. Punerea cap la cap a numărătorilor locali s-a dovedit a fi o sarcină mai delicată și mai solicitantă din punct de vedere tehnic decât au realizat matematicienii la început: dacă nu ești atent la modul în care îți desenezi regiunile locale, ai putea omite cu ușurință un punct de intersecție sau să numeri dublu altul.

următoarele ilustrații explorează dificultatea sarcinii folosind o bandă m Oquxbius (o bandă circulară bidimensională cu o răsucire în ea). Banda m Oktibius are două cercuri care trec prin suprafața sa. Întrebarea este: de câte ori se intersectează cele două cercuri? După cum veți vedea, răspunsul pare a fi un lucru atunci când te uiți la banda dintr-o dată, și un alt dacă nu ești atent atunci când se taie banda m Oktibius în două bucăți.

un puzzle de numărare

matematicienii vor să numere punctele de intersecție, dar anumite obstacole îi împiedică să numere direct toate aceste puncte. Pentru a depăși aceste obstacole, ei împart colectorul în regiuni „locale” de dimensiuni mușcate, numără intersecțiile din fiecare și le adaugă împreună pentru a obține un număr pentru întregul colector.

Cu toate acestea, dacă matematicienii nu sunt atenți la modul în care combină numărul din regiunile locale, pot ajunge cu ușurință la un număr greșit pentru întreaga varietate. Delicatețea adăugării numărului local este evidentă în acest exemplu simplu.

m Xilox par

luați o bandă xilox. Desenați două cercuri care trec prin ea. Dacă te uiți la întreaga bandă m Oktibius, cele două cercuri trebuie să se intersecteze cel puțin o dată: un cerc începe deasupra celuilalt, dar se termină sub el din cauza naturii răsucite a benzii.

acum tăiați aceeași bandă m Oqimbius în două bucăți. Tăieturile îndepărtează răsucirea în bandă. Desenați două segmente de cerc pe fiecare piesă. Fără răsucire, este ușor să desenați segmentele cercului astfel încât să se desfășoare paralel unul cu celălalt și să nu se intersecteze niciodată. În consecință, s-ar putea concluziona în mod eronat că numărul de intersecții pe întreaga bandă m Oktibius este zero. Matematicienii din geometria simplectică au învățat că lipirea pieselor „locale” pentru a recupera un număr de intersecții „global” este un proces mult mai complex decât și-au imaginat pentru prima dată.