Sistem de coordonate carteziene

Fig. 1-Sistem de coordonate carteziene. Patru puncte sunt marcate: (2,3) în verde, (-3,1) în roșu, (-1,5,-2,5) în albastru și (0,0), originea, în galben.

în matematică, sistemul de coordonate carteziene (sau sistemul de coordonate dreptunghiulare) este utilizat pentru a determina fiecare punct unic într-un plan prin două numere, numite de obicei coordonata x și coordonata y a punctului. Pentru a defini coordonatele, sunt specificate două linii direcționate perpendiculare (axa x sau abscisa și axa y sau ordonata), precum și lungimea unității, care este marcată pe cele două axe (vezi Figura 1). Sistemele de coordonate carteziene sunt, de asemenea, utilizate în spațiu (unde sunt utilizate trei coordonate) și în dimensiuni mai mari.

Fig. 2-Sistem de coordonate carteziene cu cercul razei 2 centrat la originea marcată cu roșu. Ecuația cercului este x2 + y2 = 4.

folosind sistemul de coordonate carteziene, formele geometrice (cum ar fi curbele) pot fi descrise prin ecuații algebrice, și anume ecuații satisfăcute de coordonatele punctelor situate pe formă. De exemplu, un cerc cu raza 2 poate fi descris prin ecuația x2 + y2 = 4 (a se vedea Figura 2).

Istorie

cartezian înseamnă legat de matematicianul și filosoful francez Ren Descartes (Latin: Cartesius), care, printre altele, a lucrat la îmbinarea algebrei și a geometriei euclidiene. Această lucrare a influențat dezvoltarea geometriei analitice, calculului și cartografiei.

ideea acestui sistem a fost dezvoltată în 1637 în două scrieri ale lui Descartes. În partea a doua a discursului său despre metodă, Descartes introduce noua idee de a specifica poziția unui punct sau obiect pe o suprafață, folosind două axe intersectate ca ghiduri de măsurare. În La G, el explorează în continuare conceptele menționate mai sus.

sistem de coordonate bidimensional

Fig. 3-cele patru cadrane ale unui sistem de coordonate carteziene. Săgețile de pe axe indică faptul că se extind pentru totdeauna în direcțiile respective (adică infinit).

un sistem de coordonate carteziene în două dimensiuni este definit în mod obișnuit de două axe, în unghi drept unul față de celălalt, formând un plan (un plan xy). Axa orizontală este în mod normal etichetată x, iar axa verticală este în mod normal etichetată y. într–un sistem de coordonate tridimensional, se adaugă o altă axă, în mod normal etichetată z, oferind o a treia dimensiune a măsurării spațiului. Axele sunt definite în mod obișnuit ca reciproc ortogonale între ele (fiecare în unghi drept față de cealaltă). (Sistemele timpurii permiteau axe” oblice”, adică axe care nu se întâlneau în unghi drept, iar astfel de sisteme sunt folosite ocazional astăzi, deși mai ales ca exerciții teoretice.) Toate punctele dintr-un sistem de coordonate carteziene luate împreună formează un așa-numit plan cartezian. Ecuațiile care utilizează sistemul de coordonate carteziene se numesc ecuații carteziene.

punctul de intersecție, unde se întâlnesc axele, se numește originea etichetată în mod normal O.Axele X și y definesc un plan care este denumit planul xy.Având în vedere fiecare axă, alegeți o lungime a unității și marcați fiecare unitate de-a lungul axei, formând o grid.To specificați un anumit punct pe un sistem de coordonate bidimensional, indicați mai întâi unitatea x (abscisă), urmată de unitatea y (ordonată) sub forma (x,y), o pereche ordonată.

alegerea literelor provine dintr-o convenție, pentru a utiliza ultima parte a alfabetului pentru a indica valori necunoscute. În schimb, prima parte a alfabetului a fost utilizată pentru a desemna valori cunoscute.

un exemplu de punct P pe sistem este indicat în Figura 3, folosind coordonata (3,5).

intersecția celor două axe creează patru regiuni, numite cadrane, indicate prin cifrele romane I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) și IV (+,−). În mod convențional, cadranele sunt etichetate în sens invers acelor de ceasornic începând din cadranul din dreapta sus („nord-est”). În primul cadran, ambele coordonate sunt pozitive, în al doilea cadran x-coordonatele sunt negative și Y-coordonatele pozitive, în al treilea cadran ambele coordonate sunt negative, iar în al patrulea cadran, x-coordonatele sunt pozitive și Y-coordonatele negative (vezi tabelul de mai jos.)

sistem de coordonate tridimensional

Fig. 4-Sistem de coordonate carteziene tridimensionale cu axa y îndreptată spre observator.

Fig. 5-Sistem de coordonate carteziene tridimensionale cu axa x îndreptată spre observator.

sistemul de coordonate carteziene tridimensionale oferă cele trei dimensiuni fizice ale spațiului—lungime, lățime și înălțime. Figurile 4 și 5 arată două moduri comune de reprezentare a acesteia.

cele trei axe carteziene care definesc sistemul sunt perpendiculare între ele. Coordonatele relevante sunt de forma (x,y,z). De exemplu, figura 4 prezintă două puncte reprezentate într-un sistem tridimensional de coordonate carteziene: P(3,0,5) și Q(-5,-5,7). Axele sunt reprezentate într-o orientare „coordonate mondiale” cu axa z îndreptată în sus.

coordonatele x, y și z ale unui punct pot fi, de asemenea, luate ca distanțe de la planul yz, planul xz și, respectiv, planul xy. Figura 5 prezintă distanțele punctului P de la planuri.

planurile xy-, yz-și xz împart spațiul tridimensional în opt subdiviziuni cunoscute sub numele de octanți, similar cu cadranele spațiului 2D. În timp ce convențiile au fost stabilite pentru etichetarea celor patru cadrane ale planului XY, numai primul octant al spațiului tridimensional este etichetat. Conține toate punctele ale căror coordonate x, y și z sunt pozitive.

coordonata z se mai numește applicate.

orientare și generozitate

vezi și: regula mâinii drepte

în două dimensiuni

regula mâinii drepte.

fixarea sau alegerea axei x determină axa y până la direcție. Anume, axa y este în mod necesar perpendiculară pe axa x prin punctul marcat 0 pe axa X. Dar există posibilitatea de a alege care dintre cele două jumătăți de linii de pe perpendicular să desemneze ca fiind pozitive și care ca fiind negative. Fiecare dintre aceste două alegeri determină o orientare diferită (numită și handedness) a planului cartezian.

modul obișnuit de orientare a axelor, cu axa x pozitivă îndreptată spre dreapta și axa y pozitivă îndreptată în sus (iar axa x fiind „prima” și axa y axa „a doua”) este considerată orientarea pozitivă sau standard, numită și orientarea dreptaci.

un mnemonic utilizat în mod obișnuit pentru definirea orientării pozitive este regula mâinii drepte. Plasând o mână dreaptă oarecum închisă pe plan cu degetul mare îndreptat în sus, degetele indică de la axa x la axa y, într-un sistem de coordonate orientat pozitiv.

cealaltă modalitate de orientare a axelor este respectarea regulii mâinii stângi, plasarea mâinii stângi pe plan cu degetul mare îndreptat în sus.

indiferent de regula folosită pentru orientarea axelor, rotirea sistemului de coordonate va păstra orientarea. Comutarea rolului lui x și y va inversa orientarea.

în trei dimensiuni

Fig. 7-orientarea stângaci este afișată în stânga, iar cea dreaptă în dreapta.

Fig. 8 – Sistemul de coordonate carteziene dreptaci care indică planurile de coordonate.

odată ce axele x și y sunt specificate, ele determină linia de – a lungul căreia ar trebui să se afle axa z, dar există două direcții posibile pe această linie. Cele două sisteme de coordonate posibile care rezultă sunt numite” dreptaci „și ” stângaci”.”Orientarea standard, unde planul xy este orizontal și axa z indică în sus (iar axa x și Y formează un sistem de coordonate bidimensional orientat pozitiv în planul xy dacă este observat de deasupra planului xy) se numește dreptaci sau pozitiv.

numele derivă din regula mâinii drepte. Dacă degetul arătător al mâinii drepte este îndreptat înainte, degetul mijlociu îndoit spre interior într-un unghi drept față de acesta și degetul mare plasat în unghi drept față de ambele, cele trei degete indică direcțiile relative ale axelor x, y și z într-un sistem dreptaci. Degetul mare indică axa x,degetul arătător axa y și degetul mijlociu axa Z. În schimb, dacă același lucru se face cu mâna stângă, rezultă un sistem stângaci.

diferite discipline folosesc diferite variații ale sistemelor de coordonate. De exemplu, matematicienii folosesc de obicei un sistem de coordonate dreptaci cu axa y îndreptată în sus, în timp ce inginerii folosesc de obicei un sistem de coordonate stângaci cu axa z îndreptată în sus. Acest lucru are potențialul de a duce la confuzie atunci când inginerii și matematicienii lucrează la același proiect.

Figura 7 este o încercare de a descrie un sistem de coordonate stângaci și dreptaci. Deoarece un obiect tridimensional este reprezentat pe ecranul bidimensional, distorsiunea și ambiguitatea rezultă. Axa îndreptată în jos (și spre dreapta) este, de asemenea, menită să indice spre observator, în timp ce axa „mijlocie” este menită să indice departe de observator. Cercul roșu este paralel cu planul orizontal XY și indică rotația de la axa x la axa y (în ambele cazuri). Prin urmare, săgeata roșie trece în fața axei Z.

figura 8 este o altă încercare de a descrie un sistem de coordonate dreptaci. Din nou, există o ambiguitate cauzată de proiectarea sistemului de coordonate tridimensionale în plan. Mulți observatori văd figura 8 ca „răsturnând și ieșind” între un cub convex și un colț „concav”.”Aceasta corespunde celor două orientări posibile ale sistemului de coordonate. Văzând figura ca convexă oferă un sistem de coordonate stângaci. Astfel, modul” corect ” de a vizualiza figura 8 este de a imagina axa x ca îndreptându-se spre observator și văzând astfel un colț concav.

în fizică

discuția de mai sus se aplică sistemelor de coordonate carteziene din matematică, unde este obișnuit să nu se utilizeze nicio unitate de măsură. În fizică, este important să rețineți că o dimensiune este pur și simplu o măsură a ceva și că, pentru fiecare clasă de caracteristici care trebuie măsurate, se poate adăuga o altă dimensiune. Atașamentul la vizualizarea dimensiunilor împiedică înțelegerea numeroaselor dimensiuni diferite care pot fi măsurate (timp, masă, culoare, cost etc.). Obiectele multidimensionale pot fi calculate și manipulate algebric.

reprezentând un vector cu notație carteziană

un punct în spațiu într-un sistem de coordonate carteziene poate fi, de asemenea, reprezentat de un vector, care poate fi gândit ca o săgeată care indică de la originea sistemului de coordonate până la punct. Dacă coordonatele reprezintă Poziții Spațiale (deplasări) este obișnuit să se reprezinte vectorul de la origine până la punctul de interes ca r {\displaystyle \mathbf {r} } . Folosind coordonatele carteziene, vectorul de la origine până la punctul (x , y , z) {\displaystyle (x,y,z)} poate fi scris ca:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , și Z {\displaystyle z} axe, respectiv.

această notație este de obicei denumită notație carteziană. Vectorii unitari i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } și k {\displaystyle \mathbf {k} } se numesc versorii sistemului de coordonate și reprezintă un exemplu de bază standard.

note suplimentare

în geometria computerului, sistemul de coordonate carteziene este fundamentul manipulării algebrice a formelor geometrice. Multe alte sisteme de coordonate au fost dezvoltate de la Descartes. Un set comun de sisteme utilizează coordonate polare; astronomii folosesc adesea coordonate sferice, un tip de sistem de coordonate polare.

A se vedea, de asemenea,

• curba
• Geometrie
• Grafic
• linie (matematică)
• matematică
• număr
• plan (matematică)
• punct (geometrie)
• Ren Descartes

Note

• Descartes, Ren-ul. 2001. Discurs despre metodă, optică, Geometrie și meteorologie. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, în: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• Gel Inktiffand, I. M., E. G. Glagoleva și A. A. Kirillov. 1990. Metoda coordonatelor. Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Matematică pentru Nonmatematician. New York: Dover. ISBN 0817635335.

toate link-urile preluate 16 ianuarie 2017.

• sistem de coordonate carteziene.
• coordonate carteziene imprimabile.coordonatele carteziene. PlanetMath.