teorema binomială

expansiuni binomiale folosind triunghiul lui Pascal

luați în considerare următoarele puteri extinse ale (A + b)n, unde A + b este orice binom și n este un număr întreg. Căutați modele.

fiecare expansiune este un polinom. Există câteva modele care trebuie notate.

1. Există încă un termen decât puterea exponentului, n. adică există termeni în expansiunea (a + b) n.

2. În fiecare termen, suma exponenților este n, puterea la care este ridicat binomul.

3. Exponenții unui încep cu n, puterea binomului și scad la 0. Ultimul termen nu are factor de a. primul termen nu are factor de b, deci puterile lui b încep cu 0 și cresc la n.

4. Coeficienții încep de la 1 și cresc prin anumite valori aproximativ „jumătate”și apoi scad prin aceleași valori înapoi la 1.

să explorăm coeficienții în continuare. Să presupunem că vrem să găsim o extindere a (A + b)6. Modelele pe care tocmai le-am observat indică faptul că există 7 termeni în expansiune:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
cum putem determina valoarea fiecărui coeficient, ci? Putem face acest lucru în două moduri. Prima metodă implică scrierea coeficienților într-o matrice triunghiulară, după cum urmează. Acest lucru este cunoscut sub numele de triunghiul lui Pascal:

există multe modele în triunghi. Găsiți cât mai multe ca tine poate.
poate ai descoperit o modalitate de a scrie următorul rând de numere, având în vedere numerele din rândul de deasupra acestuia. Există întotdeauna 1 pe exterior. Fiecare număr rămas este suma celor două numere de deasupra acestuia. Să încercăm să găsim o expansiune pentru (a + b)6 prin adăugarea unui alt rând folosind modelele pe care le-am descoperit:

vedem că în ultimul rând

numerele 1 și ultimele sunt 1;
numărul 2 este 1 + 5 sau 6;
numărul 3 este 5 + 10 sau 15;
numărul 4 este 10 + 10, sau 20;
al 5-lea număr este 10 + 5 sau 15; și
al 6-lea număr este 5 + 1 sau 6.

astfel expansiunea pentru (a + b)6 Este
(A + b)6 = 1A6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1B6.

pentru a găsi o expansiune pentru (a + b)8, completăm încă două rânduri din triunghiul lui Pascal:

astfel expansiunea este
(A + b)8 = A8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

putem generaliza rezultatele noastre după cum urmează.

Teorema binomului folosind triunghiul lui Pascal

pentru orice binom a + b și orice număr natural n,
(A + b)n = c0anb0 + c1an-1B1 + c2an-2B2 + …. + cn-1a1bn – 1 + cna0bn,
unde numerele c0, c1, c2,…., cn-1, cn sunt din rândul (n + 1) – st al triunghiului lui Pascal.

Exemplul 1 extinde: (u – v)5.

soluție avem (A + b) n, unde a = u, b = -v și n = 5. Folosim al 6-lea rând al triunghiului lui Pascal:
1 5 10 10 5 1
apoi avem
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2-10u2v3 + 5uv4-v5.
rețineți că semnele Termenilor alternează între + și -. Când puterea lui-v este ciudată, semnul este -.

Exemplul 2 extinde: (2t + 3 / t)4.

soluție avem (A + b) n, unde a = 2T, b = 3/t și n = 4. Folosim al 5-lea rând al triunghiului lui Pascal:
1 4 6 4 1
atunci avem

expansiune binomială folosind notația factorială

Să presupunem că vrem să găsim expansiunea lui (A + b)11. Dezavantajul utilizării triunghiului lui Pascal este că trebuie să calculăm toate rândurile precedente ale triunghiului pentru a obține rândul necesar expansiunii. Următoarea metodă evită acest lucru. De asemenea, ne permite să găsim un termen specific — să zicem, al 8 — lea termen-fără a calcula toți ceilalți termeni ai expansiunii. Această metodă este utilă în cursuri precum matematica finită, calculul și statisticile și folosește notația coeficientului binomial .
putem reafirma teorema binomului după cum urmează.

Teorema binomului folosind notația factorială

pentru orice binom (a + b) și orice număr natural n,
.

teorema binomului poate fi dovedită prin inducție matematică. (A se vedea exercițiul 63.) Acest formular arată de ce se numește coeficient binomial.

Exemplul 3 extinde: (x2 – 2y)5.

soluție avem (A + b) n,unde a = x2, b = -2Y și n = 5. Apoi, folosind teorema binomului, avem

În cele din urmă (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

Exemplul 4 extinde: (2 / x + 3 x x x)4.

soluție avem (A + b) n, unde a = 2/x, b = 3 x x și n = 4. Apoi, folosind teorema binomului, avem

În cele din urmă (2 / x + 3 x x) 4 = 16 / x4 + 96/x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

găsirea unui termen Specific

Să presupunem că vrem să determinăm doar un anumit termen al unei expansiuni. Metoda pe care am dezvoltat-o ne va permite să găsim un astfel de termen fără a calcula toate rândurile triunghiului lui Pascal sau toți coeficienții precedenți.

rețineți că în teorema binomului, ne dă termenul 1, ne dă termenul 2, ne dă termenul 3 și așa mai departe. Acest lucru poate fi generalizat după cum urmează.

găsirea termenului (k + 1)-st

termenul (k + 1)-st Al (a + b)n este.

exemplul 5 Găsiți al 5 – lea termen în expansiunea (2x-5y)6.

soluție în primul rând, observăm că 5 = 4 + 1. Astfel, k = 4, a = 2x, b = -5y și n = 6. Apoi al 5 – lea termen al expansiunii este

exemplul 6 Găsiți al 8-lea termen în expansiunea (3x-2)10.

soluție în primul rând, observăm că 8 = 7 + 1. Astfel, k = 7, a = 3x, b = -2 și n = 10. Apoi al 8-lea termen al expansiunii este

numărul Total de subseturi

Să presupunem că o mulțime are n obiecte. Numărul de subseturi care conțin k elemente . Numărul total de subseturi ale unui set este numărul de subseturi cu 0 elemente, plus numărul de subseturi cu 1 element, plus numărul de subseturi cu 2 elemente și așa mai departe. Numărul total de subseturi ale unui set cu n elemente este
.
acum ia în considerare extinderea (1 + 1)n:
.
astfel, numărul total de subseturi este (1 + 1) n, sau 2n. am dovedit următoarele.

numărul total de subseturi

numărul total de subseturi ale unei mulțimi cu n elemente este 2n.

exemplul 7 mulțimea {A, B, C, D, E} are câte subseturi?

soluție setul are 5 elemente, deci numărul de subseturi este 25 sau 32.

exemplul 8 Wendy ‘ s, un lanț național de restaurante, oferă următoarele toppinguri pentru hamburgerii săi:
{catsup, muștar, maioneză, roșii, salată, ceapă, murături, gust, brânză}.
câte tipuri diferite de hamburgeri pot servi Wendy, excluzând Mărimea hamburgerului sau numărul de chiftele?

soluție toppingurile de pe fiecare hamburger sunt elementele unui subset al setului tuturor toppingurilor posibile, setul gol fiind un hamburger simplu. Numărul total de hamburgeri posibil este

astfel, Wendy servește hamburgeri în 512 moduri diferite.