Weak Law of Large Number

2.3 Bayesian statistics paradigm

det är allmänt överens av dess anhängare och kritiker att Bayesianism5 för närvarande är den dominerande uppfattningen i vetenskapsfilosofin. Vissa statistiker har gått längre, antar år sedan att Bayesian statistik kommer att vara den dominerande statistiken för det tjugoförsta århundradet. Huruvida detta påstående kan styrkas ligger utanför tillämpningsområdet för denna inledning. Det är emellertid obestridligt att det bayesiska paradigmet har spelat en central roll i sådana discipliner som filosofi, statistik, datavetenskap och till och med rättsvetenskap.

Bayesians är i stort sett indelade i subjektiva och objektiva kategorier. Enligt alla Bayesier måste en agents tro uppfylla reglerna för sannolikhetskalkylen. Annars, i enlighet med det välkända ”holländska bok” – argumentet, är agentens grad av tro osammanhängande. Subjektiva Bayesier tar denna (probabilistiska) koherens för att vara både ett nödvändigt och ett tillräckligt villkor för rationaliteten hos en agents tro, och hävdar sedan (vanligtvis) att rationella agenters tro kommer att konvergera över tiden. Poängen med vetenskaplig slutsats och källan till dess ”objektivitet” är att garantera koherens och säkerställa konvergens. Objektiva Bayesier å andra sidan insisterar vanligtvis på att även om koherensvillkoren är nödvändiga, är det inte heller tillräckligt för den typ av objektivitet som vetenskapliga metoder är avsedda att möjliggöra.

Paul Weirichs papper i denna volym fokuserar främst på subjektiv Sannolikhet. Weirich har utvecklat ett bayesianskt beslutsteoretiskt tillvägagångssätt där han överväger hur en agents tro kan revideras mot bakgrund av data. Sannolikheter representerar en agents grad av tro. Weirich utvärderar flera anklagelser mot Bayesians. Enligt en invändning som han har övervägt tillåter Bayesianism en agents grader av tro att vara något så länge de uppfyller sannolikhetskalkylen. Weirich tar invändningen att antyda att Bayesian subjektiva sannolikheter måste representera en agents idiosynkratiska övertygelser. Han har dock avvisat permissiv Bayesianism till förmån för sin version av Bayesianism. Begreppet villkorlig sannolikhet som villkorsprincipen vilar på är centralt för honom. Enligt denna princip bör en agent uppdatera sin grad av tro på en hypotes (H) i ljuset av data (D) i enlighet med principen om konditionalisering, som säger att hennes grad av tro på H efter att data är kända ges av den villkorliga sannolikheten P(H|D) = P(H&D)/P(D), förutsatt att P(D) inte är noll. Weirich utvärderar också anklagelser mot användningen av principen om villkorliggörande. Slutligen jämför han Bayesian statistisk beslutsteori med klassisk statistik och avslutar sitt papper med en utvärdering av den senare.ett centralt forskningsområde inom vetenskapsfilosofin är Bayesiansk konfirmationsteori. James Hawthorne tar Bayesiansk bekräftelsesteori för att ge en logik för hur bevis skiljer sig mellan konkurrerande hypoteser eller teorier. Han hävdar att det är vilseledande att identifiera Bayesiansk bekräftelsesteori med den subjektiva berättelsen om Sannolikhet. Snarare, varje konto som representerar i vilken grad en hypotes stöds av bevis som en villkorlig sannolikhet för hypotesen på bevisen, där den involverade sannolikhetsfunktionen uppfyller de vanliga probabilistiska axiomerna, kommer att vara en bayesisk bekräftelseteori, oavsett tolkningen av begreppet Sannolikhet den använder. För på något sådant konto kommer Bayes sats att uttrycka hur vilka hypoteser som säger om bevis (via sannolikheten) påverkar i vilken grad hypoteser stöds av bevis (via bakre sannolikheter). Hawthorne hävdar att den vanliga subjektiva tolkningen av den probabilistiska bekräftelsefunktionen utmanas allvarligt av utökade versioner av problemet med gamla bevis. Han visar att på den vanliga subjektivistiska tolkningen kan även trivial information som en agent kan lära sig om ett beviskrav helt undergräva objektiviteten hos sannolikheten. Således, i den mån sannolikheten ska vara objektiv (eller intersubjektivt överenskommen), kan bekräftelsefunktionen inte bära den vanliga subjektivistiska läsningen. Hawthorne tar tidigare sannolikheter att bero på rimlighetsbedömningar, men hävdar att sådana bedömningar inte bara är subjektiva, och att Bayesian bekräftelsesteori inte är allvarligt handikappad av den typ av subjektivitet som är involverad i sådana bedömningar. Han baserar det senare påståendet på ett kraftfullt bayesianskt konvergensresultat, som han kallar likelihood ratio convergence theorem. Denna sats beror bara på sannolikhet, inte på tidigare sannolikheter; och det är en svag lag av stort antal resultat som ger uttryckliga gränser för konvergenshastigheten. Det visar att när bevis ökar blir det mycket troligt att de bevisliga resultaten kommer att vara sådana att sannolikhetsförhållandena kommer att starkt gynna en sann hypotes över varje bevisligt särskiljbar konkurrent. Således kommer alla två bekräftelsefunktioner (anställda av olika agenter) som är överens om sannolikhet men skiljer sig åt tidigare sannolikheter för hypoteser (förutsatt att prior för den sanna hypotesen inte är för nära 0) tenderar att producera sannolikhetsförhållanden som ger bakre sannolikheter att konvergera mot 0 för falska hypoteser och mot 1 för det sanna alternativet.6 John D. Norton försöker ge en motvikt till den nu dominerande uppfattningen att Bayesian confirmation theory har lyckats hitta den universella logiken som styr bevis och dess induktiva bäring i vetenskapen. Han tillåter att Bayesians har goda skäl till optimism. Där många andra har misslyckats lyckas deras system med att specificera en exakt kalkyl, förklara de induktiva principerna för andra konton och kombinera dem till en enda konsekvent teori. Men han uppmanar, dess dominans uppstod först nyligen under århundradena av Bayesiansk teoretisering och kanske inte Senast Med tanke på de problem som den står inför.

många av de problem som Norton identifierar för Bayesian confirmation theory rör tekniska egenskaper som våra läsare kan hitta mer eller mindre oroande. Enligt hans uppfattning, den allvarligaste utmaningen härrör från Bayesian strävan att ge en fullständig redogörelse för induktiv slutsats som spårar vår induktiva resonemang tillbaka till en initial, neutralt tillstånd, före införlivandet av några bevis. Vad som besegrar denna strävan, enligt Norton, är det välkända, motstridiga problemet med priors, som berättas i två former i hans kapitel. I en form är problemet att den bakre P(H|D&B), som uttrycker det induktiva stödet av data D för hypotes H i samband med bakgrundsinformation B, fixeras helt av de två ”tidigare” sannolikheterna, P(H&D|B) och P (D|B). Om man är subjektivist och anser att de tidigare sannolikheterna kan väljas vid infall, endast föremål för axiomerna i sannolikhetsberäkningen, kan enligt Norton den bakre P(H|D&B) aldrig befrias från dessa lustar. Eller om man är en objektivist och anser att det bara kan finnas en korrekt prior i varje specifik situation, sedan, som förklaras i hans kapitel, additiviteten hos en sannolikhetsåtgärd utesluter en tilldela verkligt ”informationslös priors.”Det är till det bättre, enligt Norton, eftersom en verkligt informationslös prior skulle tilldela samma värde till varje kontingent proposition i algebra. Det funktionella beroendet av en bakre på priorerna skulle då tvinga alla icke-triviala posteriorer till ett enda, informationslöst värde. Därför kan ett Bayesiskt konto vara icke-trivialt, hävdar Norton, endast om det börjar med en rik tidigare sannolikhetsfördelning vars induktiva innehåll tillhandahålls av andra, icke-bayesiska medel.

tre papper i volymen undersöker möjligheten att Bayesian-konto kan visas som en form av logik. Colin Howson hävdar att Bayesianism är en form av deduktiv logik av inferens, medan Roberto Festa och Jan-Willem Romeijn hävdar att Bayesiansk teori kan gjutas i form av induktiv inferens. För att undersöka om Bayesian konto kan betraktas som en form av deduktiv inferens, Howson ser kort på de senaste tre hundra år av vetenskaplig slutledning och sedan fokuserar på varför han anser att Bayesian slutledning bör betraktas som en form av ren logik slutledning. Med hänsyn till debatten om huruvida probabilistisk slutsats kan betraktas som logik konsistens eller sammanhang, han diskuterar de Finetti teori om Sannolikhet där de Finetti tog teorin om sannolikhet att inte säga något om världen, men tar det som en ”logik osäkerhet.”En motiverande anledning att överväga varför Bayesian inferens bör tas som en logik av ren logik är att notera hans oenighet med Kyburgs skillnad mellan uttrycket ”konsistens” som ska tillämpas på ett system som inte innehåller två inkonsekventa övertygelser och uttrycket ”koherens” som ska tillämpas på grader av tro. För Howson är analogin med deduktiv logik mellan den senare som ställer konsekvensbegränsningar på sanningsutvärderingar och reglerna för sannolikhetsteorin som ställer begränsningar i graden av tro. Resten av hans papper ägnas åt att utveckla och tolka Bayesian inferens som en form av ren logik av inferens.

både Festa och Romeijn beklagar att statistik och induktiv inferens under det senaste århundradet har utvecklats och blomstrat mer eller mindre oberoende av varandra, utan tydliga tecken på symbios. Festa zoomar in på Bayesiansk statistik och Carnaps teori om induktiva sannolikheter och visar att trots deras olika konceptuella baser är de metoder som utarbetats inom den senare väsentligen identiska med de som används inom den förra. Han hävdar att vissa begrepp och metoder för induktiv logik kan tillämpas vid rationell rekonstruktion av flera statistiska begrepp och förfaranden. Enligt honom föreslår induktiv logik några nya metoder som kan användas för olika typer av statistisk slutsats som involverar analoga överväganden. Slutligen visar Festa hur en Bayesiansk version av sanningstillnärmning kan utvecklas och integreras i en statistisk ram.7

Romeijn undersöker också förhållandet mellan statistik och induktiv logik. Även om induktiv logik och statistik har utvecklats separat, tycker Romeijn, som Festa, att det är dags att utforska sambandet mellan de två. I sin uppsats undersöker han om det är möjligt att representera olika former av statistisk inferens i termer av induktiv logik. Romeijn anser tre viktiga ideer i statistiken för att skapa länken. De är (i) Neyman-Pearson hypotesprovning (NPTH), (ii) uppskattning av maximal sannolikhet och (iii) Bayesiansk statistik. Romeijn visar, med både Carnapian och Bayesian induktiv logik, att den sista av två av dessa tankar (dvs. Bayesiansk statistik) kan representeras naturligt i termer av en icke-ampliativ induktiv logik. I det sista avsnittet i hans kapitel förenas NPTH med Bayesian induktiv logik med hjälp av intervallbaserade sannolikheter över de statistiska hypoteserna.

eftersom det finns subjektiva Bayesier så finns det objektiva Bayesier. Josabbi Bernardo är en av dem. Eftersom många filosofer i allmänhet inte är medvetna om Bernardos arbete kommer vi att ägna en relativt längre diskussion åt det. Bernardo skriver att ”t har blivit standardpraxis,…, att beskriva som ”objektiv” någon statistisk analys som bara beror på den antagna modellen. I denna exakta mening (och endast i denna mening) är referensanalys en metod för att producera” objektiv ”Bayesiansk inferens”.

För Bernardo bör referensanalysen som han har förespråkat för att främja sitt varumärke av objektiv Bayesianism förstås i termer av någon parametrisk modell av formen M. Här antas data x bestå av en observation av den slumpmässiga processen x megapixlar X med sannolikhetsfördelning P(x|w) för vissa w hawaiier. En parametrisk modell är en instans av en statistisk modell. Bernardo definierar att det är en vektor av intresse. Alla legitima Bayesiansk slutsatser om värdet θ är fångade i dess bakre fördelning P(θ|x)∝∫ΛP(x|θ λ)P(θ λ)dλ förutsatt att dessa slutsatser har gjorts under en antagen modell. Här är en viss vektor av olägenhetsparametrar och kallas ofta” modell ” P(x|megapixlar).

attraktionen av denna typ av objektivism är dess betoning på ”referensanalys”, som med hjälp av statistiska verktyg har gjort ytterligare framsteg när det gäller att förvandla sitt tema objektivitet till en respektabel statistisk skola inom Bayesianismen. Som Bernardo skriver, ”eferensanalys kan beskrivas som en metod för att härleda modellbaserade, icke-subjektiva posteriorer, baserade på informationsteoretiska ideer, och avsedda att beskriva det inferentiella innehållet i data för vetenskaplig kommunikation” . Här med det” inferentiella innehållet i uppgifterna ” menar han att den förra ger ”grunden för en metod för att härleda icke-subjektiva posteriorer” (Ibid). Bernardos objektiva Bayesianism består av följande påståenden.för det första anser han att agentens bakgrundsinformation ska hjälpa utredaren att bygga en statistisk modell, vilket i slutändan påverkar vilken före den senare ska tilldela modellen. Därför, även om Bernardo kan stödja att komma fram till ett unikt sannolikhetsvärde som ett mål, kräver han inte att vi behöver ha den unika sannolikhetstilldelningen i alla frågor till vårt förfogande. Han skriver, ”han analytiker ska ha en unik (ofta subjektiv) tidigare p(w), oberoende av experimentets utformning, men det vetenskapliga samfundet kommer förmodligen att vara intresserad av att jämföra motsvarande analytikers personliga bakre med referensen (konsensus) bakre associerad med den publicerade experimentella designen.” . För det andra, för Bernardo, är statistisk inferens inget annat än ett fall att bestämma bland olika modeller/teorier, där beslut bland annat innefattar nyttan av att agera på antagandet att modellen/teorin är empiriskt tillräcklig. Här kan nyttan av att agera på den empiriska tillräckligheten hos modellen / teorin i fråga innebära en viss förlustfunktion . I sitt kapitel för denna volym har han utvecklat sin version av objektiv Bayesianism och har tagit upp flera anklagelser mot hans konto.i sitt gemensamma kapitel har Gregory Wheeler och Jon Williamson kombinerat objektiv Bayesianism med Kyburgs bevisteori om Sannolikhet. Denna position av Bayesianism eller någon form av Bayesianism verkar i strid med Kyburgs inställning till statistisk slutsats som vilar på hans bevisteori om Sannolikhet. Vi kommer att överväga Kyburgs enda argument mot Bayesianism. Kyburg anser att vi inte bör betrakta partiella övertygelser som” grader av tro ” eftersom (strikta) Bayesier (som Savage) är förknippade med antagandet om en unik Sannolikhet för ett förslag. Han diskuterade den intervallbaserade sannolikheten som att fånga våra partiella övertygelser om osäkerhet. Eftersom den intervallbaserade sannolikheten inte är Bayesian följer det att vi inte får behandla partiella övertygelser som grader av tro. Med tanke på denna motsättning mellan Kyburgs syn på sannolikhet och objektiv Bayesiansk syn har Wheeler och Williamson försökt visa hur kärnuppfattningar om båda dessa två åsikter kan fruktbart rymmas inom ett enda redogörelse för vetenskaplig slutsats.

för att avsluta vår diskussion om Bayesian position med tanke på Royalls tillskrivning av trosfrågan till Bayesians, skulle många Bayesians ha blandade känslor om denna tillskrivning. Till viss del kan vissa av dem betrakta det som olämpligt enkelt. Howson skulle hålla med om denna tillskrivning med observationen att detta skulle sakna några nyanser och subtiliteter av Bayesian teori. Han följer i stort sett de Finettis linje när han tar subjektiva utvärderingar av sannolikhet. Dessa utvärderingar kallas vanligtvis ” grader av tro.”Så i den utsträckning tror han säkerhet att det finns en central roll för grader av tro, eftersom de trots allt är det som direkt hänvisas till av sannolikhetsfunktionen. Därför, enligt honom, är tillskrivningen av trosfrågan till Bayesians någon mening. Han anser emellertid att huvuddelen av den bayesiska teorin består i att identifiera de begränsningar som bör åläggas dessa för att säkerställa deras konsistens/koherens. Hans papper har gett den ramen för Bayesianism. Hawthorne kan delvis vara oense med Royall eftersom hans Likelihood Ratio Konvergenssats visar att hur olika agenter kunde komma överens i slutändan trots att de mycket väl kunde börja med varierande grad av tro på en teori. Både Weirich och Norton, även om de tillhör motsatta läger i den mån deras ställningstaganden mot Bayesianism berörs, kan komma överens om att Royalls tillskrivning till Bayesians trots allt är berättigad. När det gäller förutsägelse frågan, många Bayesians, inklusive de som arbetar inom gränserna för bekräftelse teori, skulle hävda att en redogörelse för bekräftelse som svarar på tron frågan kan hantera förutsägelse frågan som, För Bayesians, den senare är en underklass av tron frågan.