Fraco Lei do Grande Número
2.3 estatística Bayesiana paradigma
é geralmente aceite pelos seus apoiantes e críticos que Bayesianism5 atualmente é a visão dominante na filosofia da ciência. Alguns estatísticos foram mais longe, conjecturando anos atrás que as estatísticas Bayesianas serão as estatísticas dominantes para o século XXI. A questão de saber se esta alegação pode ser fundamentada está fora do âmbito desta introdução. No entanto, é incontestável que o paradigma Bayesiano tem desempenhado um papel central em disciplinas como filosofia, estatística, ciência da computação e até mesmo jurisprudência.os Bayesianos estão divididos em categorias subjetivas e objetivas. De acordo com todos os Bayesianos, a crença de um agente deve satisfazer as regras do cálculo de probabilidades. Caso contrário, de acordo com o familiar argumento do “livro holandês”, o grau de crença do agente é incoerente. Os Bayesianos subjetivos consideram esta coerência (probabilística) uma condição necessária e suficiente para a racionalidade das crenças de um agente, e então (tipicamente) argumentam que as crenças dos agentes racionais convergirão ao longo do tempo. O objetivo da inferência científica, e a fonte de sua “objetividade”, é garantir a coerência e garantir a convergência. Os Bayesianos objetivos, por outro lado, normalmente insistem que, embora a condição de coerência seja necessária, não é também suficiente para o tipo de objetividade que as metodologias científicas se destinam a tornar possível.
Paul Weirich’s paper in this volume focus primarily on subjective probability. Weirich desenvolveu uma abordagem teórica da decisão Bayesiana onde ele considera como as crenças de um agente podem ser revisadas à luz dos dados. As probabilidades representam o grau de crença de um agente. O Weirich avalia várias acusações contra Bayesianos. De acordo com uma objeção que ele considerou, o Bayesianismo permite que os graus de crença de um agente sejam qualquer coisa desde que satisfaçam o cálculo de probabilidade. Weirich aceita a objeção de estar implicando que as probabilidades subjetivas Bayesianas devem representar as crenças idiossincráticas de um agente. Ele, no entanto, rejeitou o Bayesianismo permissivo em favor de sua versão do Bayesianismo. A noção de probabilidade condicional sobre a qual repousa o princípio da condicionalização é central para ele. De acordo com este princípio, um agente deve atualizar o seu grau de crença em uma hipótese (H) em função de dados (D) em conformidade com o princípio da conditionalization, que diz que o seu grau de crença em H após a data é conhecida, é dado pela probabilidade condicional P(H|D) = P(H&D)/P(D), assumindo que P(D) não é zero. Weirich também avalia as acusações feitas contra o uso do princípio da condicionalização. Finalmente, ele compara a teoria da decisão estatística Bayesiana com as estatísticas clássicas, concluindo seu trabalho com uma avaliação deste último.uma área central de pesquisa na filosofia da ciência é a teoria da confirmação Bayesiana. James Hawthorne usa a teoria da confirmação Bayesiana para fornecer uma lógica de como a evidência distingue entre hipóteses ou teorias concorrentes. Ele argumenta que é enganador identificar a teoria da confirmação Bayesiana com o relato subjetivo da probabilidade. Em vez disso, qualquer conta que represente o grau em que uma hipótese é suportada pela evidência como uma probabilidade condicional da hipótese sobre a evidência, onde a função de probabilidade envolvida satisfaz os axiomas probabilísticos habituais, será uma teoria de confirmação Bayesiana, independentemente da interpretação da noção de probabilidade que emprega. Para, em qualquer conta de Bayes’ teorema expressa como hipóteses que dizer sobre provas (via a probabilidade) influencia o grau em que as hipóteses são suportados por evidências (via posterior probabilidades). Hawthorne argumenta que a interpretação subjetiva usual da função de confirmação probabilística é severamente contestada por versões estendidas do problema das evidências antigas. Ele mostra que na interpretação subjetivista usual até mesmo informações triviais um agente pode aprender sobre uma alegação de evidência pode minar completamente a objetividade dos likelihoods. Assim, na medida em que os likelihoods são supostos ser objetivos (ou intersubjetivamente acordados), a função de confirmação não pode suportar a leitura subjetivista usual. Hawthorne aceita probabilidades anteriores para depender de avaliações de plausibilidade, mas argumenta que tais avaliações não são meramente subjetivas, e que a teoria da confirmação Bayesiana não é severamente prejudicada pelo tipo de subjetividade envolvida em tais avaliações. Ele baseia a última alegação em um poderoso resultado de convergência Bayesiana, que ele chama de teorema de convergência da relação de probabilidade. Este teorema depende apenas de likelihoods, não de probabilidades anteriores; e é uma lei fraca de grandes números resultado que fornece limites explícitos na taxa de convergência. Mostra que, à medida que aumenta a evidência, torna-se altamente provável que os resultados probatórios sejam de tal forma que as razões de probabilidade venham a favorecer fortemente uma hipótese verdadeira sobre cada concorrente evidencialmente distinguível. Assim, qualquer confirmação de duas funções (empregado por diferentes agentes) que concorda em probabilidade, mas diferem em probabilidades anteriores para hipóteses (desde que prévia para a verdadeira hipótese não é muito perto de 0) tendem a produzir likelihood que trazem posterior probabilidades a convergir para 0 para falso hipóteses e rumo a 1 para a verdadeira alternativa.6
John D. Norton procura fornecer um contrapeso à visão agora dominante de que a teoria da confirmação Bayesiana conseguiu encontrar a lógica universal que governa a evidência e sua influência indutiva na ciência. Ele permite que os Bayesianos tenham boas razões para otimismo. Onde muitos outros falharam, seu sistema consegue especificar um cálculo preciso, explicando os princípios indutivos de outras contas e combinando-os em uma única teoria consistente. No entanto, ele insiste, seu domínio surgiu apenas recentemente nos séculos de teorização Bayesiana e pode não durar devido à persistência dos problemas que enfrenta.
muitos dos problemas que Norton identifica para a teoria de confirmação Bayesiana dizem respeito a aspectos técnicos que os nossos leitores podem achar mais ou menos preocupantes. Em sua opinião, o desafio mais sério deriva da aspiração Bayesiana de fornecer um relato completo da inferência indutiva que traça nosso raciocínio indutivo de volta a um estado inicial, neutro, antes da incorporação de qualquer evidência. O que derrota esta aspiração, de acordo com Norton, é o bem conhecido e recalcitrante problema dos priores, relatado em duas formas em seu capítulo. Em um formulário, o problema é que a posterior P(H|D&B), que expressa o indutivo de suporte de dados D para a hipótese H em conjunto com informações de segundo plano B, é corrigido completamente pelos dois “, antes de” probabilidades, P(H&D|B) e P(D|B). Se alguém é um subjetivista e sustenta que as probabilidades anteriores podem ser selecionadas por capricho, sujeito apenas aos axiomas do cálculo de probabilidade, então, de acordo com Norton, o p posterior(H|D&B) nunca pode ser libertado desses caprichos. Ou se uma pessoa é objetivista e considera que pode haver apenas um prior correto em cada situação específica, então, como explicado em seu capítulo, a adicionividade de uma medida de probabilidade exclui uma atribuindo verdadeiramente “priores sem informação”.”Isso é para melhor, de acordo com Norton, uma vez que um prior verdadeiramente sem informação atribuiria o mesmo valor a cada proposição contingente na álgebra. A dependência funcional de um posterior sobre os priores forçaria então todos os posteriores não triviais a um único valor sem informação. Assim, uma conta Bayesiana pode ser não-trivial, Norton afirma, apenas se ela começa com uma rica distribuição de probabilidade anterior cujo conteúdo indutivo é fornecido por outros meios não-Bayesianos.
três artigos no volume exploram a possibilidade de que o relato Bayesiano poderia ser mostrado como uma forma de lógica. Colin Howson afirma que o Bayesianismo é uma forma de lógica de inferência dedutiva, enquanto Roberto Festa e Jan-Willem Romeijn afirmam que a teoria Bayesiana pode ser lançada na forma de inferência indutiva. Para investigar se o relato Bayesiano pode ser considerado como uma forma de inferência dedutiva, Howson olha brevemente para os últimos trezentos anos de inferência científica e, em seguida, foca-se em por que ele acha que a inferência bayesiana deve ser considerada uma forma de pura lógica de inferência. Tendo em conta o debate sobre o facto de inferência probabilística pode ser considerado como a lógica de consistência ou coerência, ele aborda de Finetti da teoria da probabilidade, onde de Finetti levou a teoria da probabilidade para não dizer nada sobre o mundo, mas toma-o como uma “lógica da incerteza. Uma razão motivadora para considerar por que a inferência bayesiana deve ser tomada como uma lógica de lógica pura é notar sua discordância com a distinção de Kyburg entre a expressão “consistência” para ser aplicável a um sistema que não contém duas crenças inconsistentes e a expressão “coerência” para ser aplicável aos graus de crença. Para Howson, a analogia com a lógica dedutiva é entre esta última impondo restrições de consistência nas avaliações da verdade e as regras da teoria da probabilidade impondo restrições em grau de crença. O restante de seu artigo é dedicado ao desenvolvimento e interpretação da Inferência Bayesiana como uma forma de pura lógica de inferência.tanto Festa quanto Romeijn lamentam que no século passado as estatísticas e inferência indutiva tenham se desenvolvido e florescido mais ou menos independentemente umas das outras, sem sinais claros de simbiose. Festa aproxima-se das estatísticas Bayesianas e da teoria das probabilidades indutivas de Carnap, e mostra que, apesar de suas diferentes bases conceituais, os métodos elaborados dentro das últimas são essencialmente idênticos aos utilizados dentro das primeiras. He argues that some concepts and methods of inductive logic may be applied in the rational reconstruction of several statistical notions and procedures. De acordo com ele, a lógica indutiva sugere alguns novos métodos que podem ser usados para diferentes tipos de inferência estatística envolvendo considerações analogicas. Finalmente, a Festa mostra como uma versão Bayesiana de aproximação da verdade pode ser desenvolvida e integrada em um quadro estatístico.7
Romeijn also investigates the relationship between statistics and inductive logic. Embora a lógica indutiva e as estatísticas tenham se desenvolvido separadamente, Romeijn pensa, como Festa, que é hora de explorar a inter-relação entre os dois. In his paper, he investigates whether it is possible to represent various modes of statistical inference in terms of inductive logic. Romeijn considera três ideias-chave nas estatísticas para forjar a ligação. Eles são (i) Neyman-Pearson hypothesis testing (NPTH), (ii) maximum-likelihood estimation, e (iii) Bayesian statistics. Romeijn mostra, usando tanto a lógica indutiva Carnapiana quanto a Bayesiana, que a última de duas dessas ideias (i.e., maximum-likelihood estimation and Bayesian statistics) can be represented naturally in terms of a non-amplative inductive logic. In the final section of his chapter, NPTH is joined to Bayesian inductive logic by means of interval-based probabilities over the statistical hypotheses.como existem Bayesianos subjetivos, existem Bayesianos objetivos. José Bernardo é um deles. Uma vez que muitos filósofos não estão geralmente cientes do trabalho de Bernardo, dedicaremos uma discussão relativamente mais longa a ele. Bernardo escreve que ” t tornou-se prática padrão,…, para descrever como ‘objetivo’ qualquer análise estatística que só depende do modelo assumido. Neste sentido preciso (e somente neste sentido) a análise de referência é um método para produzir Inferência Bayesiana ‘objetiva'”.
para Bernardo, a análise de referência que ele defendeu para promover sua marca de Bayesianismo objetivo deve ser entendida em termos de algum modelo paramétrico da forma M≡{P(x / w), x∈X, w Ω Ω}, que descreve as condições sob as quais os dados foram gerados. Aqui, assume-se que os dados x consistem de uma observação do processo aleatório x ∈ X com distribuição de probabilidade P(x|w) para algum W Ω Ω. Um modelo paramétrico é uma instância de um modelo estatístico. Bernardo define θ = θ(w) ∈ Θ Para ser algum Vetor de interesse. Todas as inferências Bayesianas legítimas acerca do Valor θ são capturadas na sua distribuição posterior P(θ|x) ∝ ∫ λp(x|θ,λ)P(θ,λ)dλ desde que estas inferências sejam feitas sob um modelo assumido. Aqui, λ É algum Vetor de Parâmetros de incômodo e é muitas vezes referido como “modelo” P(x|λ).
a atração deste tipo de objetivismo é sua ênfase na “análise de referência”, que com a ajuda de ferramentas estatísticas fez mais progressos em transformar seu tema de objetividade em uma escola estatística respeitável dentro do Bayesianismo. Como Bernardo Escreve,” a análise de eference pode ser descrita como um método para derivar posteriores baseados em modelos, não subjetivos, com base nas ideias teóricas de informação, e com a intenção de descrever o conteúdo inferencial dos dados para a comunicação científica”. Aqui, pelo “conteúdo inferencial dos dados”, ele significa que o primeiro fornece “a base para um método para derivar posteriores não subjetivos” (ibidem). O Bayesianismo objetivo de Bernardo consiste nas seguintes reivindicações.
Em primeiro lugar, ele acha que a informação de fundo do agente deve ajudar o investigador a construir um modelo estatístico, portanto, em última análise, influência que antes que este último deve atribuir ao modelo. Portanto, embora Bernardo possa endossar chegar a um valor de probabilidade único como um objetivo, ele não exige que precisamos ter a atribuição de probabilidade única em todas as questões à nossa disposição. Ele escreve, “ele analista é suposto ter um único (muitas vezes subjetivo) antes de p(w), independentemente de o design do experimento, mas a comunidade científica irá, provavelmente, ser interessado em comparar o correspondente do analista de pessoal posterior com a referência (consenso) posterior associada à publicação de um projeto experimental.” . Em segundo lugar, para Bernardo, a inferência estatística não é mais do que um caso de decidir entre vários modelos/teorias, onde a decisão inclui, entre outras coisas, a utilidade de agir na suposição de que o modelo/teoria é empiricamente adequado. Aqui, a utilidade de agir sobre a adequação empírica do modelo/teoria em questão pode envolver alguma função de perda . Em seu capítulo para este volume, ele desenvolveu sua versão do Bayesianismo objetivo e abordou várias acusações levantadas contra seu relato.em seu capítulo conjunto, Gregory Wheeler e Jon Williamson combinaram o Bayesianismo objetivo com a teoria da probabilidade de Kyburg. Esta posição de Bayesianismo ou qualquer forma de Bayesianismo parece estar em desacordo com a abordagem de Kyburg à inferência estatística que se baseia em sua teoria probatória da probabilidade. Vamos considerar o único argumento de Kyburg contra o Bayesianismo. Kyburg acha que não devemos considerar as crenças parciais como “graus de crença”, porque (estritos) Bayesianos (como Savage) estão associados com a suposição de uma probabilidade única de uma proposição. Ele discutiu a probabilidade baseada no intervalo como capturar as nossas crenças parciais sobre a incerteza. Uma vez que a probabilidade baseada no intervalo não é Bayesiana, segue-se que não estamos autorizados a tratar crenças parciais como graus de crença. Dada esta oposição entre a visão de Kyburg sobre probabilidade e visão Bayesiana objetiva, Wheeler e Williamson tentaram mostrar como as ideias centrais de ambos os pontos de vista poderiam ser frutuosamente acomodados dentro de um único relato de inferência científica.
para concluir nossa discussão sobre a posição Bayesiana, mantendo em mente a atribuição de Royall da questão da crença aos Bayesianos, muitos Bayesianos teriam sentimentos mistos sobre esta atribuição. Em certa medida, alguns deles podem considerar que é inapropriadamente simplista. Howson concordaria com esta atribuição com a observação de que isso perderia algumas das nuances e sutilezas da teoria Bayesiana. Ele segue amplamente a linha de Finetti em tomar avaliações subjetivas da probabilidade. Estas avaliações são geralmente chamadas de “graus de crença”.”Então, nessa medida, ele certeza pensa que há um papel central para os graus de crença, uma vez que afinal eles são o que é referido diretamente pela função de probabilidade. Portanto, de acordo com ele, a atribuição da questão da crença aos Bayesianos faz algum sentido. No entanto, ele pensa que o corpo principal da teoria Bayesiana consiste em identificar as restrições que devem ser impostas a eles para garantir sua consistência/coerência. Seu artigo forneceu esse quadro para o Bayesianismo. Hawthorne pode parcialmente discordar de Royall, uma vez que seu teorema de convergência da relação de Probabilidade mostra como agentes diferentes poderiam concordar no final, mesmo que eles poderiam muito bem começar com diferentes graus de crença em uma teoria. Tanto Weirich quanto Norton, embora pertençam a campos opostos no que diz respeito às suas posições em relação ao Bayesianismo, podem concordar que a atribuição de Royall aos Bayesianos é, afinal, justificada. Com relação à questão da predição, muitos Bayesianos, incluindo aqueles que trabalham dentro dos limites da teoria da confirmação, argumentariam que um relato da confirmação que responde à questão da crença é capaz de lidar com a questão da predição como, para Bayesianos, este último é uma sub-classe da questão da crença.