Slabý Zákon Velkých Čísel

2.3 Bayesovské statistiky paradigma

To je obecně dohodnuté, jeho zastánci a kritiky, že Bayesianism5 v současné době je dominantní názor ve filozofii vědy. Někteří statistici šli ještě dál a před lety předpokládali, že Bayesovská statistika bude dominantní statistikou pro jednadvacáté století. Zda lze toto tvrzení doložit, je nad rámec tohoto úvodu. Je však nesporné, že Bayesovské paradigma hraje ústřední roli v takových disciplínách, jako je filozofie, statistika, Informatika a dokonce i jurisprudence.

Bayesovci jsou široce rozděleni do subjektivních a objektivních kategorií. Podle všech Bayesianů musí víra agenta splňovat pravidla pravděpodobnostního počtu. Jinak, v souladu se známým argumentem „holandské knihy“, je míra víry agenta nesouvislá. Subjektivní Bayesians se to (pravděpodobnostní) soudržnost být nezbytné a dostačující podmínkou pro racionalitu agenta přesvědčení, a pak (obvykle) argumentují, že přesvědčení o racionální agenti budou postupně sbližovat. Smyslem vědeckého závěru a zdrojem jeho „objektivity“ je zaručit soudržnost a zajistit konvergenci. Objektivní Bayesians, na druhou stranu, obvykle trvají na tom, že i když je nutná podmínka soudržnosti, nestačí také pro druh objektivity, kterou mají vědecké metodiky umožnit.

práce Paula Weiricha v tomto svazku se zaměřuje především na subjektivní pravděpodobnost. Weirich vyvinul bayesovský teoretický přístup k rozhodování, kde zvažuje, jak lze víru agenta revidovat s ohledem na data. Pravděpodobnosti představují stupeň víry agenta. Weirich hodnotí několik obvinění proti Bayesianům. Podle jedné námitky, kterou zvažoval, Bayesianismus umožňuje agentovým stupňům víry být čímkoli, pokud uspokojí pravděpodobnostní počet. Weirich má námitku, že naznačuje, že Bayesovské Subjektivní pravděpodobnosti musí představovat idiosynkratické přesvědčení agenta. Odmítl však tolerantní Bayesianismus ve prospěch své verze Bayesianismu. Pojem podmíněné pravděpodobnosti, na kterém spočívá princip podmíněnosti, je pro něj Ústřední. Podle tohoto principu, agent by měl aktualizovat její stupeň víry v hypotézu (H) ve světle údajů, (D) v souladu se zásadou conditionalization, která říká, že její stupeň víry v H poté, co data je známo, že je dána tím, že podmíněná pravděpodobnost P(H|D) = P(H&D)/P(D), za předpokladu, že P(D) není nula. Weirich také hodnotí obvinění vznesená proti použití principu podmíněnosti. Nakonec porovnává Bayesovskou statistickou teorii rozhodování s klasickou statistikou a uzavírá svou práci s jejím hodnocením.

jednou z ústředních oblastí výzkumu ve filozofii vědy je Bayesovská teorie potvrzení. James Hawthorne bere Bayesovskou potvrzovací teorii, aby poskytl logiku toho, jak se důkazy liší mezi konkurenčními hypotézami nebo teoriemi. Tvrdí, že je zavádějící identifikovat Bayesovskou teorii potvrzení se subjektivním popisem pravděpodobnosti. Spíše, jakéhokoli účtu, který představuje míru, do jaké hypotézy jsou podloženy důkazy jako podmíněná pravděpodobnost hypotézy na důkazech, kde pravděpodobnost funkce podílí splňuje obvyklé pravděpodobnostní axiomy, bude Bayesovské potvrzení teorie, bez ohledu na výklad pojmu pravděpodobnosti zaměstnává. V každém takovém případě Bayesova věta vyjádří, jak to, co hypotézy říkají o důkazech (prostřednictvím pravděpodobnosti), ovlivňuje míru, do jaké jsou hypotézy podloženy důkazy (prostřednictvím zadních pravděpodobností). Hawthorne tvrdí, že obvyklá subjektivní interpretace pravděpodobnostní potvrzovací funkce je vážně zpochybněna rozšířenými verzemi problému starých důkazů. On ukazuje, že na obvyklé subjektivista výklad i triviální informace, agent může dozvědět o důkaz tvrzení může zcela narušit objektivitu pravděpodobností. Tedy, pokud pravděpodobností mají být objektivní (nebo intersubjectively souhlasil), potvrzení funkce nemůže nést obvyklé subjektivista čtení. Hawthorne se vzít před pravděpodobností záviset na věrohodnosti hodnocení, ale tvrdí, že takové hodnocení není pouze subjektivní, a že Bayesovské potvrzení teorie není těžce zdravotně postiženým jako subjektivita zapojených do těchto hodnocení. Toto tvrzení zakládá na silném Bayesovském konvergenčním výsledku, který nazývá teorém konvergence pravděpodobnostního poměru. Tato věta závisí pouze na pravděpodobnosti, ne na předchozích pravděpodobnostech; a je to slabý zákon velkých čísel, který poskytuje explicitní hranice rychlosti konvergence. To ukazuje, že jako důkaz se zvyšuje, to se stává vysoce pravděpodobné, že důkazní výsledky budou takové, aby pravděpodobnost, že poměry přišel silně upřednostňují pravda hypotézu, nad každou evidentně rozlišitelné konkurenta. To znamená, žádné dva potvrzovací funkce (zaměstnán u různých agentů), které se dohodly na pravděpodobností ale liší se na základě předchozí pravděpodobnosti hypotéz (za předpokladu, že předchozí pro opravdové hypotéza není příliš blízké 0) budou mít tendenci produkovat koeficientů pravděpodobnosti, které přinášejí posteriorní pravděpodobnosti konvergují k 0 pro false hypotéz a k 1 pro skutečnou alternativu.6.

John D. Norton se snaží poskytnout protiváhu nyní dominantní názor, že Bayesovský potvrzení teorie, podařilo najít univerzální logiku, která řídí důkazy a jeho indukční ložiska v oblasti vědy. Připouští, že Bayesians mají dobré důvody k optimismu. Tam, kde mnozí jiní selhali, jejich systém uspěje v určení přesný kalkul, v vysvětlujících indukční principy z jiných účtů, a sloučit je do jedné konzistentní teorie. Nicméně, on naléhá, jeho dominance vznikla teprve nedávno ve stoletích Bayesovské teoretizace a nemusí trvat vzhledem k přetrvávání problémů, kterým čelí.

Mnoho problémů, Norton identifikuje pro Bayesovské potvrzení teorie se týkají technických, které naši čtenáři mohou najít více či méně znepokojující. Podle jeho názoru, nejzávažnější výzva vychází z Bayesovské snaha poskytnout kompletní účet induktivní inference, které sleduje naše induktivní uvažování zpět do původního, neutrálního stavu, před začleněním žádné důkazy. To, co tuto aspiraci porazí, je podle Nortona známý, vzpurný problém priors, který je ve své kapitole popsán ve dvou podobách. V jedné formě, problém je, že posteriorní pravděpodobnost P(H|D&B), který vyjadřuje indukční podpora dat D pro hypotézu H ve spojení se základní informace B, je stanovena zcela dvě „před“ pravděpodobnosti P(H&D|B) a P(D|B). Pokud je subjektivista a má za to, že před pravděpodobnosti mohou být vybrány z rozmaru, se vztahují pouze na pouček počtu pravděpodobnosti, pak, podle Norton, zadní P(H|D&B), nemůže být nikdy osvobozen z těch vrtochů. Nebo pokud jeden je interpretativní a platí, že tam může být jen jedna správná před v každé konkrétní situaci, a pak, jak je vysvětleno v jeho kapitole, aditivita pravděpodobnosti opatření brání přiřazovat skutečně „informationless záznam.“To je podle Nortona k lepšímu, protože skutečně bezinformační předchozí by přiřadil stejnou hodnotu každému podmíněnému tvrzení v algebře. Funkční závislost posterioru na priors by pak přinutila všechny netriviální posteriory k jediné, neinformační hodnotě. Proto, bayesovský účet může být netriviální, Norton tvrdí, pouze pokud začíná bohatou předchozí distribucí pravděpodobnosti, jejíž induktivní obsah je poskytován jinými, Nebajesovské prostředky.

tři články ve svazku zkoumají možnost, že by bayesovský účet mohl být zobrazen jako forma logiky. Colin Howson tvrdí, že Bayesianismus je formou deduktivní logiky závěru, zatímco Roberto Festa a Jan-Willem Romeijn tvrdí, že Bayesovská teorie může být obsazena formou induktivního závěru. Aby prošetřila, zda Bayesovské účet může být považována jako forma deduktivní inference, Howson vypadá krátce na posledních tři sta let vědeckých inference a pak se zaměřuje na to, proč si myslí, že Bayesian závěr by mělo být považováno za formu čisté logiky inference. S přihlédnutím k diskusi nad tím, zda pravděpodobnostní inference lze považovat za logiku soudržnost nebo soudržnost, popisuje de Finetti je teorie pravděpodobnosti, kde de Finetti vzal teorii pravděpodobnosti říci nic o světě, ale bere to jako „logika nejistoty.“Jeden motivační důvod domnívat se, proč se Bayesovské inference by měla být přijata jako logika z čisté logiky je, aby na vědomí svůj nesouhlas s Kyburg je rozdíl mezi výrazem „konzistence“, aby bylo použitelné pro systém, který obsahuje žádné dvě nekonzistentní přesvědčení a projevu, „soudržnost“, aby bylo použitelné na stupně víry. Pro Howson, analogie s deduktivní logika je mezi nimi uložení konzistence omezení na pravdu-hodnocení a pravidla z teorie pravděpodobnosti uložení omezení v míru přesvědčení. Zbytek jeho práce je věnován vývoji a interpretaci Bayesovské inference jako formy čisté logiky inference.

Festa i Romeijn litují, že v minulém století se statistiky a induktivní inference vyvíjely a vzkvétaly více či méně nezávisle na sobě, bez jasných známek symbiózy. Festa přiblíží Bayesovské statistiky a Carnap teorie induktivní pravděpodobnosti, a ukazuje, že i přes jejich odlišné koncepční základy, metody, vyšlo ve druhé jsou v podstatě totožné s těmi, používají v rámci bývalé. Tvrdí, že některé pojmy a metody induktivní logiky mohou být použity při racionální rekonstrukci několika statistických pojmů a postupů. Podle něj induktivní logika navrhuje některé nové metody, které lze použít pro různé druhy statistických závěrů zahrnujících analogické úvahy. Nakonec Festa ukazuje, jak lze Bayesovskou verzi aproximace pravdy vyvinout a integrovat do statistického rámce.7

Romeijn také zkoumá vztah mezi statistikou a induktivní logikou. Ačkoli se induktivní logika a statistika vyvíjely samostatně, Romeijn si myslí, jako Festa,že je čas prozkoumat vzájemný vztah mezi nimi. Ve své práci zkoumá, zda je možné reprezentovat různé způsoby statistické inference z hlediska induktivní logiky. Romeijn považuje tři klíčové myšlenky ve statistikách za navázání spojení. Jedná se o (i) testování Neyman-Pearsonových hypotéz (NPTH), (ii) odhad maximální věrohodnosti a (iii) Bayesovskou statistiku. Romeijn pomocí Karnapiánské i Bayesovské induktivní logiky ukazuje, že poslední ze dvou těchto myšlenek (tj., odhad maximální věrohodnosti a Bayesovská statistika) lze přirozeně reprezentovat z hlediska ne-ampliativní induktivní logiky. V závěrečné části kapitoly je NPTH spojen s Bayesovskou indukční logikou pomocí intervalových pravděpodobností nad statistickými hypotézami.

protože existují subjektivní Bayesians tak existují objektivní Bayesians. José Bernardo je jedním z nich. Vzhledem k tomu, že mnoho filozofů si Bernardovo dílo obecně neuvědomuje, věnujeme mu relativně delší diskusi. Bernardo píše, že „t se stala standardní praxí,…, popsat jako „objektivní“ jakoukoli statistickou analýzu, která závisí pouze na předpokládaném modelu. V tomto přesném smyslu (a pouze v tomto smyslu) je referenční analýza metodou k vytvoření „objektivní“ Bayesovské inference“ .

Pro Bernardo, referenční analýzu, která mu má obhajoval na propagaci své značky objektivních Bayesianism by být zřejmé, pokud jde o některé parametrické vzoru formuláře M≡{P(x|w),x∈X,w∈Ω}, který popisuje podmínky, za nichž údaje byly generovány. Zde se předpokládá, že data x sestávají z jednoho pozorování náhodného procesu x ∈ X s distribucí pravděpodobnosti P (x / w)pro některé w Ω Ω . Parametrický model je instancí statistického modelu. Bernardo definuje θ = w (w) ∈ θ jako nějaký vektor zájmu. Všechny legitimní Bayesovské závěry o hodnotě θ jsou zachyceny v jeho posteriorní rozdělení P(θ|x)∝∫ΛP(x|θ,λ)P(θ,λ)dλ, pokud tyto závěry jsou vyrobeny pod falešným model. Zde je λ nějaký vektor nepříjemných parametrů a je často označován jako „model“ P (x|λ).

přitažlivost tohoto druhu objektivismu jen je jeho důraz na „referenční analýzu,“ která s pomocí statistických nástrojů učinilo další pokrok v soustružení jeho téma objektivity do slušné statistické školy v Bayesianism. Jako Bernardo píše, „eference analýzy může být popsán jako metoda pro odvození modelu na bázi, non-subjektivní zadky, na základě informací-teoretické představy, a popsat inferenční obsah dat pro vědecké komunikace“ . Tady u „inferenční obsah údajů“ – znamená, že první poskytuje „základem pro metodu k odvození non-subjektivní posteriors“ (Tamtéž). Bernardův objektivní Bayesianismus se skládá z následujících tvrzení.

nejprve si myslí,že informace o pozadí agenta by měly pomoci vyšetřovateli vytvořit statistický model, a proto nakonec ovlivnit, který předchozí by měl modelu přiřadit. Proto, ačkoli Bernardo by mohl schválit dosažení jedinečné hodnoty pravděpodobnosti jako cíle, nevyžaduje, abychom ve všech otázkách měli k dispozici jedinečné přiřazení pravděpodobnosti. On píše, „řekl analytik by měl mít unikátní (často subjektivní) před p(w), nezávisle na designu experimentu, ale vědecká komunita bude pravděpodobně mít zájem ve srovnání odpovídající analytik osobních zadní s referenční (konsensus) zadní souborům publikované experimentální design.” . Za druhé, pro Bernarda není statistická inference ničím jiným než případem rozhodování mezi různými modely / teoriemi,kde rozhodnutí mimo jiné zahrnuje užitečnost jednání na základě předpokladu, že model/teorie je empiricky adekvátní. Zde by užitečnost působení na empirickou přiměřenost daného modelu / teorie mohla zahrnovat určitou ztrátovou funkci . Ve své kapitole pro tento svazek, vyvinul svou verzi objektivního Bayesianismu a zabýval se několika obviněními vznesenými proti jeho účtu.

Gregory Wheeler a Jon Williamson ve své společné kapitole spojili objektivní Bayesianismus s Kyburgovou důkazní teorií pravděpodobnosti. Tato pozice Bayesianismu nebo jakékoli formy Bayesianismu se zdá být v rozporu s Kyburgovým přístupem ke statistickému závěru, který spočívá na jeho důkazní teorii pravděpodobnosti. Budeme zvažovat Kyburg jeden argument proti Bayesianismu. Kyburg si myslí, že bychom neměli považovat částečné přesvědčení za „stupně víry“, protože (přísní) Bayesians (jako Savage) jsou spojováni s předpokladem jedinečné pravděpodobnosti tvrzení. Diskutoval o pravděpodobnosti založené na intervalu jako o zachycení našich částečných přesvědčení o nejistotě. Protože pravděpodobnost založená na intervalu není Bayesovská, z toho vyplývá, že nemůžeme považovat částečné víry za stupně víry. Vzhledem k této opozice mezi Kyburg pohled na pravděpodobnost a objektivní Bayesovské výhled, Wheeler a Williamson se snažili ukázat, jak se základní myšlenky obou těchto dvou pohledů může být plodně ubytováni v rámci jednoho účtu vědeckého závěru.

Na závěr naší diskuse na Bayesovské pozici při zachování v mysli Royall je atribuční přesvědčení otázku Bayesians, mnoho Bayesians by mít smíšené pocity o tomto přidělení. Někteří z nich by to do jisté míry mohli považovat za nevhodně prostoduché. Howson by souhlasil s tímto přisuzováním s pozorováním, že by to postrádalo některé nuance a jemnosti Bayesovské teorie. V zásadě sleduje de Finettiho linii při subjektivním hodnocení pravděpodobnosti. Tato hodnocení se obvykle nazývají “ stupně víry.“Do té míry si tedy jistota myslí, že pro stupně víry existuje ústřední role, protože koneckonců jsou to, na co se přímo odkazuje funkce pravděpodobnosti. Proto podle něj připisování otázky víry Bayesianům dává určitý smysl. Domnívá se však,že hlavní část Bayesovské teorie spočívá v identifikaci omezení, která by jim měla být uložena, aby byla zajištěna jejich konzistence/soudržnost. Jeho práce poskytla tento rámec pro Bayesianismus. Hawthorne by mohl částečně nesouhlasit s Royallem, protože jeho věta o konvergenci pravděpodobnosti ukazuje, že jak se různí agenti nakonec mohli dohodnout, i když mohli velmi dobře začít s různou mírou víry v teorii. Weirich i Norton, i když patří do znepřátelených táborů, pokud jde o jejich postoje k Bayesianismu, by se mohli shodnout, že Royallovo připisování Bayesianům je koneckonců oprávněné. S ohledem na předpověď otázka, mnoho Bayesians, včetně těch, kteří pracují v mezích potvrzení teorie, že by mohl namítnout, že účet na potvrzení, že reaguje na přesvědčení, otázkou je schopen zpracovat predikci otázku, jak, pro Bayesians, druhý je sub-třídy přesvědčení otázku.