nagy szám gyenge törvénye

2.3 bayesi statisztikai paradigma

támogatói és kritikusai egyaránt egyetértenek abban, hogy a Bayesianism5 jelenleg a domináns nézet a tudomány filozófiájában. Néhány statisztikus tovább ment, évekkel ezelőtt sejtve, hogy a bayesi statisztikák lesznek a huszonegyedik század domináns statisztikái. Az, hogy ez az állítás igazolható-e, túlmutat e bevezetés hatályán. Vitathatatlan azonban, hogy a bayesi paradigma központi szerepet játszott olyan tudományágakban, mint a filozófia, a statisztika, a számítástechnika, sőt a jogtudomány.

a Bayes-iakat általában szubjektív és objektív kategóriákra osztják. Az összes Bayesianus szerint az ügynök hitének meg kell felelnie a valószínűségszámítás szabályainak. Ellenkező esetben az ismerős “Holland könyv” érvnek megfelelően az ügynök hitének mértéke összefüggéstelen. A szubjektív Bayesiak ezt a (valószínűségi) koherenciát mind szükséges, mind elégséges feltételnek tekintik az ügynök hiedelmeinek racionalitásához, majd (jellemzően) azzal érvelnek, hogy a racionális ügynökök hiedelmei idővel konvergálnak. A tudományos következtetés lényege és “objektivitásának” forrása a koherencia biztosítása és a konvergencia biztosítása. Az objektív Bayesiak viszont általában ragaszkodnak ahhoz, hogy bár a koherencia feltétel szükséges, az sem elegendő az objektivitás fajtájához, amelyet a tudományos módszerek lehetővé kívánnak tenni.

Paul Weirich tanulmánya ebben a kötetben elsősorban a szubjektív valószínűségre összpontosít. Weirich kifejlesztett egy Bayes-I döntéselméleti megközelítést, ahol megvizsgálja, hogyan lehet egy ügynök meggyőződését az adatok fényében felülvizsgálni. A valószínűségek az ügynök hitének mértékét képviselik. Weirich több vádat értékel a Bayesiak ellen. Az egyik kifogás szerint, amelyet figyelembe vett, a Bayesianizmus lehetővé teszi, hogy az ügynök hitének mértéke bármi legyen, mindaddig, amíg kielégíti a valószínűségszámítást. Weirich úgy véli, hogy a kifogás arra utal, hogy a bayesi szubjektív valószínűségeknek az ügynök sajátos hiedelmeit kell képviselniük. Ő azonban elutasította a megengedő Bayesianizmust a Bayesianizmus változata mellett. A feltételes valószínűség fogalma, amelyen a feltételezés elve nyugszik, központi jelentőségű számára. Ezen elv szerint az ügynöknek frissítenie kell a hipotézisbe (H) vetett hitének mértékét az adatok fényében (D) a feltételezés elvének megfelelően, amely szerint az adatok ismerete után a H-ba vetett hitét a feltételes valószínűség adja P(H|D) = P(H&D)/P(D), feltételezve, hogy P(D) nem nulla. Weirich értékeli a feltételezés elvének alkalmazása ellen felhozott vádakat is. Végül összehasonlítja a bayesi statisztikai döntéselméletet a klasszikus statisztikákkal, dolgozatát az utóbbi értékelésével zárja.

a tudományfilozófia egyik központi kutatási területe a bayesi megerősítés elmélete. James Hawthorne a Bayes-féle megerősítési elméletet veszi alapul annak logikájához, hogy a bizonyítékok hogyan különböztetik meg a Versengő hipotéziseket vagy elméleteket. Azt állítja, hogy félrevezető a Bayes-féle megerősítési elmélet azonosítása a valószínűség szubjektív beszámolójával. Inkább minden olyan beszámoló, amely azt képviseli, hogy a hipotézist milyen mértékben támasztják alá bizonyítékok a bizonyíték hipotézisének feltételes valószínűségeként, ahol az érintett valószínűségi függvény kielégíti a szokásos valószínűségi axiómákat, Bayes-féle megerősítési elmélet lesz, függetlenül az általa alkalmazott valószínűség fogalmának értelmezésétől. Mert bármilyen ilyen számlán Bayes tétele kifejezi, hogy a hipotézisek mit mondanak a bizonyítékokról (a valószínűségeken keresztül) befolyásolja azt, hogy a hipotéziseket milyen mértékben támasztják alá bizonyítékok (a hátsó valószínűségek révén). Hawthorne azzal érvel, hogy a valószínűségi megerősítési funkció szokásos szubjektív értelmezését súlyosan megkérdőjelezik a régi bizonyítékok problémájának kiterjesztett változatai. Megmutatja, hogy a szokásos szubjektivista értelmezés szerint még a triviális információk is, amelyeket egy ügynök megismerhet egy bizonyító állításról, teljesen alááshatják a valószínűségek objektivitását. Így, amennyiben a valószínűségeknek objektívnek (vagy interszubjektíven megegyezőnek) kell lenniük, a megerősítő funkció nem viselheti a szokásos szubjektivista olvasatot. Hawthorne nem veszi előzetes valószínűségek függ valószínűségi értékelések, de azt állítja, hogy az ilyen értékelések nem pusztán szubjektív, és hogy Bayes-féle megerősítés elmélet nem súlyosan hátráltatja a fajta szubjektivitás részt vesz az ilyen értékelések. Ez utóbbi állítást egy erőteljes bayesi konvergencia eredményre alapozza, amelyet a valószínűségi Arány konvergencia tételének nevez. Ez a tétel csak a valószínűségektől függ, nem az előzetes valószínűségektől; és ez a nagy számok gyenge törvénye, amely kifejezett határokat ad a konvergencia sebességére. Ez azt mutatja, hogy a bizonyítékok növekedésével nagyon valószínűvé válik, hogy a bizonyító eredmények olyanok lesznek, hogy a valószínűségi arányok határozottan előnyben részesítik a valódi hipotézist az egyes bizonyíthatóan megkülönböztethető versenytársakkal szemben. Így bármely két megerősítő funkció (amelyet különböző ügynökök alkalmaznak), amelyek egyetértenek a valószínűségekben, de különböznek a hipotézisek korábbi valószínűségeiben (feltéve, hogy az igazi hipotézis előzője nem túl közel 0) hajlamosak olyan valószínűségi arányokat produkálni, amelyek a hátsó valószínűségeket hamis hipotézisek esetén 0, az igazi alternatíva esetében pedig 1 felé közelítik.6

John D. Norton arra törekszik, hogy ellensúlyozza azt a ma már uralkodó nézetet, miszerint a Bayes-féle megerősítési elméletnek sikerült megtalálnia azt az egyetemes logikát, amely a bizonyítékot és annak induktív hatását irányítja a tudományban. Megengedi, hogy a Bayesiaknak jó okaik legyenek az optimizmusra. Ahol sokan mások kudarcot vallottak, rendszerüknek sikerül pontos kalkulust meghatároznia, megmagyaráznia más számlák induktív elveit, és egyetlen következetes elméletbe egyesítenie őket. Azonban sürgeti, hogy dominanciája csak a közelmúltban, a Bayes-I elmélet évszázadaiban merült fel, és nem tarthat sokáig, tekintettel a problémák tartósságára.

A Norton által a Bayes-féle megerősítési elméletben azonosított problémák közül sok olyan technikai kérdéseket érint, amelyeket olvasóink többé-kevésbé aggasztónak találhatnak. Véleménye szerint a legsúlyosabb kihívás abból a bayesi törekvésből fakad, hogy teljes körű beszámolót nyújtson az induktív következtetésekről, amelyek induktív érvelésünket egy kezdeti, semleges állapotba vezetik vissza, bármilyen bizonyíték beépítése előtt. Ami Norton szerint legyőzi ezt a törekvést, az a hírnökök jól ismert, ellenszenves problémája, amelyet fejezetében két formában mesélt el. Az egyik formában a probléma az, hogy a hátsó P(H|D&B), amely kifejezi a D ADATOK induktív támogatását a H hipotézishez a B háttérinformációval együtt, teljesen rögzíti a két “előzetes” valószínűség, P(H&D|B) és P(D|B). Ha valaki szubjektivista, és úgy véli, hogy az előzetes valószínűségek szeszélyből választhatók ki, csak a valószínűségszámítás axiómáinak függvényében, akkor Norton szerint a hátsó P(H|D&B) soha nem szabadulhat meg ezektől a szeszélyektől. Vagy ha valaki objektivista, és úgy véli, hogy minden egyes helyzetben csak egy helyes prior lehet, akkor, amint azt a fejezetében kifejtettük, a valószínűségi mérték additivitása kizárja, hogy valóban “információ nélküli priorokat” rendeljünk hozzá.”Norton szerint ez jobb, mivel egy valóban információ nélküli prior ugyanazt az értéket rendelné az algebra minden kontingens tételéhez. A posterior funkcionális függősége a prior-tól ezután az összes nem triviális posztert egyetlen, információ nélküli értékre kényszeríti. Ennélfogva egy bayesi számla lehet nem triviális, állítja Norton, csak akkor, ha gazdag előzetes valószínűségi eloszlással kezdődik, amelynek induktív tartalmát más, nem bayesi eszközök biztosítják.

a kötet három cikke feltárja annak lehetőségét, hogy a Bayes-I számla a logika egyik formájaként jeleníthető meg. Colin Howson azt állítja, hogy a Bayesianizmus a következtetés deduktív logikájának egyik formája, míg Roberto Festa és Jan-Willem Romeijn azt állítják, hogy a Bayes-elmélet induktív következtetés formájában vethető le. Annak megvizsgálására, hogy a Bayes-I beszámoló a deduktív következtetés egyik formájának tekinthető-e, Howson röviden megvizsgálja az elmúlt háromszáz év tudományos következtetését, majd arra összpontosít, hogy miért gondolja úgy, hogy a Bayes-I következtetést a következtetés tiszta logikájának kell tekinteni. Figyelembe véve azt a vitát, hogy a valószínűségi következtetés a következetesség vagy a koherencia logikájának tekinthető-e, tárgyalja de Finetti valószínűségelméletét, ahol de Finetti a valószínűségelméletet úgy vette, hogy nem mond semmit a világról, de “a bizonytalanság logikájának” tekinti.”Az egyik motiváló ok annak megfontolására, hogy miért kell Bayes-I következtetést a tiszta logika logikájának tekinteni, az, hogy nem ért egyet Kyburg megkülönböztetésével a “következetesség” kifejezés között, amely egy olyan rendszerre alkalmazható, amely nem tartalmaz két következetlen meggyőződést, és a “koherencia” kifejezés között, amely a hit fokozataira alkalmazható. Howson számára a deduktív logikával való analógia az utóbbi következetességi korlátokat ró az igazságértékelésekre, valamint a valószínűségelmélet szabályait, amelyek a hit fokát korlátozzák. Tanulmányának fennmaradó részét a Bayes-I következtetés mint a következtetés tiszta logikájának egyik formája kifejlesztésének és értelmezésének szenteli.Festa és Romeijn is sajnálja, hogy az elmúlt évszázadban a statisztikák és az induktív következtetések többé-kevésbé egymástól függetlenül fejlődtek és virágoztak, a szimbiózis egyértelmű jelei nélkül. Festa ráközelít a bayesi statisztikákra és a Carnap induktív valószínűségek elméletére, és megmutatja, hogy eltérő fogalmi alapjaik ellenére az utóbbiban kidolgozott módszerek lényegében megegyeznek az előbbiben alkalmazott módszerekkel. Azt állítja, hogy az induktív logika egyes fogalmai és módszerei alkalmazhatók számos statisztikai fogalom és eljárás racionális rekonstrukciójában. Elmondása szerint az induktív logika néhány új módszert javasol, amelyek felhasználhatók különféle statisztikai következtetésekre, amelyek Analóg megfontolásokat tartalmaznak. Végül a Festa bemutatja, hogyan lehet az igazság közelítésének Bayes-I változatát kidolgozni és integrálni egy statisztikai keretbe.7

Romeijn a statisztika és az induktív logika kapcsolatát is vizsgálja. Bár az induktív logika és a statisztikák külön fejlődtek, Romeijn úgy gondolja, mint Festa, hogy itt az ideje, hogy feltárja a kettő közötti kapcsolatot. Tanulmányában azt vizsgálja, hogy lehetséges-e a statisztikai következtetés különböző módjait képviselni az induktív logika szempontjából. Romeijn a statisztikák három kulcsfontosságú ötletét veszi figyelembe a kapcsolat megteremtése érdekében. Ezek (i) Neyman-Pearson hipotézis tesztelés (NPTH), (ii) maximális valószínűség becslés, és (iii) Bayes-statisztika. Romeijn mind a Karnapiai, mind a bayesi induktív logikát felhasználva megmutatja, hogy ezen ötletek közül kettő közül az utolsó (azaz., maximális valószínűség becslés és bayesi statisztika) természetesen ábrázolható egy nem ampliatív induktív logika szempontjából. Fejezetének utolsó szakaszában az NPTH a Bayes-I induktív logikához kapcsolódik intervallum alapú valószínűségek a statisztikai hipotézisek felett.

mivel vannak szubjektív Bayesians így vannak objektív Bayesians. Joshua Bernardo az egyik közülük. Mivel sok filozófus általában nem ismeri Bernardo munkáját, viszonylag hosszabb vitát fogunk szentelni ennek. Bernardo azt írja, hogy “t vált bevett gyakorlat,…, leírni, mint “objektív” minden statisztikai elemzés, amely csak attól függ, hogy a modell feltételezett. Ebben a pontos értelemben (és csak ebben az értelemben) a referenciaelemzés egy módszer az “objektív” bayesi következtetés előállítására”.

Bernardo esetében azt a referenciaelemzést,amelyet az objektív Bayesianizmus márkájának népszerűsítése érdekében javasolt,az M. forma néhány paraméteres modelljével kell értelmezni. Itt feltételezzük, hogy az X adatok a véletlenszerű folyamat egy megfigyeléséből állnak x x valószínűségi eloszlással P (x|w) néhány w esetében. A paraméteres modell egy statisztikai modell példánya. Bernardo meghatározza, hogy θ = θ(w) ∈ Θ, hogy egy vektor az érdeklődés. Minden törvényes Bayes következtetések az értéket θ elfogták a posterior eloszlás P(θ|x)∝∫ΛP(x|θ,λ)P(θ,λ)dλ feltéve, hogy ezek a következtetések készülnek alatt egy feltételezett modell. Itt, λ egy vektor a kellemetlen paraméterek gyakran utalnak úgy, mint “modell” a P(x|λ).

az ilyen jellegű objektivizmus vonzereje a “referenciaelemzés” hangsúlyozása, amely statisztikai eszközök segítségével további előrelépést tett az objektivitás témájának a bayesianizmuson belüli tiszteletre méltó statisztikai iskolává alakításában. Ahogy Bernardo írja, “az eference analízis olyan módszerként írható le, amely modellalapú, nem szubjektív poszterekből származik, az információ-elméleti elképzelések alapján, és célja az adatok következtetési tartalmának leírása a tudományos kommunikációhoz” . Itt az ” adatok következtetési tartalma “alatt azt jelenti, hogy az előbbi” alapot nyújt a nem szubjektív poszterek levezetésére szolgáló módszerhez ” (Uo). Bernardo objektív Bayesianizmusa a következő állításokból áll.

először úgy gondolja, hogy az ügynök háttérinformációinak segíteniük kell a nyomozót egy statisztikai modell felépítésében, ezáltal végső soron befolyásolják, hogy az utóbbinak melyiket kell hozzárendelnie a modellhez. Ezért, bár Bernardo támogathatja az egyedi valószínűségi érték elérését célként, nem követeli meg, hogy minden rendelkezésünkre álló kérdésben rendelkezzünk az egyedi valószínűségi hozzárendeléssel. Azt írja: “az elemzőnek állítólag egyedi (gyakran szubjektív) előzetes p(w) van, a kísérlet megtervezésétől függetlenül, de a tudományos közösség feltehetően érdekelt lesz abban, hogy összehasonlítsa a megfelelő elemző személyes hátulját a közzétett kísérleti tervhez kapcsolódó referencia (konszenzus) posterior-val.” . Másodszor, Bernardo számára a statisztikai következtetés nem más, mint a különféle modellek/elméletek közötti döntés esete, ahol a döntés többek között magában foglalja a modell/elmélet empirikusan megfelelő feltételezésén alapuló cselekvés hasznosságát. Itt a kérdéses modell/elmélet empirikus megfelelőségére való reagálás hasznossága némi veszteségfüggvényt vonhat maga után . E kötet fejezetében kidolgozta az objektív Bayesianizmus változatát, és számos, a számlájára emelt váddal foglalkozott.Gregory Wheeler és Jon Williamson közös fejezetükben egyesítették az objektív Bayesianizmust Kyburg bizonyító valószínűségi elméletével. A Bayesianizmusnak vagy a Bayesianizmus bármely formájának ez az álláspontja ellentétesnek tűnik Kyburg statisztikai következtetésének megközelítésével, amely a valószínűség bizonyító elméletén nyugszik. Figyelembe vesszük Kyburg egyetlen érvét a Bayesianizmus ellen. Kyburg úgy véli, hogy nem szabad a részleges hiedelmeket “hitfokozatoknak” tekintenünk, mert a (szigorú) Bayesians (mint Savage) a javaslat egyedi valószínűségének feltételezéséhez kapcsolódnak. Az intervallum alapú valószínűséget úgy tárgyalta, hogy megragadja a bizonytalansággal kapcsolatos részleges meggyőződésünket. Mivel az intervallum alapú valószínűség nem bayesi, ebből következik, hogy a részleges hiedelmeket nem szabad hitfokozatként kezelni. Tekintettel erre az ellentmondásra Kyburg valószínűségi és objektív bayesi nézete között, Wheeler és Williamson megpróbálták megmutatni, hogy mindkét nézet alapvető elképzeléseit miként lehet eredményesen beilleszteni a tudományos következtetés egyetlen beszámolójába.

a bayesi álláspontról folytatott beszélgetésünk befejezéséhez, szem előtt tartva, hogy Royall a hiedelem kérdését a Bayesiaiaknak tulajdonította, sok Bayesiainak vegyes érzései lennének ezzel a hozzárendeléssel kapcsolatban. Bizonyos mértékig néhányan talán úgy vélik, hogy helytelenül egyszerű gondolkodású. Howson egyetértene ezzel a hozzárendeléssel azzal a megfigyeléssel, hogy ez hiányozni fog a Bayes-elmélet Néhány árnyalatából és finomságából. Nagyjából követi de Finetti vonalát a valószínűség szubjektív értékelésében. Ezeket az értékeléseket általában “hitfokozatoknak” nevezik.”Tehát ebben a mértékben ő bizonyosság úgy gondolja, hogy a hit fokozatainak központi szerepe van, mivel végül is ezekre utal közvetlenül a valószínűségi függvény. Ezért szerinte a hiedelem kérdésének a Bayesiaiaknak való tulajdonítása bizonyos értelemben van. Úgy gondolja azonban, hogy a Bayes-elmélet fő szerve azon korlátok azonosítása, amelyeket ezekre kell kiszabni következetességük/koherenciájuk biztosítása érdekében. Tanulmánya biztosította a Bayesianizmus keretét. Hawthorne részben nem ért egyet Royall-szal, mivel valószínűségi arányának konvergencia tétele azt mutatja, hogy a különböző ügynökök hogyan tudnak végül megállapodni, annak ellenére, hogy nagyon jól indulhatnak az elméletben való különböző mértékű hittel. Mind Weirich, mind Norton, bár ellentétes táborokhoz tartoznak, amennyiben a Bayesianizmus felé mutatnak, egyetérthetnek abban, hogy Royall Bayesiansnak való tulajdonítása végül is indokolt. Ami az előrejelzési kérdést illeti, sok Bayes-I, beleértve azokat is, akik a megerősítési elmélet keretein belül dolgoznak, azzal érvelnének, hogy a megerősítés beszámolója, amely válaszol a hit kérdésére, képes kezelni az előrejelzési kérdést, mivel a Bayesiak számára ez utóbbi a hitkérdés alosztálya.