Weak Law of Large Number

2.3Bayesian statistics paradigm

bayesianism5が現在科学哲学において支配的な見解であることは、その支持者と批評家によって一般的に合意されている。 いくつかの統計学者は、ベイズ統計が二十一世紀のための支配的な統計になることを数年前に推測し、さらに行ってきました。 この主張を立証できるかどうかは、この導入の範囲を超えています。 しかし、ベイズのパラダイムが哲学、統計学、計算機科学、さらには法学などの分野で中心的な役割を果たしていることは証明できません。

ベイズ人は主観的カテゴリーと客観的カテゴリーに大別されます。 すべてのベイズ人によれば、エージェントの信念は確率計算の規則を満たさなければならない。 それ以外の場合は、おなじみの”オランダの本”の引数に応じて、信念のエージェントの程度は支離滅裂です。 主観的ベイズ派は、この（確率論的な）一貫性を、エージェントの信念の合理性のための必要条件と十分条件の両方とみなし、（典型的には）合理的なエージェントの信念は時間の経過とともに収束すると主張する。 科学的推論のポイント、およびその「客観性」の源は、一貫性を保証し、収束を保証することです。 一方、客観的ベイズ派は、一貫性の条件は必要であるが、科学的方法論が可能にすることを意図している客観性の種類にも十分ではないと主張する。

この巻のPaul Weirichの論文は、主に主観的確率に焦点を当てています。 Weirichは、エージェントの信念をデータに照らしてどのように修正できるかを考慮するベイズ決定理論的アプローチを開発しました。 確率は、エージェントの信念の程度を表します。 ヴァイリッヒはベイジアンに対するいくつかの告発を評価している。 彼が考えているある異議によると、ベイズ主義は、確率計算を満たす限り、エージェントの信念の程度は何でもできるようにします。 ウィーリッヒは、ベイズの主観的確率がエージェントの特異な信念を表す必要があることを意味することに異議を取ります。 彼は、しかし、ベイズ主義の彼のバージョンを支持して許容ベイズ主義を拒否しています。 条件化の原則が置かれている条件付き確率の概念は、彼にとって中心的なものです。 この原理によれば、エージェントは、データに照らして仮説（H）の信念の度合いを更新する必要があります（D）は、データが知られている後のHの信念の度合いは、条件付き確率P(H|D)=P(h&D)/P(d)によって与えられるという条件付き化の原理に従って、P(d)がゼロではないと仮定する。 Weirichはまた、条件化の原則の使用に対してもたらされた料金を評価する。 最後に、彼はベイズ統計決定理論と古典統計を比較し、後者の評価で彼の論文を締めくくりました。科学の哲学における研究の中心的な領域の1つは、ベイズ確認理論です。

James Hawthorneは、証拠が競合する仮説または理論の間でどのように区別されるかの論理を提供するために、ベイズ確認理論を取ります。 彼は、確率の主観的な説明でベイズ確認理論を識別することは誤解を招くと主張している。 むしろ、仮説が証拠によって支持される程度を証拠上の仮説の条件付き確率として表す記述は、関与する確率関数が通常の確率的公理を満たす場合、それが採用する確率の概念の解釈にかかわらず、ベイズ確認理論になる。 そのような説明では、ベイズの定理は、仮説が証拠について（尤度を介して）どのように言うかが、仮説が証拠によって支持される程度に（事後確率を介 ホーソーンは、確率的確認関数の通常の主観的解釈は、古い証拠の問題の拡張されたバージョンによって厳しく挑戦されていると主張している。 彼は、通常の主観的解釈では、エージェントが証拠の主張について学ぶことができる些細な情報でさえ、尤度の客観性を完全に損なう可能性があることを示している。 したがって、尤度が客観的であると仮定されている限り（または主観的に合意されている限り）、確認関数は通常の主観的読書を負うことはできません。 ホーソーンは事前確率を妥当性評価に依存するとしているが、そのような評価は単に主観的ではなく、ベイズ確認理論はそのような評価に関与する主観性のようなものによって深刻な障害を受けていないと主張している。 彼は後者の主張を強力なベイズ収束の結果に基づいており、彼は尤度比収束定理と呼んでいる。 この定理は、事前確率ではなく尤度にのみ依存し、収束率に明示的な限界を与えるのは、大きな数の弱い法則です。 これは、証拠が増加するにつれて、証拠の結果が、証拠の区別可能な各競争相手に対して真の仮説を強く支持する可能性が高いことを示しています。 したがって、尤度に一致するが仮説の事前確率に異なる（真の仮説の事前確率が0に近すぎない場合）二つの確認関数は、偽の仮説の場合は事後確率を0に、真の選択肢の場合は1に収束させる尤度比を生成する傾向がある。6

John D.Nortonは、ベイズ確認理論が証拠と科学における帰納的な支持を支配する普遍的な論理を見つけることに成功したという現在の支配的な見解 彼はベイズ人が楽観主義のための良い理由を持っていることを可能にします。 他の多くが失敗したところで、彼らのシステムは、他のアカウントの帰納的原則を説明し、単一の一貫した理論にそれらを組み合わせることで、正確な微積分を指定することに成功しました。 しかし、彼は、その支配はベイズ理論化の何世紀にもわたってごく最近になって生じたものであり、それが直面する問題の持続性を考えると持続しな

ノートンがベイズ確認理論のために特定する問題の多くは、読者が多かれ少なかれ厄介に感じるかもしれない専門性に関係しています。 彼の見解では、最も深刻な課題は、任意の証拠の取り込みの前に、最初の、中立的な状態に戻って私たちの帰納推論をトレース帰納推論の完全なアカウン ノートンによると、この願望を打ち負かすのは、彼の章で2つの形で詳述されている、よく知られた、反抗的な前科者の問題です。 一つの形式では、問題は、事後P(H|D&B)、バックグラウンド情報Bと組み合わせて仮説HのデータDの帰納的サポートを表現し、2つの”前”確率P(H&D|b)とP(D|B)によって完全に固定されることである。 主観主義者であり、事前確率が気まぐれで選択できることを保持している場合、確率計算の公理にのみ従うと、ノートンによれば、事後P(H|D&B)は決してそれらの気まぐれから解放されることはできない。 あるいは、客観主義者であり、それぞれの特定の状況において正しい事前が一つしかないと主張するならば、彼の章で説明したように、確率尺度の加法性は、真に”情報のない先験的”を割り当てることを排除する。 Nortonによると、真に情報のないpriorは代数のすべての偶発的な命題に同じ値を割り当てるので、それはより良いことです。 事後の機能的依存性は、すべての自明でない事後を単一の情報のない値に強制するでしょう。 したがって、ベイズ勘定は自明ではないが、帰納的な内容が他の非ベイズ平均によって提供される豊富な事前確率分布から始まる場合にのみ、ノートンは主張する。

ボリューム内の三つの論文は、ベイズアカウントが論理の形として示すことができるという可能性を探ります。 コリン・ハウソンは、ベイズ主義は推論の演繹論理の一形態であると主張し、ロベルト・フェスタとヤン＝ウィレム・ロメイインは、ベイズ理論は帰納的推論の形で投げかけることができると主張している。 ベイジアン・アカウントが演繹的推論の一形態と見なすことができるかどうかを調べるために、ハウソンは過去300年間の科学的推論を簡単に見て、なぜベイジアン推論が純粋な推論の論理の一形態とみなされるべきだと考えているのかに焦点を当てている。 確率論的推論が一貫性または一貫性の論理とみなすことができるかどうかについての議論を考慮に入れて、彼はde Finettiが世界について何も言わないように確率の理論を取ったが、それを”不確実性の論理”とみなすde Finettiの確率論について論じている。 ベイズ推論を純粋な論理の論理として捉えるべき理由の一つは、二つの矛盾した信念を含まないシステムに適用可能な表現”一貫性”と、信念の程度に適用可能な表現”一貫性”との間のカイバーグの区別との不一致に注意することである。 ハウソンにとって、演繹論理との類推は、後者が真理値評価に一貫性の制約を課すことと、確率論の規則が信念の程度に制約を課すこととの間にある。 彼の論文の残りの部分は、推論の純粋な論理の一形態としてベイズ推論を開発し、解釈することに専念しています。

FestaとRomeijnの両方は、過去世紀の統計と帰納推論が、共生の明確な兆候なしに、多かれ少なかれ独立して発展し、繁栄してきたことを後悔しています。 フェスタはベイズ統計とカルナップの帰納的確率理論を拡大し、それらの異なる概念的基盤にもかかわらず、後者の中で働いた方法は前者の中で使 彼は、帰納的論理のいくつかの概念と方法が、いくつかの統計的概念と手順の合理的な再構成に適用される可能性があると主張している。 彼によると、帰納的論理は、類推的考察を含むさまざまな種類の統計的推論に使用できるいくつかの新しい方法を示唆している。 最後に、Festaは、ベイズ版の真理近似をどのように開発し、統計的枠組みに統合することができるかを示しています。7

Romeijnはまた、統計と帰納論理との関係を調査しています。 帰納的論理と統計は別々に発展してきましたが、RomeijnはFestaのように、2つの間の相互関係を探求する時が来たと考えています。 彼の論文では、帰納的論理の観点から統計的推論の様々なモードを表現することが可能かどうかを調査している。 Romeijnは、リンクを偽造するための統計における3つの重要なアイデアを考慮しています。 それらは、（i）Neyman-Pearson仮説検定（NPTH）、（ii）最尤推定、および（iii）ベイズ統計です。 Romeijnは、カルナピアンとベイズ帰納論理の両方を使用して、これらのアイデアの二つの最後のことを示しています（すなわち とベイズ統計量）は、非増幅帰納論理の観点から自然に表現することができる。 彼の章の最後のセクションでは、NPTHは、統計的仮説に対する区間ベースの確率によってベイズ帰納的論理に結合されています。

主観的なベイズ人がいるので、客観的なベイズ人がいます。 ホセ-ベルナルドもその一人である。 多くの哲学者は一般的にベルナルドの仕事を認識していないので、私たちはそれに比較的長い議論を捧げるでしょう。 Bernardoは、「仮定されたモデルにのみ依存する統計分析を「客観的」として記述するために、tは標準的な慣行になっている」と書いています。 この正確な意味で（そしてこの意味でのみ）参照分析は、”客観的な”ベイズ推論を生成する方法です”。

ベルナルドにとって、彼が客観的なベイズ主義のブランドを促進するために提唱した参照分析は、データが生成された条件を記述するM≤{P(x|w),x≤X,w≤Ω}の形のパラメトリックモデルによって理解されるべきである。 ここで、データxは、あるw≤Ωに対して確率分布P(x|w)を持つランダム過程x≤Xの1つの観測値からなると仮定される。 パラメトリックモデルは、統計モデルのインスタンスです。 Bernardoはinterest=w（w）interestを関心のあるベクトルと定義しています。 すべての正当なベイズ推論、価値θは、捕捉され、その後分布P(θ|x∝∫ΛP(x|θ軸、λ)P(θ,λ)dλの提供これらの推測は、想定されるモデルです。 ここで、λは迷惑パラメータのベクトルであり、しばしば「モデル」P(x|λ)と呼ばれます。

この種の客観主義の魅力は、統計ツールの助けを借りて、客観性のテーマをベイズ主義の中で立派な統計学の学校に変えることにさらに前進した”参照分析”に重点を置いていることである。 Bernardoが書いているように、”eference分析は、情報理論的なアイデアに基づいて、モデルベースの非主観的な事後を導出する方法として記述され、科学的コミュニケーションのためのデータの推論的内容を記述することを意図している”と説明されることがある。 ここで、「データの推論的内容」によって、彼は前者が「非主観的な事後を導出する方法の基礎」を提供することを意味する（同著）。 ベルナルドの客観的なベイズ主義は、以下の主張からなる。

まず、エージェントの背景情報は、研究者が統計モデルを構築するのに役立つはずであると考えているため、最終的には後者がモデルに割り当てる したがって、Bernardoは目標として一意の確率値に到達することを支持するかもしれませんが、すべての問題で一意の確率割り当てを持つ必要はありません。 彼は、”彼のアナリストは、実験の設計とは無関係に、ユニークな（多くの場合主観的な）前のp（w）を持っていることになっているが、科学界はおそらく、公開された実験計画に関連する参照（コンセンサス）事後と対応するアナリストの個人的な事後を比較することに興味があるだろう。” . 第二に、ベルナルドにとって、統計的推論は、様々なモデル/理論の中で決定する場合に過ぎず、決定には、とりわけ、モデル/理論が経験的に適切であるという仮定に基づいて行動することの有用性が含まれる。 ここでは、問題のモデル/理論の経験的妥当性に作用する有用性は、いくつかの損失関数を含む可能性があります。 この巻の彼の章では、彼は客観的なベイズ主義の彼のバージョンを開発し、彼のアカウントに対して提起されたいくつかの告発に対処しています。彼らの共同章では、Gregory WheelerとJon Williamsonは客観的なベイズ主義とKyburgの証拠的確率理論を組み合わせています。 ベイズ主義のこの位置またはベイズ主義の任意の形式は、確率の彼の証拠理論にかかっている統計的推論へのカイバーグのアプローチで対立しているよ 我々は、ベイズ主義に対するKyburgの1つの議論を考えるでしょう。 Kyburgは、（厳密な）Bayesians（野蛮人のような）が命題の一意の確率の仮定に関連しているため、部分的な信念を「信念の程度」と見なすべきではないと考えています。 彼は不確実性についての私達の部分的な確信を捕獲するように間隔基づかせていた確率を論議した。 区間ベースの確率はベイズではないので、部分的な信念を信念の程度として扱うことは許されていないということになる。 Kyburgの確率観と客観的なベイズ観の間のこの反対を考えると、WheelerとWilliamsonは、これら2つの見解の両方のコアアイデアが科学的推論の単一の説明の中でどのように実りあるものに対応できるかを示そうとしました。

Bayesiansへの信念の質問のRoyallの帰属を念頭に置いて、Bayesiansの位置に関する議論を終了するには、多くのBayesiansはこの帰属について複雑な感情を持っています。 ある程度、彼らの中にはそれが不適切に単純なものであると考える人もいるかもしれません。 ハウソンは、これがベイズ理論のニュアンスと微妙さのいくつかを逃すだろうという観察でこの帰属に同意するだろう。 彼は広く確率の主観的な評価を取ることでデフィネッティのラインに従います。 これらの評価は、通常、”信念の程度”と呼ばれます。”だから、その程度まで、彼は確信度の中心的な役割があると考えています。 したがって、彼によると、Bayesiansへの信念の質問の帰属はある意味で理にかなっています。 しかし、彼は、ベイズ理論の主体は、それらの一貫性/一貫性を確保するためにこれらに課されるべき制約を特定することにあると考えている。 彼の論文は、ベイズ主義のためのその枠組みを提供しています。 ホーソーンは、彼の尤度比収束定理は、彼らが非常によく理論の信念の程度を変えることから始めることができたにもかかわらず、どのように異なるエージェントが最終的に同意することができることを示しているので、部分的にRoyallに同意しない可能性があります。 WeirichとNortonの両方は、Bayesianismに対する彼らの立場が懸念している限り、反対の陣営に属していますが、RoyallのBayesianへの帰属は結局正当化されることに同意するかもしれません。 予測問題に関しては、確認理論の範囲内で働く人々を含む多くのベイズ人は、信念の質問に応答する確認のアカウントは、ベイズ人にとって、後者は信念の質問のサブクラスであるため、予測の質問を処理することができると主張するだろう。