Calculus II – Sequenzen
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Abschnitt 4-1 : Sequenzen
Beginnen wir diesen Abschnitt mit einer Diskussion darüber, was eine Sequenz ist. Eine Sequenz ist nichts anderes als eine Liste von Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge geschrieben sind. Die Liste kann eine unendliche Anzahl von Begriffen enthalten oder nicht, obwohl wir uns in dieser Klasse ausschließlich mit unendlichen Sequenzen befassen werden. Allgemeine Sequenzbegriffe werden wie folgt bezeichnet,
\
Da es sich um unendliche Sequenzen handelt, wird jedem Term in der Sequenz ein anderer Term folgen, wie oben erwähnt. In der obigen Notation müssen wir mit den Indizes sehr vorsichtig sein. Der Index von \(n + 1\) bezeichnet den nächsten Term in der Sequenz und NICHT eins plus den \(n^{\mbox{th}}\) Term! Mit anderen Worten,
\
Seien Sie also beim Schreiben von Indizes sehr vorsichtig, um sicherzustellen, dass das „+1“ nicht aus dem Index migriert! Dies ist ein einfacher Fehler, den Sie machen können, wenn Sie sich zum ersten Mal mit solchen Dingen befassen.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Sequenz zu bezeichnen. Jede der folgenden Möglichkeiten ist äquivalent, um eine Sequenz zu bezeichnen.
\
In der zweiten und dritten Notation über an wird normalerweise durch eine Formel angegeben.
Ein paar Anmerkungen zu diesen Notationen sind jetzt in Ordnung. Beachten Sie zunächst den Unterschied zwischen der zweiten und dritten Notation oben. Wenn der Ausgangspunkt nicht wichtig ist oder in irgendeiner Weise durch das Problem impliziert wird, wird er oft nicht wie in der dritten Notation aufgeschrieben. Als nächstes verwendeten wir einen Startpunkt von \ (n = 1\) nur in der dritten Notation, damit wir einen aufschreiben konnten. Es gibt absolut keinen Grund zu der Annahme, dass eine Sequenz bei \(n = 1\) beginnt. Eine Sequenz beginnt, wo immer sie beginnen muss.
Schauen wir uns ein paar Sequenzen an.
- \(\displaystyle \links\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \rechts\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \links\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \rechts)}^{n + 1}}}}{{{2^ n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), wobei \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \)
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Um die ersten Sequenzterme zu erhalten, müssen wir nur die Werte von \(n\) in die angegebene Formel eingeben und wir erhalten die Sequenz Nutzungsbedingungen.
\
Beachten Sie die Aufnahme des „…“ am Ende! Dies ist ein wichtiges Stück Notation, da es das einzige ist, was uns sagt, dass die Sequenz weitergeht und nicht am letzten Term endet.
b \(\displaystyle \links\{ {\frac{{{{\links( { – 1} \rechts)}^{n + 1}}}}{{{2^ n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Lösung anzeigen
Dieser ist dem ersten ähnlich. Der Hauptunterschied besteht darin, dass diese Sequenz nicht bei \(n = 1\) beginnt.
\
Beachten Sie, dass sich die Begriffe in dieser Reihenfolge in Zeichen abwechseln. Sequenzen dieser Art werden manchmal alternierende Sequenzen genannt.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), wobei \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \) Lösung anzeigen
Diese Sequenz unterscheidet sich von den ersten beiden in dem Sinne, dass sie keine spezifische Formel für jeden Term hat. Es sagt uns jedoch, was jeder Begriff sein sollte. Jeder Term sollte die n-te Ziffer von \(\pi\) sein. Wir wissen also, dass \(\pi = 3.14159265359 \ldots \)
Die Sequenz lautet dann
\
In den ersten beiden Teilen des vorherigen Beispiels beachten Sie, dass wir die Formeln wirklich als Funktionen behandelt haben, in die nur ganze Zahlen eingefügt werden können. Oder
\
Dies ist eine wichtige Idee bei der Untersuchung von Sequenzen (und Serien). Wenn wir die Sequenzbegriffe als Funktionsauswertungen behandeln, können wir viele Dinge mit Sequenzen tun, die wir sonst nicht tun könnten. Bevor wir uns jedoch weiter mit dieser Idee befassen, müssen wir ein paar weitere Ideen aus dem Weg räumen.
Zuerst wollen wir darüber nachdenken, eine Sequenz „grafisch darzustellen“. Um die Sequenz \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) grafisch darzustellen, zeichnen wir die Punkte \(\left( {n,{a_n}} \right)\) als \(n\) Bereiche über alle möglichen Werte in einem Diagramm. Lassen Sie uns zum Beispiel die Sequenz \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) grafisch darstellen. Die ersten Punkte in der Grafik sind,
\
Die Grafik für die ersten 30 Terme der Sequenz ist dann,
beschriftet ist. Beachten Sie, dass, wenn \(n\) die Sequenzterme in unserer Sequenz erhöht, in diesem Fall näher und näher an Null herankommen. Wir sagen dann, dass Null die Grenze (oder manchmal der Grenzwert) der Sequenz ist und schreiben,
\
Diese Notation sollte Ihnen vertraut vorkommen. Es ist die gleiche Notation, die wir verwendet haben, als wir über die Grenze einer Funktion gesprochen haben. Wenn Sie sich erinnern, haben wir vorhin gesagt, dass wir Sequenzen in irgendeiner Weise als Funktionen betrachten können, und daher sollte diese Notation nicht allzu überraschend sein.
Mit den Ideen, die wir für Grenzen von Funktionen entwickelt haben, können wir die folgende Arbeitsdefinition für Grenzen von Sequenzen aufschreiben.
Arbeitsdefinition der Grenze
- Wir sagen, dass \
wenn wir eine so nah an \(L\) machen können, wie wir für alle ausreichend großen \(n\) wollen. Mit anderen Worten, der Wert des \({a_n}\)-Ansatzes \(L\) als \(n\) nähert sich der Unendlichkeit.
- Wir sagen, dass \
, wenn wir eine so große machen können, wie wir wollen für alle ausreichend groß \(n\). Mit anderen Worten, der Wert der \({a_n}\) wird immer größer, ohne gebunden zu sein, wenn \(n\) sich der Unendlichkeit nähert.
- Wir sagen, dass \
wenn wir ein so großes und negatives machen können, wie wir für alle ausreichend großen \(n\) wollen. Mit anderen Worten, der Wert der \({a_n}\) ist negativ und wird immer größer, ohne gebunden zu sein, wenn \(n\) sich der Unendlichkeit nähert.
Die Arbeitsdefinitionen der verschiedenen Sequenzgrenzen sind insofern nett, als sie uns helfen, zu visualisieren, was die Grenze tatsächlich ist. Genau wie bei Funktionsgrenzen gibt es jedoch auch für jede dieser Grenzen eine genaue Definition. Lassen Sie uns diese geben, bevor Sie fortfahren
Genaue Definition der Grenze
- Wir sagen, dass \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) wenn für jede Zahl \(\varepsilon > 0\) es eine ganze Zahl \(N\) gibt, so dass \
- Wir sagen, dass \( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) wenn für jede Zahl \(M > 0\) es eine ganze Zahl \(N\) gibt, so dass \
- Wir sagen, dass \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) wenn für jede Zahl \(M < 0\) es gibt eine Ganzzahl \(N\) so dass \
Wir werden die genaue Definition nicht oft verwenden, aber es wird gelegentlich auftauchen.Beachten Sie, dass beide Definitionen uns sagen, dass, damit eine Grenze existiert und einen endlichen Wert hat, alle Sequenzterme diesem endlichen Wert immer näher kommen müssen, wenn \(n\) zunimmt.
Nun, da wir die Definitionen der Sequenzgrenze aus dem Weg geräumt haben, haben wir ein wenig Terminologie, die wir uns ansehen müssen. Wenn \(\math {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) existiert und endlich ist, sagen wir, dass die Sequenz konvergent ist. Wenn \(\math {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) nicht existiert oder unendlich ist, sagen wir, dass die Sequenz divergiert. Beachten Sie, dass wir manchmal sagen, dass die Sequenz zu \(\infty \) divergiert, wenn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) und wenn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) wir manchmal sagen, dass die Sequenz zu \( – \infty \) divergiert.
Gewöhnen Sie sich an die Begriffe „konvergent“ und „divergent“, da wir sie in diesem Kapitel ziemlich oft sehen werden.
Wie finden wir also die Grenzen von Sequenzen? Die meisten Grenzen der meisten Sequenzen können mit einem der folgenden Sätze gefunden werden.
Theorem 1
Gegeben sei die Folge \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) wenn wir eine Funktion \(f\left( x \right)\) haben, so dass \(f\left( n \right) = {a_n}\) und \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\) dann \(\mathop {\ }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Dieser Satz sagt uns im Grunde, dass wir die Grenzen von Sequenzen nehmen, ähnlich wie wir die Grenze von Funktionen nehmen. Tatsächlich werden wir diesen Satz in den meisten Fällen nicht einmal wirklich verwenden, indem wir eine Funktion explizit aufschreiben. Wir werden das Limit öfter so behandeln, als wäre es ein Limit einer Funktion, und das Limit nehmen, wie wir es in Calculus I immer getan haben, als wir die Limits von Funktionen genommen haben.
Nun, da wir wissen, dass das Nehmen der Grenze einer Sequenz fast identisch mit dem Nehmen der Grenze einer Funktion ist, wissen wir auch, dass alle Eigenschaften aus den Grenzen von Funktionen auch gelten.
Eigenschaften
Wenn \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) und \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) beide konvergente Sequenzen sind, dann
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\ lim }\limits_{n \bis \infty } {a_n} \(\mathop {\lim }\grenze_{n \bis \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\grenze_{n \bis \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\grenze_{n \bis \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \zu \infty } \links( {{a_n}\,{b_n}} \rechts) = \links( {\mathop {\lim }\limits_{n \zu \infty } {a_n}} \rechts)\links( {\mathop {\lim {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\grenze_{n \bis \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\grenze_{n \bis \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\ limits_{n \bis \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\ mbox{provided }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) provided \({a_n} \ge 0\)
Diese Eigenschaften können mit Satz 1 oben und den Funktionsgrenzeigenschaften bewiesen werden, die wir säge in Kalkül I oder wir können sie direkt mit der genauen beweisen definition eines Grenzwertes unter Verwendung nahezu identischer Beweise für die Eigenschaften der Funktionsgrenze.
Als nächstes, so wie wir einen Squeeze-Satz für Funktionsgrenzen hatten, haben wir auch einen für Sequenzen und er ist ziemlich identisch mit der Funktionslimit-Version.
Squeeze-Theorem für Sequenzen
Wenn \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) für alle \(n > N\) für einige \(N\) und \(\mathop {\lim }\limits_{n \bis \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{ n \bis \infty } {b_n} = L\) dann \(\math {\lim }\limits_{n \bis \infty } {c_n} = L\).
Beachten Sie, dass in diesem Satz das „für alle \(n > N\) für einige \(N\)“ uns wirklich nur sagt, dass wir \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) für alle ausreichend großen \(n\) , aber wenn es für die ersten paar \(n\) nicht wahr ist, wird das den Satz nicht ungültig machen.
Wie wir sehen werden, können nicht alle Sequenzen als Funktionen geschrieben werden, von denen wir tatsächlich die Grenze nehmen können. Dies gilt insbesondere für Sequenzen, die sich in Zeichen abwechseln. Während wir diese Sequenzbegriffe immer als Funktion schreiben können, wissen wir einfach nicht, wie wir die Grenze einer solchen Funktion nehmen sollen. Der folgende Satz hilft bei einigen dieser Sequenzen.
Satz 2
Wenn \(\mathop {\lim }\limits_{n \bis \infty } \left| {{a_n}} \right/ = 0\) dann \(\mathop {\lim }\limits_{n \bis \infty } {a_n} = 0\).
Wenn \(\mathop {\lim }\limits_{n \bis \infty } \left| {{a_n}} \right/ = 0\) dann \(\mathop {\lim }\limits_{n \bis \infty } {a_n} = 0\).
Beachten Sie, dass der Grenzwert Null sein muss, damit dieser Satz gültig ist, und er funktioniert nicht für eine Sequenz, deren Grenzwert ungleich Null ist. Dieser Satz ist leicht zu beweisen, also machen wir das.
Beweis des Satzes 2
Die Hauptsache zu diesem Beweis ist zu beachten, dass,
\
Dann beachten Sie, dass,
\
Wir haben dann \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) und so müssen wir nach dem Squeeze-Theorem auch haben,
\
Der nächste Satz ist ein nützlicher Satz, der die Konvergenz / Divergenz und den Wert angibt (für wenn es konvergent ist) einer Sequenz, die gelegentlich auftritt.
Satz 3
Die Folge \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) konvergiert, wenn \( – 1 < r \le 1\) und divergiert für alle anderen Werte von \(r\). Auch
\
Hier ist ein schneller (naja nicht so schneller, aber definitiv einfacher) Teilbeweis dieses Satzes.
Teilbeweis von Satz 3
Wir werden dies durch eine Reihe von Fällen tun, obwohl der letzte Fall nicht vollständig bewiesen wird.
Fall 1 : \(r > 1\)
Wir wissen aus Kalkül I, dass \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) wenn \(r > 1\) und so durch Satz 1 oben wissen wir auch, dass \(\mathop {\lim }\limits_{n \ zu \infty } {r^n} = \infty \) und so divergiert die Sequenz, wenn \(r > 1\).
Fall 2: \(r = 1\)
In diesem Fall haben wir,
\
Also konvergiert die Sequenz für \(r = 1\) und in diesem Fall ist ihre Grenze 1.
Fall 3 : \(0 < r < 1\)
Wir wissen aus Kalkül I, dass \(\math {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) if \(0 < r < 1\) und so wissen wir durch den obigen Satz 1 auch, dass \(\math {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) und so konvergiert die Sequenz, wenn \(0 < r < 1\) und in diesem Fall seine Grenze Null ist.
Fall 4: \(r = 0\)
In diesem Fall haben wir,
\
Also konvergiert die Sequenz für \(r = 0\) und in diesem Fall ist ihre Grenze Null.
Fall 5: \( – 1 < r < 0\)
Beachten Sie zunächst, dass wenn \( – 1 < r < 0\) dann \(0 < \left| r \right| < 1\) dann haben wir in Fall 3 oben,
\
Satz 2 oben sagt uns jetzt, dass wir auch haben müssen, \(\mat_ {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) und wenn also \( – 1 < r < 0\) die Sequenz konvergiert und hat eine Grenze von 0.
Fall 6 : \(r = – 1\)
In diesem Fall lautet die Sequenz,
\
und hoffentlich ist klar, dass \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) nicht existiert. Denken Sie daran, dass sich die Terme einem einzelnen Wert nähern müssen, wenn \(n\) zunimmt, damit dieser Grenzwert existiert. In diesem Fall wechseln sich die Terme jedoch nur zwischen 1 und -1 ab, sodass das Limit nicht existiert.
Die Sequenz divergiert also für \(r = – 1\).
Fall 7: \(r < – 1\)
In diesem Fall werden wir keinen vollständigen Beweis durchlaufen. Mal sehen, was passiert, wenn wir zum Beispiel \(r = – 2\) lassen. Wenn wir das tun, wird die Sequenz,
\
Also, wenn \(r = – 2\) wir bekommen eine Folge von Begriffen, deren Werte sich im Vorzeichen abwechseln und größer und größer werden und so \(\mat_ {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) existiert nicht. Es beruhigt sich nicht auf einen einzigen Wert, wenn \(n\) zunimmt, noch nähern sich die Terme ALLE der Unendlichkeit. Die Sequenz divergiert also für \(r = – 2\).
Wir könnten etwas Ähnliches für jeden Wert von \(r\) tun, so dass \(r < – 1\) und so divergiert die Sequenz für \(r < – 1\).
Schauen wir uns ein paar Beispiele für Grenzen von Sequenzen an.
- \(\links\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \rechts\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\links\{ {\displaystyle \frac{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \rechts\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
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In diesem Fall müssen wir nur die Methode aufrufen, die entwickelt in Calculus I, um mit den Grenzen rationaler Funktionen umzugehen. Siehe die Grenzen bei Infinity, Teil I Abschnitt der Calculus I Notizen für eine Überprüfung dieser, wenn Sie benötigen.
Um ein Limit in dieser Form zu erstellen, müssen wir nur aus Zähler und Nenner die größte Potenz von \(n\) faktorisieren, abbrechen und dann das Limit nehmen.
\
Die Sequenz konvergiert also und ihre Grenze ist \(\frac{3}{5}\).
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Lösung anzeigen
Wir müssen mit diesem vorsichtig sein. Wir müssen L’Hospitals Regel für diese Sequenz verwenden. Das Problem ist, dass die Regel von L’Hospital nur für Funktionen und nicht für Sequenzen funktioniert. Normalerweise wäre dies ein Problem, aber wir haben Satz 1 von oben, um uns zu helfen. Definieren wir
\
und beachten Sie, dass
\
Satz 1 besagt, dass wir nur die Grenze der Funktion nehmen müssen.
\
Die Sequenz in diesem Teil divergiert also (zu \(\infty \)).
Meistens machen wir einfach die L’Hospital-Regel für die Sequenzbegriffe, ohne zuerst in \(x\) zu konvertieren, da die Arbeit identisch ist, unabhängig davon, ob wir \(x\) oder \(n\) . Wir sollten uns jedoch wirklich daran erinnern, dass wir die Ableitungen technisch nicht ausführen können, während wir uns mit Sequenztermen befassen.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Lösung anzeigen
Wir werden auch mit dieser Sequenz vorsichtig sein müssen. Wir könnten versucht sein, nur zu sagen, dass die Grenze der Sequenzterme Null ist (und wir wären richtig). Technisch gesehen können wir jedoch nicht die Grenze von Sequenzen nehmen, deren Terme sich im Vorzeichen abwechseln, weil wir nicht wissen, wie man Grenzen von Funktionen setzt, die dasselbe Verhalten aufweisen. Außerdem möchten wir sehr vorsichtig sein, um uns bei diesen Problemen nicht zu sehr auf Intuition zu verlassen. Wie wir im nächsten Abschnitt und in späteren Abschnitten sehen werden, kann uns unsere Intuition bei diesen Problemen in die Irre führen, wenn wir nicht vorsichtig sind.
Also, lassen Sie uns diesen nach dem Buch arbeiten. Wir müssen Satz 2 zu diesem Problem verwenden. Dazu müssen wir zuerst berechnen,
\
Da also die Grenze der Sequenzterme mit Absolutwertbalken auf Null geht, wissen wir durch Satz 2, dass,
\
was auch bedeutet, dass die Sequenz zu einem Wert von Null konvergiert.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Lösung anzeigen
Beachten Sie für diesen Satz, dass wir nur erkennen müssen, dass dies die Sequenz in Satz 3 oben mit \(r = – 1\) . Nach Satz 3 divergiert diese Sequenz.
Wir müssen nun vor dem Missbrauch von Satz 2 warnen. Satz 2 funktioniert nur, wenn die Grenze Null ist. Wenn die Grenze des Absolutwerts der Sequenzterme nicht Null ist, gilt der Satz nicht. Der letzte Teil des vorherigen Beispiels ist ein gutes Beispiel dafür (und tatsächlich ist diese Warnung der ganze Grund, warum dieser Teil da ist). Beachten Sie, dass
\
und doch \(\mat_ {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) nicht einmal existiert, geschweige denn gleich 1 . Seien Sie also vorsichtig mit diesem Satz 2. Sie müssen immer daran denken, dass es nur funktioniert, wenn das Limit Null ist.
Bevor wir mit dem nächsten Abschnitt fortfahren, müssen wir noch einen Satz angeben, den wir später für einen Beweis benötigen.
Satz 4
Für die Folge \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) wenn beide \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) und \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) dann \(\left\{ {{ a_n}} \right\}\) ist konvergent und \(\math {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\).
Beweis des Satzes 4
Sei \(\varepsilon > 0\).
Dann gibt es seit \(\mat_ {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) ein \({N_1} > 0\), so dass, wenn \(n > {N_1}\) wir das wissen,
\
Ebenso, weil \(\mat } {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) es gibt ein \({N_2} > 0\), so dass, wenn \(n > {N_2}\) wir wissen, dass,
\
Nun sei \(N = \max \ left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) und lassen Sie \(n > N\). Dann entweder \({a_n} = {a_{2k}}\) für einige \(k > {N_1}\) oder \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) für einige \(k > {N_2}\) und so haben wir in beiden Fällen das,
\
Daher, \(\mat\ {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) und so ist \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergent.