svag lov af stort antal

2.3 Bayesian statistics paradigme

det er generelt aftalt af sine tilhængere og kritikere, at Bayesianisme5 i øjeblikket er den dominerende opfattelse i videnskabsfilosofien. Nogle statistikere er gået videre, formoder år siden, at Bayesian statistik vil være den dominerende statistik for det enogtyvende århundrede. Hvorvidt denne påstand kan begrundes, ligger uden for denne indlednings anvendelsesområde. Det er imidlertid ubestridt, at det bayesiske paradigme har spillet en central rolle i sådanne discipliner som filosofi, statistik, datalogi og endda retspraksis.Bayesere er opdelt i subjektive og objektive kategorier. Ifølge alle Bayesere skal en agents tro opfylde reglerne for sandsynlighedsberegningen. Ellers er agentens grad af tro i overensstemmelse med det velkendte “hollandske bog” argument usammenhængende. Subjektive Bayesere tager denne (probabilistiske) sammenhæng til at være både en nødvendig og en tilstrækkelig betingelse for rationaliteten af en agents tro, og hævder derefter (typisk), at rationelle agenters tro vil konvergere over tid. Pointen med videnskabelig slutning og kilden til dens “objektivitet” er at garantere sammenhæng og sikre konvergens. Objektive Bayesere insisterer på den anden side typisk på, at mens kohærensbetingelsen er nødvendig, er det ikke også tilstrækkeligt for den slags objektivitet, som videnskabelige metoder er beregnet til at muliggøre.

Paul ‘ s papir i dette bind fokuserer primært på subjektiv Sandsynlighed. Han har udviklet en Bayesiansk beslutningsteoretisk tilgang, hvor han overvejer, hvordan en agents tro kan revideres i lyset af data. Sandsynligheder repræsenterer en agents grad af tro. Rare vurderer flere anklager mod Bayesere. Ifølge en indsigelse, han har overvejet, tillader Bayesianisme en agents grader af tro at være noget, så længe de tilfredsstiller sandsynlighedsberegningen. Rare tager indsigelsen til at antyde, at bayesiske subjektive sandsynligheder skal repræsentere en agents idiosynkratiske overbevisning. Han har dog afvist permissiv Bayesianisme til fordel for sin version af Bayesianisme. Begrebet betinget sandsynlighed, som betingelsesprincippet hviler på, er centralt for ham. I henhold til dette princip skal en agent opdatere sin grad af tro på en hypotese (H) i lyset af data (D) i overensstemmelse med princippet om konditionalisering, der siger, at hendes grad af tro på H, efter at dataene er kendt, er givet af den betingede sandsynlighed P(H|D) = P(H&D)/P(D), forudsat at P(d) ikke er nul. Rare vurderer også anklager anlagt mod brugen af princippet om konditionalisering. Endelig sammenligner han Bayesian statistisk beslutningsteori med klassisk statistik og afslutter sit papir med en evaluering af sidstnævnte.

et centralt forskningsområde inden for videnskabsfilosofi er bayesisk bekræftelsesteori. Han tager Bayesian bekræftelsesteori for at give en logik om, hvordan beviser skelner mellem konkurrerende hypoteser eller teorier. Han hævder, at det er vildledende at identificere Bayesian bekræftelsesteori med den subjektive hensyn til Sandsynlighed. Hellere, enhver konto, der repræsenterer i hvilken grad en hypotese understøttes af bevis som en betinget sandsynlighed for hypotesen om beviset, hvor den involverede sandsynlighedsfunktion opfylder de sædvanlige probabilistiske aksiomer, vil være en bayesisk bekræftelsesteori, uanset fortolkningen af begrebet sandsynlighed den anvender. For på en sådan konto vil Bayes’ sætning udtrykke, hvordan hvad hypoteser siger om beviser (via sandsynligheden) påvirker i hvilken grad hypoteser understøttes af beviser (via posterior sandsynligheder). Den sædvanlige subjektive fortolkning af den probabilistiske bekræftelsesfunktion er alvorligt udfordret af udvidede versioner af problemet med gamle beviser. Han viser, at på den sædvanlige subjektivistiske fortolkning selv trivielle oplysninger en agent kan lære om et bevis påstand kan helt underminere objektiviteten af sandsynlighederne. For så vidt sandsynligheden antages at være objektiv (eller intersubjektivt aftalt), kan bekræftelsesfunktionen ikke bære den sædvanlige subjektivistiske læsning. Han tager tidligere sandsynligheder for at afhænge af plausibilitetsvurderinger, men hævder, at sådanne vurderinger ikke kun er subjektive, og at Bayesian bekræftelsesteori ikke er alvorligt handicappet af den slags subjektivitet, der er involveret i sådanne vurderinger. Han baserer sidstnævnte påstand på et kraftigt bayesisk konvergensresultat, som han kalder sandsynlighedsforholdet konvergenssætning. Denne sætning afhænger kun af sandsynligheder, ikke af tidligere sandsynligheder; og det er en svag lov med stort antal, der giver eksplicitte grænser for konvergenshastigheden. Det viser, at når beviserne stiger, bliver det meget sandsynligt, at de bevismæssige resultater vil være sådan, at sandsynlighedsforholdene kommer til stærkt at favorisere en sand hypotese over hver bevisligt skelnelig konkurrent. Således vil to bekræftelsesfunktioner (anvendt af forskellige agenter), der er enige om sandsynligheder, men adskiller sig fra tidligere sandsynligheder for hypoteser (forudsat at forud for den sande hypotese ikke er for nær 0) have tendens til at producere sandsynlighedsforhold, der bringer posterior sandsynligheder til at konvergere mod 0 for falske hypoteser og mod 1 For det sande alternativ.6

John D. Norton søger at give en modvægt til den nu dominerende opfattelse af, at Bayesian bekræftelsesteori er lykkedes at finde den universelle logik, der styrer bevis og dens induktive betydning i videnskaben. Han tillader, at Bayesere har gode grunde til optimisme. Hvor mange andre har fejlet, lykkes deres system med at specificere en præcis beregning, forklare de induktive principper for andre konti og kombinere dem til en enkelt konsistent teori. Imidlertid opfordrer han til, at dens dominans først opstod for nylig i århundrederne med bayesisk teoretisering og muligvis ikke varer i betragtning af vedholdenheden af de problemer, den står over for.

mange af de problemer, Norton identificerer for Bayesian bekræftelsesteori, vedrører tekniske forhold, som vores læsere kan finde mere eller mindre bekymrende. Efter hans opfattelse, den mest alvorlige udfordring stammer fra den bayesiske ambition om at give en komplet redegørelse for induktiv slutning, der sporer vores induktive ræsonnement tilbage til en indledende, neutral tilstand, inden inkorporering af ethvert bevis. Hvad der besejrer denne ambition, ifølge Norton, er det velkendte, genstridige problem med priors, fortalt i to former i hans kapitel. I en form er problemet, at den bageste P(H|D&B), som udtrykker den induktive understøttelse af data D for hypotese H i forbindelse med baggrundsinformation B, er fastgjort fuldstændigt af de to “tidligere” sandsynligheder, P(H&D|B) og P(D|B). Hvis man er subjektivist og hævder, at de tidligere sandsynligheder kan vælges ved indfald, kun underlagt aksiomerne i sandsynlighedsberegningen, kan den bageste P(H|D&B) ifølge Norton aldrig frigøres for disse luner. Eller hvis man er en objektivist og hævder, at der kun kan være en korrekt prior i hver specifik situation, derefter, som forklaret i hans kapitel, additiviteten af en sandsynlighedsforanstaltning udelukker en tildeling af virkelig “informationsløse priors.”Det er til det bedre, ifølge Norton, da en virkelig informationsløs forudgående ville tildele den samme værdi til hvert betinget forslag i algebra. Den funktionelle afhængighed af en posterior på priors ville så tvinge alle ikke-trivielle posteriors til en enkelt, informationsløs værdi. Derfor kan en bayesisk konto være ikke-triviel, hævder Norton, kun hvis den begynder med en rig forudgående sandsynlighedsfordeling, hvis induktive indhold leveres af andre, ikke-bayesiske midler.

tre papirer i bindet undersøger muligheden for, at Bayesian-konto kunne vises som en form for logik. Bayesianisme er en form for deduktiv logik for slutning, mens Roberto Festa og Jan-Villem Romeijn hævder, at Bayesiansk teori kan kastes i form af induktiv slutning. For at undersøge, om Bayesian-konto kan betragtes som en form for deduktiv slutning, ser han kort på de sidste tre hundrede år med videnskabelig slutning og fokuserer derefter på, hvorfor han mener, at Bayesian slutning bør betragtes som en form for ren logik af slutning. Under hensyntagen til debatten om, hvorvidt sandsynlig slutning kan betragtes som logik for konsistens eller sammenhæng, diskuterer han de Finettis sandsynlighedsteori, hvor de Finetti tog sandsynlighedsteorien for ikke at sige noget om verden, men tager det som en “usikkerhedslogik.”En motiverende grund til at overveje, hvorfor Bayesian inferens bør tages som en logik af ren logik, er at bemærke hans uenighed med Kyburgs skelnen mellem udtrykket “konsistens”, der skal anvendes på et system, der ikke indeholder to inkonsekvente overbevisninger, og udtrykket “sammenhæng”, der skal anvendes på grader af tro. Analogien med deduktiv logik er mellem sidstnævnte, der pålægger konsistensbegrænsninger på sandhedsevalueringer og reglerne i sandsynlighedsteorien, der pålægger begrænsninger i grad af tro. Resten af hans papir er afsat til at udvikle og fortolke Bayesian inferens som en form for ren logik af inferens.

både Festa og Romeijn beklager, at statistikker og induktiv slutning i det sidste århundrede har udviklet sig og blomstret mere eller mindre uafhængigt af hinanden uden klare tegn på symbiose. Festa undersøger Bayesiansk statistik og Carnaps teori om induktive sandsynligheder og viser, at på trods af deres forskellige konceptuelle baser er metoderne, der er udarbejdet inden for sidstnævnte, i det væsentlige identiske med dem, der anvendes inden for førstnævnte. Han hævder, at nogle begreber og metoder til induktiv logik kan anvendes i den rationelle rekonstruktion af flere statistiske forestillinger og procedurer. Ifølge ham foreslår induktiv logik nogle nye metoder, der kan bruges til forskellige former for statistisk slutning, der involverer analoge overvejelser. Endelig viser Festa, hvordan en bayesisk version af sandhedstilnærmelse kan udvikles og integreres i en statistisk ramme.7

Romeijn undersøger også forholdet mellem statistik og induktiv logik. Selvom induktiv logik og statistik har udviklet sig separat, Romeijn mener, ligesom Festa, at det er på tide at udforske sammenhængen mellem de to. I sit papir undersøger han, om det er muligt at repræsentere forskellige former for statistisk slutning med hensyn til induktiv logik. Romeijn overvejer tre nøgleideer i statistik for at skabe linket. De er (i) Neyman-Pearson hypotesetestning (NPTH), (ii) estimering af maksimal sandsynlighed og (iii) Bayesian statistik. Romeijn viser ved hjælp af både Carnapian og Bayesian induktiv logik, at den sidste af to af disse ideer (dvs., estimering af maksimal sandsynlighed og bayesisk statistik) kan repræsenteres naturligt i form af en ikke-ampliativ induktiv logik. I det sidste afsnit af hans kapitel er NPTH forbundet med Bayesian induktiv logik ved hjælp af intervalbaserede sandsynligheder over de statistiske hypoteser.

da der er subjektive Bayesere, så er der objektive Bayesere. Josh Bernardo er en af dem. Da mange filosoffer generelt ikke er opmærksomme på Bernardos arbejde, vil vi afsætte en relativt længere diskussion til det. Bernardo skriver, AT “t er blevet standardpraksis,…, at beskrive som “objektiv” enhver statistisk analyse, der kun afhænger af den antagne model. I denne præcise forstand (og kun i denne forstand) er referenceanalyse en metode til at producere ‘objektiv’ bayesisk slutning” .

For Bernardo skal referenceanalysen, som han har fortaler for at fremme sit mærke af objektiv Bayesianisme,forstås i form af en eller anden parametrisk model af formen M. Her antages dataene at bestå af en observation af den tilfældige proces med sandsynlighedsfordeling P(H|H) for nogle v-h. En parametrisk model er en forekomst af en statistisk model. Bernardo definerer som en vektor af interesse. Alle legitime Bayesian slutninger om den værdi θ er fanget i sin posterior fordelingen P(θ|x)∝∫ΛP(x|θ,λ)P(θ,λ)dλ, forudsat at disse slutninger, der er foretaget i henhold til en antaget model. Her er en eller anden vektor af generende parametre og kaldes ofte” model ” P.

tiltrækningen af denne form for objektivisme er dens vægt på “referenceanalyse”, som ved hjælp af statistiske værktøjer har gjort yderligere fremskridt med at gøre sit tema om objektivitet til en respektabel statistisk skole inden for Bayesianisme. Som Bernardo skriver, “eference-analyse kan beskrives som en metode til at udlede modelbaserede, ikke-subjektive posteriors, baseret på de informationsteoretiske ideer, og beregnet til at beskrive det inferentielle indhold af dataene til videnskabelig kommunikation” . Her ved” inferentielt indhold af dataene “mener han, at førstnævnte giver” grundlaget for en metode til at udlede ikke-subjektive posteriors ” (Ibid). Bernardos objektive Bayesianisme består af følgende påstande.

for det første mener han, at agentens baggrundsinformation skal hjælpe efterforskeren med at opbygge en statistisk model og dermed i sidste ende påvirke, hvilken forudgående sidstnævnte skal tildele modellen. Derfor, selvom Bernardo måske støtter at nå frem til en unik sandsynlighedsværdi som et mål, kræver han ikke, at vi skal have den unikke sandsynlighedsopgave i alle spørgsmål til vores rådighed. Han skriver: “han analytiker formodes at have en unik (ofte subjektiv) forudgående p(h), uafhængigt af eksperimentets design, men det videnskabelige samfund vil formodentlig være interesseret i at sammenligne den tilsvarende analytikers personlige posterior med referencen (konsensus) posterior forbundet med det offentliggjorte eksperimentelle design.” . For det andet er statistisk slutning for Bernardo intet andet end et tilfælde af at beslutte blandt forskellige modeller/teorier, hvor beslutning blandt andet inkluderer nytten af at handle på antagelsen om, at modellen/teorien er empirisk tilstrækkelig. Her kan nytten af at handle på den empiriske tilstrækkelighed af den pågældende model/teori indebære en vis tabsfunktion . I sit kapitel for dette bind har han udviklet sin version af objektiv Bayesianisme og har behandlet flere anklager mod hans konto.i deres fælles kapitel har Gregory og Jon kombineret objektiv Bayesianisme med Kyburgs bevisteori om sandsynlighed. Denne position af Bayesianisme eller enhver form for Bayesianisme synes i strid med Kyburgs tilgang til statistisk slutning, der hviler på hans bevisteori om sandsynlighed. Vi vil overveje Kyburgs ene argument mod Bayesianismen. Kyburg mener, at vi ikke bør betragte delvise overbevisninger som “grader af tro”, fordi (strenge) Bayesere (som vilde) er forbundet med antagelsen om en unik Sandsynlighed for et forslag. Han diskuterede den intervalbaserede sandsynlighed som at fange vores delvise overbevisning om usikkerhed. Da den intervalbaserede sandsynlighed ikke er Bayesian, følger det, at vi ikke har lov til at behandle delvise overbevisninger som grader af tro. I betragtning af denne modstand mellem Kyburgs syn på sandsynlighed og objektiv bayesisk opfattelse, har han forsøgt at vise, hvordan kerneideer til begge disse to synspunkter frugtbart kunne imødekommes inden for en enkelt redegørelse for videnskabelig slutning.

for at afslutte vores diskussion om bayesisk holdning, mens man husker Royalls tilskrivning af trosspørgsmålet til Bayesere, ville mange Bayesere have blandede følelser omkring denne tilskrivning. Til en vis grad kan nogle af dem betragte det som uhensigtsmæssigt enkeltindstillet. Han ville være enig i denne tilskrivning med observationen om, at dette ville gå glip af nogle af nuancerne og subtiliteterne i Bayesian-teorien. Han følger bredt de Finettis linje i at tage subjektive evalueringer af sandsynlighed. Disse evalueringer kaldes normalt ” grader af tro.”Så i den grad mener han sikkerhed, at der er en central rolle for grader af tro, da de trods alt er det, der henvises direkte til af sandsynlighedsfunktionen. Derfor, ifølge ham, tilskrivningen af trosspørgsmålet til Bayesere giver en vis mening. Han mener imidlertid, at hoveddelen af den bayesiske teori består i at identificere de begrænsninger, der skal pålægges disse for at sikre deres konsistens/sammenhæng. Hans papir har givet denne ramme for Bayesianisme. Hans Sandsynlighedsforhold konvergens sætning viser, at hvordan forskellige agenter kunne være enige i sidste ende, selvom de meget vel kunne starte med forskellige grader af tro på en teori. Både underligt og Norton, selvom de hører til modsatte lejre, for så vidt angår deres holdning til Bayesianisme, er måske enige om, at Royalls tilskrivning til Bayesere trods alt er berettiget. Med hensyn til forudsigelsesspørgsmålet, mange Bayesere, inklusive dem, der arbejder inden for rammerne af bekræftelsesteori, vil hævde, at en beretning om bekræftelse, der reagerer på trosspørgsmålet, er i stand til at håndtere forudsigelsesspørgsmålet som, for Bayesere, sidstnævnte er en underklasse af trosspørgsmålet.