Der Binomialsatz

Binomialerweiterungen mit Pascals Dreieck

Betrachten Sie die folgenden erweiterten Potenzen von (a + b)n, wobei a + b ein beliebiges Binom und n eine ganze Zahl ist. Suchen Sie nach Mustern.

Jede Erweiterung ist ein Polynom. Es gibt einige Muster zu beachten.

1. Es gibt einen Term mehr als die Potenz des Exponenten, n. Das heißt, es gibt Terme in der Erweiterung von (a + b)n.

2. In jedem Term ist die Summe der Exponenten n, die Potenz, auf die das Binom angehoben wird.

3. Die Exponenten von a beginnen mit n, der Potenz des Binoms, und sinken auf 0 ab. Der letzte Term hat keinen Faktor von a. Der erste Term hat keinen Faktor von b , daher beginnen Potenzen von b mit 0 und erhöhen sich auf n.

4. Die Koeffizienten beginnen bei 1 und steigen durch bestimmte Werte etwa „halb“ an und sinken dann durch dieselben Werte zurück auf 1.

Lassen Sie uns die Koeffizienten weiter untersuchen. Angenommen, wir möchten eine Erweiterung von (a + b) 6 finden. Die Muster, die wir gerade notiert haben, zeigen an, dass es 7 Begriffe in der Erweiterung gibt:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Wie können wir den Wert jedes Koeffizienten ci bestimmen? Wir können dies auf zwei Arten tun. Bei der ersten Methode werden die Koeffizienten wie folgt in ein dreieckiges Array geschrieben. Dies ist als Pascals Dreieck bekannt:

Es gibt viele Muster im Dreieck. Finden Sie so viele wie möglich.
Vielleicht haben Sie einen Weg gefunden, die nächste Reihe von Zahlen zu schreiben, da die Zahlen in der Zeile darüber. Es gibt immer 1’s auf der Außenseite. Jede verbleibende Zahl ist die Summe der beiden darüber liegenden Zahlen. Versuchen wir, eine Erweiterung für (a + b)6 zu finden, indem wir eine weitere Zeile mit den von uns entdeckten Mustern hinzufügen:

Wir sehen, dass in der letzten Zeile

die 1. und letzte Zahl 1 sind;
Die 2. Zahl ist 1 + 5 oder 6;
die 3. Zahl ist 5 + 10 oder 15;
die 4. Zahl ist 10 + 10 oder 20 ;
die 5. Zahl ist 10 + 5 oder 15; und
die 6. Zahl ist 5 + 1 oder 6.

Somit ist die Erweiterung für (a + b)6
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

Um eine Erweiterung für (a + b)8 zu finden, vervollständigen wir zwei weitere Zeilen des Pascalschen Dreiecks:

Somit ist die Erweiterung von
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

Wir können unsere Ergebnisse wie folgt verallgemeinern.

Der Binomialsatz mit Pascals Dreieck

Für jedes Binom a + b und jede natürliche Zahl n,
(a + b)n = c0b0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
wobei die Zahlen c0, c1, c2,…., cn-1, cn sind aus der (n + 1) -st Reihe des Pascalschen Dreiecks.

Beispiel 1 Erweitern: (u – v)5.

Lösung Wir haben (a + b)n, wobei a = u, b = -v und n = 5 . Wir verwenden die 6. Reihe des Pascalschen Dreiecks:
1 5 10 10 5 1
Dann haben wir
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.
Beachten Sie, dass die Vorzeichen der Begriffe zwischen + und – wechseln. Wenn die Potenz von -v ungerade ist, ist das Vorzeichen -.

Beispiel 2 Erweitern: (2t + 3/t)4.

Lösung Wir haben (a + b)n, wobei a = 2t, b = 3/t und n = 4 . Wir verwenden die 5. Reihe des Pascalschen Dreiecks:
1 4 6 4 1
Dann haben wir

Binomiale Erweiterung in faktorieller Notation

Angenommen, wir möchten die Erweiterung von (a + b)11 finden. Der Nachteil bei der Verwendung des Pascalschen Dreiecks besteht darin, dass wir alle vorhergehenden Zeilen des Dreiecks berechnen müssen, um die für die Erweiterung erforderliche Zeile zu erhalten. Die folgende Methode vermeidet dies. Es ermöglicht uns auch, einen bestimmten Term zu finden – sagen wir, den 8. Term – ohne alle anderen Terme der Erweiterung zu berechnen. Diese Methode ist in Kursen wie endlicher Mathematik, Analysis und Statistik nützlich und verwendet die Binomialkoeffizientennotation .
Wir können den Binomialsatz wie folgt neu formulieren.

Der Binomialsatz in faktorieller Notation

Für jedes Binom (a + b) und jede natürliche Zahl n,
.

Der Binomialsatz kann durch mathematische Induktion bewiesen werden. (Siehe Übung 63.) Dieses Formular zeigt, warum als Binomialkoeffizient bezeichnet wird.

Beispiel 3 Erweitern: (x2 – 2y)5.

Lösung Wir haben (a + b)n,wobei a = x2, b = -2y und n = 5 . Dann haben wir mit dem Binomialsatz

Schließlich (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

Beispiel 4 Erweitern: (2/x + 3√x)4.

Lösung Wir haben (a + b)n, wobei a = 2/x, b = 3√x und n = 4. Dann haben wir mit dem Binomialsatz

Schließlich (2/x + 3√x)4 = 16/x4 + 96/x5/2 + 216/ x + 216×1/2 + 81×2.

Einen bestimmten Term finden

Angenommen, wir wollen nur einen bestimmten Term einer Erweiterung bestimmen. Die von uns entwickelte Methode ermöglicht es uns, einen solchen Term zu finden, ohne alle Zeilen des Pascalschen Dreiecks oder alle vorhergehenden Koeffizienten zu berechnen.

Beachten Sie, dass im Binomialsatz uns den 1. Term gibt, gibt uns den 2. Term, gibt uns den 3. Term und so weiter. Dies kann wie folgt verallgemeinert werden.

Den (k + 1) -st-Term finden

Der (k + 1) -st-Term von (a + b)n ist .

Beispiel 5 Finde den 5. Term in der Erweiterung von (2x – 5y)6.

Lösung Zuerst stellen wir fest, dass 5 = 4 + 1. Somit ist k = 4, a = 2x, b = -5y und n = 6. Dann ist der 5. Term der Erweiterung

Beispiel 6 Finde den 8. Term in der Erweiterung von (3x – 2)10.

Lösung Zuerst stellen wir fest, dass 8 = 7 + 1. Somit ist k = 7, a = 3x, b = -2 und n = 10. Dann ist der 8. Term der Erweiterung

Gesamtzahl der Teilmengen

Angenommen, eine Menge hat n Objekte. Die Anzahl der Teilmengen, die k Elemente enthalten . Die Gesamtzahl der Teilmengen einer Menge ist die Anzahl der Teilmengen mit 0 Elementen plus die Anzahl der Teilmengen mit 1 Element plus die Anzahl der Teilmengen mit 2 Elementen usw. Die Gesamtzahl der Teilmengen einer Menge mit n Elementen beträgt
.
Betrachten Sie nun die Erweiterung von (1 + 1)n:
.
Somit ist die Gesamtzahl der Teilmengen (1 + 1)n oder 2n. Wir haben Folgendes bewiesen.

Gesamtzahl der Teilmengen

Die Gesamtzahl der Teilmengen einer Menge mit n Elementen beträgt 2n.

Beispiel 7 Die Menge {A, B, C, D, E} hat wie viele Teilmengen?

Lösung Die Menge besteht aus 5 Elementen, daher beträgt die Anzahl der Teilmengen 25 oder 32.

Beispiel 8 Wendy’s, eine nationale Restaurantkette, bietet folgende Beläge für ihre Hamburger an:
{Catsup, Senf, Mayonnaise, Tomate, Salat, Zwiebeln, Gurke, Relish, Käse}.
Wie viele verschiedene Arten von Hamburgern kann Wendy servieren, ohne Größe des Hamburgers oder Anzahl der Pasteten?

Lösung Die Beläge auf jedem Hamburger sind die Elemente einer Teilmenge der Menge aller möglichen Beläge, wobei die leere Menge ein einfacher Hamburger ist. Die Gesamtzahl der möglichen Hamburger ist

Somit serviert Wendy’s Hamburger auf 512 verschiedene Arten.