Ellipse
Eine Ellipse sieht normalerweise wie ein gequetschter Kreis aus:
„F“ ist ein Fokus, „G“ ist ein Fokus,
und zusammen werden sie Foci genannt.
(ausgesprochen „fo-Seufzer“)
Die Gesamtstrecke von F nach P nach G bleibt gleich
Mit anderen Worten, wir fahren immer die gleiche Strecke, wenn wir von:
- Punkt „F“ zu
- zu einem beliebigen punkt auf der Ellipse
- und dann weiter zu Punkt „G“
Sie können es selbst zeichnen
Legen Sie zwei Stifte in eine Platine und dann …
legen Sie eine Schleife von String um sie herum,
Legen Sie einen Bleistift in die Schleife,
Strecken Sie die Zeichenfolge so, dass sie ein Dreieck bildet,
und zeichnen Sie eine Kurve.
Es ist eine Ellipse!
Es funktioniert, weil die Zeichenfolge natürlich den gleichen Abstand von Stift zu Stift erzwingt.
Ein Kreis ist eine Ellipse
Tatsächlich ist ein Kreis eine Ellipse, bei der sich beide Brennpunkte am selben Punkt (dem Mittelpunkt) befinden.
Mit anderen Worten, ein Kreis ist ein „Sonderfall“ einer Ellipse. Ellipsen regieren!
Definition
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte auf einer Ebene, deren Abstandvon zwei festen Punkten F und G addieren sich zu einer Konstanten.
Haupt- und Nebenachse
Die Hauptachse ist der längste Durchmesser. Es geht von einer Seite der Ellipse durch die Mitte zur anderen Seite an der breitesten Stelle der Ellipse. Und die Nebenachse ist der kürzeste Durchmesser (am schmalsten Teil der Ellipse).
Die Semi-Major-Achse ist die Hälfte der Hauptachse und die Semi-Minor-Achse ist die Hälfte der Minor-Achse.
Hauptachse gleich f+ g
Erinnern Sie sich von oben, wie der Abstand „f + g“ für eine Ellipse gleich bleibt?
Nun, f+g ist gleich der Länge der Hauptachse.
Können Sie sich vorstellen, warum? (Versuchen Sie, den Punkt P oben zu verschieben.)
Berechnungen
Fläche ist einfach, Perimeter nicht!
Area
Die Fläche einer Ellipse ist:
π × a × b
wobei a die Länge der Halbachse und b die Länge der Halbachse ist.
Seien Sie vorsichtig: a und b sind von der Mitte nach außen (nicht ganz quer).
(Hinweis: Für einen Kreis sind a und b gleich dem Radius, und Sie erhalten π × r × r = nr2, was richtig ist!)
Perimeter Approximation
Seltsamerweise ist der Umfang einer Ellipse sehr schwer zu berechnen, daher habe ich eine spezielle Seite für das Thema erstellt: Lesen Sie Perimeter einer Ellipse für weitere Details.
Aber eine einfache Annäherung, die innerhalb von etwa 5% des wahren Wertes liegt (solange a nicht mehr als 3 mal länger ist als b), ist wie folgt:
Denken Sie daran, dies ist nur eine grobe Annäherung! (Deshalb ist das „Gleichheitszeichen“ schnörkellos.)
Tangente
Eine Tangente berührt nur eine Kurve an einem Punkt, ohne sie zu schneiden.Hier ist eine Tangente an eine Ellipse:
Hier ist eine coole Sache: Die Tangente hat gleiche Winkel, wobei die beiden Linien zu jedem Fokus gehen!Versuchen Sie, die beiden Fokuspunkte zusammenzubringen (die Ellipse ist also ein Kreis) … was fällt Ihnen auf?
Reflexion
Licht oder Ton, der an einem Fokuspunkt beginnt, wird zum anderen Fokuspunkt reflektiert (weil Winkel in mit Winkel aus übereinstimmt):
Spielen Sie mit einem einfachen Computermodell der Reflexion in einer Ellipse.
Exzentrizität
Die Exzentrizität ist ein Maß dafür, wie „unrund“ die Ellipse ist.
Die Formel (mit Semi-Dur- und Semi−Moll-Achse) lautet:
√(a2-b2)a
Abschnitt eines Kegels
Sie können auch eine Ellipse erhalten, wenn Sie durch einen Kegel schneiden (aber nicht zu steil eine Scheibe, oder Sie b. Parabel oder Hyperbel).
Tatsächlich ist die Ellipse ein konischer Abschnitt (ein Abschnitt eines Kegels) mit einer Exzentrizität zwischen 0 und 1.
Gleichung
Durch Platzieren einer Ellipse auf einem x-y-Graphen (mit seiner Hauptachse auf der x-Achse und der Nebenachse auf der y−Achse) lautet die Gleichung der Kurve:
x2a2 + y2b2 = 1
ähnlich wie die Gleichung der Hyperbel: x2/a2 − y2/b2 = 1, außer für ein „+“ anstelle eines „-„)
Oder wir können „parametrische Gleichungen“, wo wir eine andere Variable „t“ haben und wir berechnen x und y daraus, wie folgt:
- x = a cos(t)
- y = b sin(t)
(Stellen Sie sich vor, „t“ würde von 0 ° auf 360 ° gehen, welche x- und y-Werte würden wir bekommen?)