Angular and Linear Velocity, and RPM
Sectors, Areas, and ArcsWord ProblemsAngular, Linear Velocity
Purplemath
jostain syystä se näyttää melko yleinen oppikirjat kääntyä kysymyksiä kulmanopeus, lineaarinen nopeus, ja kierrosta minuutissa (rpm) pian sen jälkeen, kun selitetään ympyrän aloilla, niiden alueilla, ja niiden kaaren pituudet.
kaaren pituus on ympyrän ympäri kulkeva etäisyys; ja esimerkiksi polkupyörän lineaarinen matka on suhteessa pyörän renkaiden säteeseen. Jos merkkaat pyörän eturenkaaseen yhden pisteen (vaikkapa renkaan venttiiliä vastapäätä olevan kohdan) ja lasket, kuinka monta kertaa pyörä pyörii, löydät merkityn pisteen liikuttamien ympyrän kehien määrän.
sisältö jatkuu alla
MathHelp.com
Jos ”höllää” näitä kehiä saadakseen suoran, niin on löytänyt matkan, jolla pyörä kulki. Tällainen suhde eri toimenpiteiden välillä on mielestäni se, miksi tämä aihe nousee usein esiin tässä vaiheessa tutkimuksia.
ensin tarvitaan teknistä terminologiaa ja määritelmiä.
”kulmanopeus” on kääntymisen mitta aikayksikköä kohti. Se kertoo sen kulman suuruuden, jonka kautta jokin pyörii tietyssä ajassa. Jos esimerkiksi pyörä pyörii kuusikymmentä kertaa yhdessä minuutissa, sen kulmanopeus on 120π radiaania minuutissa. Silloin kulmanopeus mitataan radiaaneina sekunnissa, sen nimenä käytetään usein kreikkalaista pienaakkosta Omegaa (ω).
”lineaarinen nopeus” on matkan mitta aikayksikköä kohti. Jos esimerkiksi edellisessä esimerkissä pyörän säde on 47 senttimetriä, niin jokaisen läpimenon ympärysmitta on 94π cm eli noin 295 cm. Koska pyörä tekee kuusikymmentä näistä kierroksista yhdessä minuutissa, niin kokonaispituus on 60 × 94&pi = 5,640 π cm eli noin 177 metriä yhdessä minuutissa. (Se on noin 10,6 km / h eli noin 6,7 mph.)
”kierrosta minuutissa”, joka yleensä lyhennetään ”rpm”, on kääntymisen mitta aikayksikköä kohti, mutta aikayksikkö on aina yksi minuutti. Ja sen sijaan, että antaa kulman mitta kääntämällä, se vain antaa määrä turnings. Kun tarkastelet ajoneuvon kojelaudan kierroslukumittaria, tarkastelet ajoneuvon moottorin kierroslukua. Yllä olevassa esimerkissä rpm olisi yksinkertaisesti ”60”.
”taajuus” f on kääntymisen (tai tärinän) mitta aikayksikköä kohti, mutta aikayksikkö on aina yksi sekunti. Taajuuksien yksikkö on ”Hertsi”, joka merkitään Hertseiksi.
taajuuden f (Hz), rpm ja kulmanopeuden ω (radiaaneina) välinen suhde on osoitettu alla (kaikki yhden rivin alkuaineet ovat ekvivalentteja):
|
ω (in rad/sec) |
f (in Hz) |
rpm |
saatat kuitenkin havaita, että ”kulmanopeutta” käytetään vaihdellen (mutta vain epävirallisesti; eivät tutkijat) kierrosnopeudella tai taajuudella. Myös jotkut (kuten fyysikot) olisivat sitä mieltä, että ”kulmanopeus” on vektorisuure ja ω on skalaarisuure, jota kutsutaan ”kulmataajuudeksi”.
Affiliate
älä vaivaudu muistamaan näitä mahdollisia konflaatioita tai murehtimaan, mitä ”vektorit” tai ”skalaarit” voisivat olla. Kerron teille tästä varoittaakseni teitä, että teidän pitäisi kiinnittää hyvin tarkasti huomiota siihen, miten teidän oppikirjanne ja teidän ohjaajanne määrittelevät eri termit kyseiselle luokalle. Ja tiedä, että seuraavalla tunnilla termit ja määritelmät voivat hyvinkin olla erilaisia.
-
pyörän halkaisija on 100 senttimetriä. Jos pyörä tukee kärryä, joka liikkuu 45 kilometrin tuntivauhdilla, niin mikä on pyörän kierrosluku lähimpään kokonaiseen kierrokseen minuutissa?
”rpm” on se, kuinka monta kertaa pyörä pyörii minuutissa. Selvittääkseni, kuinka monta kertaa tämä pyörä pyörii yhdessä minuutissa, minun täytyy löytää (lineaarinen, tai suora-line) etäisyys katetaan (minuutissa), kun liikutaan 45 km / h. Sitten minun täytyy löytää kehä pyörän, ja jakaa yhteensä per minuutti (lineaarinen) etäisyys tällä ”kerran ympäri” etäisyys. Kokonaismatkan sisään mahtuvien kehien määrä on se, kuinka monta kertaa pyörä pyörii kyseisenä ajanjaksona.
ensin muunnan kärryn (lineaarisen) nopeuden kph: sta ”senttejä minuutissa” käyttäen sitä, mitä olen oppinut muunnosyksiköistä. (Miksi ”senttimetriä minuutissa”? Koska etsin ”vallankumouksia minuutissa”, joten minuutit ovat parempi aikayksikkö kuin tunnit. Myös halkaisija ilmoitetaan senttimetreinä,joten se on parempi pituusyksikkö kuin kilometrit.)
joten yhden minuutin matka on 75 000 senttimetriä. Pyörän halkaisija on 100 cm, joten säde on 50 cm ja ympärysmitta 100π cm. Kuinka moni näistä kehistä (tai pyöränkierroista) mahtuu 75 000 cm: n sisälle? Toisin sanoen, jos kuorisin tämän pyörän kulutuspinnan kärrystä ja asettaisin sen tasaiseksi, sen etäisyys olisi 100π cm. Kuinka monta näistä pituuksista mahtuu koko matka katetaan yhdessä minuutissa? Selvittääkseni, kuinka moni (tästä) mahtuu niin moneen (tuosta), minun on jaettava (tuo) (tästä), joten:
sitten pyöristämällä lähimpään kokonaiseen vallankumoukseen (eli pyöristämällä vastaus kokonaislukuun), minun vastaus on:
239 rpm
huomaa: tämä nopeus ei ole niin nopea kuin miltä saattaa näyttää: se on hieman alle neljä kierrosta sekunnissa. Sen voi tehdä pyörällä hikoilematta. Tässä toinen viesti.: Lähde, josta olin saanut kehykseni edellä mainitulle harjoitukselle, käytti ”kulmanopeutta” ja ”ω” ”kierrosten määrää minuutissa”. Algebran oppikirjassa käytettiin vääriä yksiköitä.
sisältö jatkuu alla
edellinen harjoitus antoi ajoneuvon nopeuden ja tiedot pyörästä. Tästä löysimme kierrokset minuutissa. Voimme mennä toiseen suuntaan, liian; voimme aloittaa kierrosta minuutissa (plus tietoa pyörän), ja löytää nopeus ajoneuvon.
-
polkupyörän pyörän halkaisija on 78 cm. Jos pyörä pyörii 120 kierrosta minuutissa, mikä on pyörän lineaarinen nopeus kilometreinä tunnissa? Pyöristä vastauksesi yhteen desimaaliin.
Affiliate
lineaarinen nopeus on se suoramatka, jolla pyörä liikkuu määrätyn ajan. He ovat kertoneet, kuinka monta kertaa pyörä pyörii joka minuutti. Renkaassa oleva kiinteä piste (vaikkapa renkaan kulutuspinnassa oleva kivi) liikuttaa ympärysmitan pituutta jokaisella kierroksella. Tämän etäisyyden irrottaminen maahan, pyörä liikkuu maata pitkin saman matkan, ympärysmitta kerrallaan, jokaista kierrosta kohti. Joten tämä kysymys pyytää minua löytämään kehän pituus, ja sitten käyttää tätä löytää kokonaisetäisyys katetaan minuutissa.
koska halkaisija on 78 cm, niin ympärysmitta on C = 78π cm. Kun rengas purkautuu suoraksi viivaksi maassa, pyörä liikkuu 78π cm eteenpäin jokaista renkaan kierrosta kohti. Tällaisia kierroksia on 120 minuutissa, joten:
(78π cm/rev)×(120 rev/min) = 9,360 π cm/min
nyt pitää muuttaa tämä senttimetreistä kilometreiksi tunnissa:
pyörä liikkuu noin 17,6 kilometrin tuntinopeudella.
…tai noin 11 mailia tunnissa.
Mainos
-
oleta, että Maan kiertorata on pyöreä, säde 93 000 000 mailia, ja anna ”yhden vuoden” olla 365,25 päivää. Näissä olosuhteissa, löytää lineaarinen nopeus maan mailia sekunnissa. Pyöristä vastauksesi yhteen desimaaliin.
nopeus on (lineaarinen, tai vastaava suora-line) matka kuljettu yhdessä sekunnissa, jaettuna yhdellä sekunnilla. Sain tietoja vuoden ajan, joten aloitan sieltä. Ympyrän kehä, jonka r = 93 000 000 mailia, on lineaarinen etäisyys, jonka maa kattaa yhden vuoden aikana.
Tämä on katettujen mailien määrä vuodessa, mutta tarvitsen katettujen mailien määrän vain yhdessä sekunnissa. Päivässä on kaksikymmentäneljä tuntia, tunnissa kuusikymmentä minuuttia ja minuutissa kuusikymmentä sekuntia, joten kyseisen vuoden kokonaissekuntien lukumäärä on:
silloin lineaarinen nopeus, joka on lineaarinen kokonaismatka jaettuna kokonaisajalla ja ilmaistuna yksikkönopeutena, on:
sitten yhteen desimaaliin pyöristettynä maan lineaarinen nopeus on:
18,5 mailia sekunnissa
affiliate
”hey!”Kuulen sinun itkevän. ”Milloin käytämme kulmamittoja mihinkään?”Kun taas monet (”useimmat”?) kirjasi harjoituksista on todennäköisesti samanlainen kuin edellä, saatat joskus huomata olevasi tekemisissä varsinaisten radiaanien ja asteiden kanssa.
-
juna kulkee 10 mph: n nopeudella kaarteessa, jonka säde on 3000 jalkaa. Minkä kulman kautta juna kääntyy minuutissa? Pyöreä lähimpään kokonaiseen astemäärään.
”käyrä, jonka säde on 3000 jalkaa” tarkoittaa, että jos olisin yrittänyt mahduttaa ympyrän tiukasti kaaren sisään, paras olisi ollut ympyrä, jonka säde on r = 3000 jalkaa. Toisin sanoen, voin käyttää ympyrän tosiasiat vastata tähän kysymykseen.
koska kaarteen säde on jaloissa ja koska minun on löydettävä halkaistu kulma minuutissa, aloitan muuntamalla mailia tunnissa nopeudeksi jalat sekunnissa:
junan peittämä kaarevan radan määrä on myös osa ympyrän kehästä. Joten tämä 880 jalkaa on kaaren pituus, ja nyt minun täytyy löytää (implisiittisen) ympyräsektorin subtended kulma:
mutta tämä arvo on radiaaneina (koska sitä kaaren pituuskaava käyttää), ja tarvitsen vastaukseni olevan asteissa, joten minun täytyy muuntaa:
juna kääntyy n.:
17°
Kuvittele, että seisoisit tuon kuvitteellisen ympyrän keskellä (eli kolmen tuhannen metrin päässä kaarteesta, yli puolen kilometrin päässä) ja katsoisit junan liikkuvan kaarteessa. Jos pitäisit kättäsi ojennettuna käsivarren mitalta, tekisit tiukan nyrkin ja samalla kun pitäisit keskisormia tiukasti peukalolla alaspäin, nostaisit pikkurillisi ja etusormesi, niiden välinen etäisyys olisi noin viisitoista astetta. Juna tuskin liikkuisi sen enempää. Jos pitelisit nyrkkiäsi käsivarren mitalta ja ojentaisit pikkurilliäsi ja peukaloasi, etäisyys olisi noin kaksikymmentäviisi astetta. Juna ei poistuisi sormista varatussa ajassa.
(opin joskus siisteimpiä juttuja, kun tutkin sanaongelmia. Toisaalta määritelmäni ”coolista” voi olla hieman surullinen….)
URL: https://www.purplemath.com/modules/sectors3.htm
sivu 1page 2Page 2