binomilause

Binomilaajennukset Pascalin kolmiota

tarkastelevat seuraavia laajennettuja potensseja (A + b)n, missä A + b on mikä tahansa binomi ja n on kokonaisluku. Etsi kuvioita.

jokainen laajennus on polynomi. On joitakin malleja on huomattava.

1. Eksponentin potenssia on yksi termi enemmän, n. toisin sanoen (A + b)n laajenemisessa on termejä

2. Jokaisella termillä eksponenttien summa on n, jonka potenssiin binomi nostetaan.

3. A: n eksponentit alkavat n: llä, binomin potenssilla, ja pienenevät arvoon 0. Viimeisellä kaudella ei ole A: n tekijää. ensimmäisellä kaudella ei ole B: n tekijää, joten B: n potenssit alkavat nollasta ja kasvavat n: ään

4. Kertoimet alkavat 1: stä ja kasvavat tiettyjen arvojen kautta noin ”puoli” – tavalla ja laskevat sitten näiden samojen arvojen kautta takaisin 1: een.

tutkitaan kertoimia tarkemmin. Oletetaan, että haluamme löytää laajennus (a + b)6. Juuri mainitsemamme kuviot osoittavat, että laajennuksessa on 7 termiä:
A6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
miten voidaan määrittää kunkin kertoimen arvo, ci? Voimme tehdä sen kahdella tavalla. Ensimmäisessä menetelmässä kertoimet kirjoitetaan kolmion muotoon seuraavasti. Tämä tunnetaan Pascalin kolmiona:

kolmiossa on monia kuvioita. Etsi niin monta kuin voit.
ehkä keksit tavan kirjoittaa seuraava numerorivi, kun otetaan huomioon sen yläpuolella olevan rivin numerot. Ulkopuolella on aina 1. Jokainen jäljelle jäävä luku on sen yläpuolella olevien kahden luvun summa. Yritetään löytää laajennus (a + b)6: lle lisäämällä toinen rivi käyttäen löytämiämme kuvioita:

näemme, että viimeisellä rivillä

1.ja viimeiset numerot ovat 1;
2. Numero on 1 + 5 tai 6;
3. Numero on 5 + 10 tai 15;
4. Numero on 10 + 10 tai 20;
5. Numero on 10 + 5 eli 15 ja
6. Numero on 5 + 1 eli 6.

näin laajennus (a + b)6: lle on
(a + b)6 = 1A6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1B6.

löytääksemme laajennuksen (a + b)8: lle täydennämme kaksi riviä Pascalin kolmiota:

näin laajennus on
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

voimme yleistää tuloksemme seuraavasti.

Binomilause käyttäen Pascalin kolmiota

mille tahansa binomille A + b ja mille tahansa luonnolliselle luvulle n,
(A + b)n = c0anb0 + c1an-1B1 + c2an-2B2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
missä numerot c0, c1, c2,…., cn-1, cn ovat Pascalin kolmion (n + 1)-st riviltä.

Esimerkki 1 Laajenna: (u-v) 5.

ratkaisu meillä on (a + b)n, missä a = u, b = -v ja N = 5. Käytämme Pascalin kolmion 6.riviä:
1 5 10 10 5 1
niin meillä on
(u – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.
Huomaa, että termien merkit vuorottelevat välillä + ja -. Kun potenssi-v on pariton, merkki on -.

Esimerkki 2 Expand: (2t + 3 / t)4.

ratkaisu meillä on (a + b)n, jossa A = 2t, b = 3 / t ja n = 4. Käytämme Pascalin kolmion 5. riviä:
1 4 6 4 1
sitten meillä on

Binominen laajennus käyttäen Factorial notaatiota

Oletetaan, että haluamme löytää laajenemisen (a + b)11. Haittana käyttämällä Pascalin kolmio on, että meidän on laskettava kaikki edeltävät rivit kolmion saada rivi tarvitaan laajentamiseen. Seuraava menetelmä välttää tämän. Sen avulla voimme myös löytää tietyn termin — vaikkapa 8.termin — laskematta kaikkia muita laajennuksen termejä. Menetelmä on hyödyllinen esimerkiksi äärellisessä matematiikassa, laskennassa ja tilastotieteessä, ja siinä käytetään binomikertoimen notaatiota .
Voimme toistaa binomilauseen seuraavasti.

Binomilause käyttäen Factorial notaatiota

mille tahansa binomiluvulle (A + b) ja mille tahansa luonnolliselle luvulle n,
.

binomilause voidaan todistaa matemaattisella induktiolla. (Katso kohta 63.) Tämä muoto osoittaa, miksi kutsutaan binomikertoimeksi.

esimerkki 3 Expand: (x2 – 2Y)5.

ratkaisu meillä on (a + b)n,jossa A = x2, b = -2y ja N = 5. Sitten binomilauseen avulla saadaan

lopulta (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

esimerkki 4 Laajenna: (2 / x + 3√x)4.

ratkaisu meillä on (a + b)n, jossa A = 2 / x, b = 3√x ja n = 4. Sitten binomilauseen avulla saadaan

lopulta (2/x + 3√x)4 = 16 / x4 + 96 / x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

tietyn termin löytäminen

Oletetaan, että haluamme määrittää vain tietyn laajennuksen termin. Kehittämämme menetelmän avulla voimme löytää tällaisen termin laskematta kaikkia Pascalin kolmion rivejä tai kaikkia edeltäviä kertoimia.

huomaa, että binomilauseessa antaa meille 1.termin, antaa meille 2. termin, antaa 3. termin ja niin edelleen. Tämä voidaan yleistää seuraavasti.

(k + 1)-st-termin löytäminen

(A + b) n (k + 1) – st-termin löytäminen on .

esimerkki 5 Etsi 5.termi laajennuksessa (2x – 5y)6.

ratkaisu ensin toteamme, että 5 = 4 + 1. Näin ollen K = 4, a = 2x, b = – 5y ja n = 6. Silloin laajennuksen 5. termi on

esimerkki 6 Etsi 8.termi laajennuksessa (3x – 2)10.

ratkaisu ensin toteamme, että 8 = 7 + 1. Näin ollen K = 7, a = 3x, b = -2 ja n = 10. Silloin laajennuksen 8. termi on

osajoukkojen kokonaismäärä

Oletetaan, että joukolla on n olioita. K-alkioita sisältävien osajoukkojen lukumäärä . Joukon osajoukkojen kokonaismäärä on niiden osajoukkojen lukumäärä, joissa on 0 alkiota, plus niiden osajoukkojen lukumäärä, joissa on 1 alkio, plus niiden osajoukkojen lukumäärä, joissa on 2 alkiota, ja niin edelleen. Joukon osajoukkojen kokonaismäärä, jossa on n-alkioita, on
.
harkitse nyt (1 + 1)n laajentamista:
.
näin ollen osajoukkojen kokonaismäärä on (1 + 1)n eli 2n.

osajoukkojen kokonaismäärä

joukon osajoukkojen kokonaismäärä, jossa on n-alkioita, on 2n.

esimerkki 7 joukolla {A, B, C, D, E} on kuinka monta osajoukkoa?

ratkaisu joukolla on 5 alkiota, joten osajoukkojen lukumäärä on 25 eli 32.

esimerkki 8 Wendy ’ s, kansallinen ravintolaketju, tarjoaa hampurilaisiinsa seuraavia täytteitä:
{catsup, sinappi, majoneesi, tomaatti, salaatti, sipulit, suolakurkku, relish, juusto}.
kuinka monta erilaista hampurilaista Wendy ’ s voi tarjota, pois lukien hampurilaisen koko tai pattien määrä?

ratkaisu kunkin hampurilaisen täytteet ovat kaikkien mahdollisten täytteiden joukon osajoukon osia, tyhjä joukko on tavallinen hampurilainen. Mahdollisia hampurilaisia on

näin Wendy ’ s tarjoilee hampurilaisia 512 eri tavalla.