Calculus II-sekvenssit
Näytä Mobile Notes Näytä kaikki muistiinpanot Piilota kaikki muistiinpanot
Jakso 4-1 : Sekvenssit
aloitetaan tästä osiosta keskustelulla siitä, mitä sekvenssi on. Jono ei ole muuta kuin tiettyyn järjestykseen kirjoitettu numeroluettelo. Luettelo voi tai ei voi olla ääretön määrä termejä, vaikka olemme tekemisissä yksinomaan ääretön sekvenssien tässä luokassa. Yleiset sekvenssitermit merkitään seuraavasti,
\
, koska käsittelemme äärettömiä sekvenssejä jokaista sekvenssin termiä seuraa toinen termi, kuten edellä on todettu. Kun merkintä edellä meidän täytyy olla hyvin varovainen alaindeksejä. \(N + 1\): n alaindeksi merkitsee järjestyksessä seuraavaa termiä eikä yhtäkään plus \(n^{\MBOX{th}}\) termiä! Toisin sanoen,
\
joten ole hyvin varovainen kirjoitettaessa alaindeksejä varmistaaksesi, että ”+1” ei siirry pois alaindeksistä! Tämä on helppo virhe tehdä, kun alkaa käsitellä tällaista.
jonon ilmaisemiseen on useita eri tapoja. Jokainen seuraavista ovat vastaavia tapoja ilmaista sekvenssi.
\
an: n yläpuolisessa toisessa ja kolmannessa notaatiossa käytetään yleensä kaavaa.
näistä notaatioista on nyt pari säveltä paikallaan. Ensinnäkin, huomaa ero toisen ja kolmannen huomautusten edellä. Jos lähtökohta ei ole tärkeä tai on vihjannut jollakin tavalla ongelma se ei useinkaan ole kirjoitettu niin kuin teimme kolmannessa notaatio. Seuraavaksi käytimme aloituspistettä \(N = 1\) kolmannessa notaatiossa vain, jotta voisimme kirjoittaa yhden. Ei ole mitään syytä uskoa, että jono alkaa \(n = 1\). Sarja alkaa sieltä, mistä sen pitääkin alkaa.
Katsotaanpa pari jaksoa.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}} \right\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac {{{{{\left ({- 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \right\}_{N = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), missä \({b_n} = {n^{th}} {\MBOX{ numerotunnus}} \pi \)
Näytä kaikki ratkaisut Piilota kaikki ratkaisut
saadaksesi ensimmäiset sekvenssitermit tähän meidän tarvitsee vain liittää \(n\) arvot annettuun kaavaan ja saamme sekvenssin ehto.
\
huomaa, että lopussa on merkintä”…”! Tämä on tärkeä pala merkintä, koska se on ainoa asia, joka kertoo meille, että sekvenssi jatkuu ja ei pääty viime aikavälillä.
b \(\displaystyle \left\ {{\frac {{{{\left ({- 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \right\}_{N = 0}^\infty \) Näytä ratkaisu
Tämä on samanlainen kuin ensimmäinen. Tärkein ero on, että tämä sekvenssi ei ala \(n = 1\).
\
huomaa, että tässä järjestyksessä termit vuorottelevat merkeissä. Tällaisia sekvenssejä kutsutaan joskus vuorotteleviksi sekvensseiksi.
C \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), jossa \({b_n} = {n^{th}}{\MBOX{ digit of }}\pi \) Näytä ratkaisu
tämä jono eroaa kahdesta ensimmäisestä siinä mielessä, ettei sillä ole kullekin termille tiettyä kaavaa. Se kuitenkin kertoo, mitä kunkin termin pitäisi olla. Kunkin termin tulee olla \(\pi\) n.numero. Joten tiedämme, että \(\pi = 3.14159265359 \ldots \)
sekvenssi on sitten,
\
edellisen esimerkin kahdessa ensimmäisessä osassa huomaa, että todellisuudessa käsittelimme kaavoja funktioina, joihin voi liittää vain kokonaislukuja. Tai,
\
Tämä on tärkeä ajatus sekvenssien (ja sarjojen) tutkimuksessa. Kohtelemalla sekvenssin termejä funktioarvioinneina voimme tehdä monia asioita sekvensseillä, joita emme voineet tehdä muuten. Ennen sukeltaa syvemmälle tähän ajatukseen kuitenkin meidän täytyy saada pari ideoita pois tieltä.
ensin halutaan ajatella jonon ”kuvaamista”. Jos haluat piirtää sekvenssin \(\left\ {{{a_n}} \right\}\), piirrämme pisteet \(\left( {n, {a_n}} \right)\) \(n\) vaihteluväleinä kaikille kaavion mahdollisille arvoille. Kuvaamme esimerkiksi sekvenssi \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). Kuvaajan ensimmäiset pisteet ovat,
\
kuvaaja, järjestysnumeron 30 ensimmäistä ehtoa, on sitten,
Tämä kaavio johtaa meidät tärkeään käsitykseen sekvensseistä. Huomaa, että \(n\) lisää sekvenssin termit meidän sekvenssi, tässä tapauksessa päästä lähemmäksi ja lähemmäksi nollaa. Sanomme sitten, että nolla on sekvenssin raja-arvo (tai joskus raja-arvo) ja kirjoitamme,
\
tämän notaation pitäisi näyttää tutulta. Se on sama merkintä käytimme, kun puhuimme raja funktio. Itse asiassa, jos muistat, sanoimme aiemmin, että voisimme ajatella sekvenssejä funktioina jollakin tavalla, joten tämän merkinnän ei pitäisi olla liian yllättävää.
käyttämällä ideoita, jotka kehitimme funktioiden rajoille, voimme kirjoittaa seuraavan toimivan määritelmän sekvenssien rajoille.
toimiva raja-arvon määritelmä
- sanomme, että \
Jos voimme tehdä niin lähelle \(L\) kuin haluamme kaikille riittävän suurille \(n\). Toisin sanoen \({a_n}\): n lähestymisen \(L\) arvo \(n\) lähestyy ääretöntä.
- sanomme, että \
Jos voimme tehdä kaikille riittävän suuren \(n\). Jälleen toisin sanoen \({a_n}\): n arvo suurenee ja suurenee ilman sidontaa \(n\) lähestyessä ääretöntä.
- sanomme, että \
Jos voimme tehdä niin suuren ja negatiivisen kuin haluamme kaikille riittävän suurille \(n\). Jälleen toisin sanoen \({a_n}\): n arvo on negatiivinen ja suurenee ja suurenee ilman sidontaa \(n\) lähestyessä ääretöntä.
eri sekvenssirajojen toimivat määritelmät ovat sikäli mukavia, että ne auttavat hahmottamaan, mikä raja todellisuudessa on. Aivan kuten rajat toimintojen kuitenkin, on myös tarkka määritelmä jokaiselle näistä rajoista. Annetaan ne ennen etenemistä
tarkka raja – arvon määritelmä
- sanomme, että \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) jos jokaiselle luvulle \(\varepsilon > 0\) on olemassa kokonaisluku \(n\) sellainen, että \
- me sanotaan, että \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) jos jokaiselle luvulle \(m > 0\) on olemassa kokonaisluku \(n\) sellainen, että \
- sanomme, että \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) jos jokainen luku \(m < 0\) on kokonaisluku \(N\) siten, että \
emme käytä tarkkaa määritelmää usein, mutta se näkyy silloin tällöin.
huomaa, että molemmat määritelmät kertovat, että jotta raja-arvo olisi olemassa ja sillä olisi äärellinen arvo, kaikkien sekvenssitermien on tultava lähemmäksi ja lähemmäksi tätä äärellistä arvoa \(n\) kasvaessa.
nyt kun meillä on sekvenssien rajan määritelmät pois tieltä, meillä on hieman terminologiaa, jota meidän on tarkasteltava. Jos \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) on olemassa ja on äärellinen, sanotaan, että jono on konvergentti. Jos \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) ei ole olemassa tai on ääretön, sanotaan, että jono eroaa. Huomaa, että joskus sanomme, että jono eroaa \(\infty\), jos \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty\), ja jos \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty\), sanomme joskus, että jono eroaa \( – \infty \).
totuttele termeihin ”convergent” ja ”divergent”, sillä tulemme näkemään niitä aika paljon koko tämän luvun ajan.
Joten miten löydämme sekvenssien rajat? Useimmat rajat useimpien sekvenssien voidaan löytää käyttämällä jotain seuraavista teoreemojen.
lause 1
annetaan jono \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\), jos meillä on funktio \(f\left( x \right)\) siten, että \(f\left( n \right) = {a_n}\) ja \(\mathop {\Lim }\limits_ {x \to \infty } f\left( x \right) = l\) niin \(\mathop {\\mathop {\right) = l\) lim}\limits_ {n \ to \ infty} {a_n} = l\)
tämä lause kertoo meille periaatteessa, että otamme sekvenssien rajat aivan kuten otamme funktioiden rajat. Itse asiassa, useimmissa tapauksissa emme edes todella käyttää tätä teoreemaa nimenomaan kirjoittamalla funktio. Me useammin vain käsitellä raja kuin jos se olisi raja-funktio ja ottaa raja, kuten olemme aina tehneet takaisin Calculus I, Kun olimme ottaen rajoja tehtäviä.
niin, nyt kun tiedämme, että ottaen raja-jono on lähes identtinen ottaen raja-funktio tiedämme myös, että kaikki ominaisuudet rajojen funktiot myös hallussaan.
ominaisuudet
Jos \(\left\ {{{{a_n}} \right\}\) ja \(\left\ {{{b_n}} \right\}\) ovat molemmat konvergentteja sekvenssejä,
- \(\mathop {\Lim }\limits_ {n \to \infty } \left ({{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_ {n \to \infty} {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_ {n \to \infty} {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C {a_n} = C\mathop {\Lim }\limits_ {n \to \infty} {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_ {n \to \infty } \left ({{a_n}\, {b_n}} \right) = \left ({\mathop {\lim }\limits_ {n \to \infty} {a_n}} \right)\left ({\mathop {\Lim} }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {{{{a_n}}} = \frac {{\mathop {\Lim} \limits_ {n \to \infty} {a_n}}} {{\mathop {\Lim} \limits_ {n \to \infty} {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{provided }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \Ne 0\)
- \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) edellyttäen, että \({a_n} \ge 0\)
nämä ominaisuudet voidaan todistaa yllä olevan lauseen 1 ja funktion raja-arvojen ominaisuuksien avulla näimme Calculus I tai voimme todistaa ne suoraan käyttämällä tarkkoja määritelmä raja käyttäen lähes identtiset todisteet funktion raja ominaisuuksia.
Seuraava, aivan kuten meillä oli purista lause funktion rajoja meillä on myös yksi sekvenssejä ja se on melko identtinen funktion raja-versio.
Puristuslause sekvensseille
Jos \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) kaikille \(n > n\) joillekin \(n\) ja \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = l\) sitten \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = l\).
huomaa, että tässä lauseessa ”kaikille \(n > n\) joillekin \(n\)” kertoo oikeastaan vain, että meillä on oltava \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) kaikille riittävän suuri \(n\), mutta jos se ei pidä paikkaansa muutamille ensimmäisille \(n\), jotka eivät kumoa lausetta.
kuten näemme, kaikkia sekvenssejä ei voida kirjoittaa funktioina, jotka voimme itse asiassa ottaa raja-arvon. Tämä pätee erityisesti sekvenssejä, jotka vuorottelevat merkkejä. Vaikka voimme aina kirjoittaa näitä sekvenssitermejä funktiona, emme yksinkertaisesti tiedä, miten ottaa funktion raja tuollaiseksi. Seuraava lause auttaa joitakin näistä sekvensseistä.
lause 2
Jos \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right / = 0\) niin \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
Jos \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right / = 0\) niin \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
huomaa, että jotta tämä lause pitää raja-arvon on oltava nolla, eikä se toimi jonossa, jonka raja-arvo ei ole nolla. Tämä lause on helppo todistaa, joten tehdään niin.
todistus lauseelle 2
tämän todisteen pääasia on huomata, että
\
huomaa, että
\
tällöin meillä on \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) ja niinpä puristuslauseella on oltava myös,
\
seuraava lause on hyödyllinen lause, joka antaa konvergenssin/divergenssin ja arvon (kun se on konvergentti) jonossa, joka syntyy silloin tällöin.
lause 3
jono \(\left\{ {{r^n}} \right\}_{N = 0}^\infty \) konvergoituu, jos \( – 1 < r \le 1\) ja poikkeaa kaikista muista \(r\) arvoista. Myös
\
tässä on nopea (No ei niin nopea, mutta ehdottomasti yksinkertainen) osittainen todistus tästä lauseesta.
osittainen todistus lauseelle 3
teemme tämän joukon tapauksia, vaikka viimeistä tapausta ei täysin todisteta.
tapaus 1 : \(r > 1\)
me tiedämme Laskulaskennan I perusteella, että \(\mathop {\Lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) jos \(r > 1\) Ja näin ollen lauseen 1 edellä tiedämme myös, että \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) ja näin jono eroaa if \(R > 1\).
Tapaus 2 : \(r = 1\)
tässä tapauksessa meillä on,
\
joten jono suppenee \(r = 1\) ja tässä tapauksessa sen raja on 1.
tapaus 3 : \(0 < r < 1\)
tiedämme Calculus I: stä, että \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) jos \(0 < r < 1\) ja siten edellä olevan lauseen 1 perusteella tiedämme myös, että \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {R^N} = 0\) ja näin jono suppenee, jos \(0 < r < 1\) ja tässä tapauksessa sen raja on nolla.
tapaus 4 : \(r = 0\)
tässä tapauksessa meillä on,
\
joten jono suppenee \(r = 0\) ja tässä tapauksessa sen raja on nolla.
tapaus 5 : \( – 1 < r < 0\)
ensin huomataan, että jos \( – 1 < r < 0\) sitten \(0 < \Left| r \right| < 1\) Sitten yllä olevalla tapauksella 3 meillä on,
\
lause 2 kertoo nyt, että meillä on oltava myös, \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {R^N} = 0\) ja niin jos \( – 1 < R < 0\) jono suppenee ja sen raja on 0.
tapaus 6 : \(r = – 1\)
tässä tapauksessa jono on,
\
ja toivottavasti on selvää, että \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) ei ole olemassa. Muista, että jotta tämä raja on olemassa ehtojen on lähestyttävä yhtä arvoa \(n\) kasvaa. Tässä tapauksessa ehdot kuitenkin vain vuorottelevat välillä 1 ja -1 ja niin raja ei ole olemassa.
niin, jono eroaa \(r = – 1\).
tapaus 7 : \(r < – 1\)
tässä tapauksessa emme käy täyttä todistusta läpi. Katsotaan, mitä tapahtuu, jos annamme \(r = – 2\) Esimerkiksi. Jos teemme niin, että jono tulee,
\
niin, jos \(r = – 2\) saamme jonon termejä, joiden arvot vuorottelevat merkissä ja suurenevat ja suurenevat ja niin \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) ei ole olemassa. Se ei asetu yhteen arvoon \(n\) kasvaessa eivätkä termit kaikki lähesty ääretöntä. Niin, sekvenssi eroaa \(r = – 2\).
voisimme tehdä jotain vastaavaa mille tahansa arvolle \(r\) siten, että \(R < – 1\) Ja näin järjestys eroaa \(r < – 1\).
Katsotaanpa pari esimerkkiä sekvenssien rajoista.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10N + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{{{{\BF{e}}^{2N}}}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\ {{\displaystyle \frac {{{{{\left ({- 1} \right)}^n}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\ {{{{\left ({- 1} \right)}^n} \right\}_{N = 0}^\infty \)
Näytä kaikki ratkaisut piilota kaikki ratkaisut
tässä tapauksessa meidän tarvitsee vain muistaa menetelmä, joka oli kehitetty Calculus I käsitellä rajoja järkevä toimintoja. Katso rajat äärettömyydessä, Osa I osassa Calculus I toteaa tarkistaa tämän, jos tarvitset.
tehdä raja tässä muodossa kaikki meidän tarvitsee tehdä on tekijä osoittaja ja nimittäjä suurin potenssi \(n\), peruuttaa ja sitten ottaa raja.
\
näin jono suppenee ja sen raja on \(\frac{3}{5}\).
b \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{{{{\BF{e}}^{2N}}}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Näytä ratkaisu
meidän on oltava varovaisia tämän kanssa. Meidän on käytettävä l ’ Hospitalin sääntöä. Ongelmana on, että L ’ Hospitalin sääntö toimii vain funktioissa eikä sekvensseissä. Normaalisti tämä olisi ongelma,mutta meillä lause 1 ylhäältä auttaa meitä. Määritellään
\
ja todetaan, että,
\
lause 1 sanoo, että meidän tarvitsee vain ottaa funktion raja.
\
tämän osan järjestys siis eroaa (\(\infty \)).
useimmiten teemme vain l’Hospitalin säännön sekvenssitermeille muuntamatta ensin \(x\)’ s: ksi, koska teos on identtinen riippumatta siitä, käytetäänkö \(x\) vai \(n\). Meidän pitäisi kuitenkin muistaa, että teknisesti emme voi tehdä johdannaisia käsitellessämme sekvenssitermejä.
C \(\left\{ {\displaystyle \frac {{{{{\left ({- 1} \right)}^n}} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Näytä ratkaisu
meidän on myös oltava varovaisia tämän sekvenssin kanssa. Voisimme olla kiusaus vain sanoa, että raja sekvenssin termit on nolla (ja olisimme oikeassa). Teknisesti emme kuitenkaan voi ottaa rajoja sekvensseille, joiden termit vuorottelevat signissä, koska emme osaa tehdä rajoja funktioille, joilla on sama käytös. Haluamme myös olla hyvin varovaisia, ettemme luota liikaa intuitioon näissä ongelmissa. Kuten näemme seuraavassa osassa, ja myöhemmissä osissa, intuitiomme voi johtaa meidät harhaan näissä ongelmissa, jos emme ole varovaisia.
niin, työstetään tämä kirjan mukaan. Meidän on käytettävä lause 2 tähän ongelmaan. Tähän meidän on ensin laskettava,
\
siksi, koska raja sekvenssin termien itseisarvo baareja niitä menee nolla tiedämme lause 2, että,
\
mikä tarkoittaa myös, että jono konvergoi arvoon nolla.
d \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{N = 0}^\infty \) Näytä ratkaisu
tälle lauseelle huomaa, että meidän tarvitsee vain ymmärtää, että tämä on lauseen 3 yllä oleva jono käyttäen \(r = – 1\). Niin, lause 3 Tämä jono eroaa.
nyt on annettava varoitus lauseen 2 väärinkäytöstä. Lause 2 toimii vain, jos raja on nolla. Jos jonon termien itseisarvon raja ei ole nolla, lause ei pidä. Viimeinen osa edellisen esimerkin on hyvä esimerkki tästä (ja itse asiassa tämä varoitus on koko syy, että osa on olemassa). Huomaa, että
\
ja silti, \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) ei ole edes olemassa, saati sitten yhtä kuin 1. Joten, ole varovainen käyttämällä tätä lause 2. Pitää aina muistaa, että se toimii vain, jos raja on nolla.
ennen kuin siirrymme seuraavaan osioon, meidän on annettava vielä yksi lause, jonka tarvitsemme todisteeksi tiellä.
lause 4
jaksolle \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) jos sekä \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = l\) että \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = l\), niin \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) on konvergentti ja \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = l\).
lauseen todistus 4
Let \(\varepsilon > 0\).
sitten koska \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = l\) on olemassa \({n_1} > 0\) sellainen, että jos \(n > {n_1}\) tiedämme, että,
\
samoin, koska \(\Mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = l\) on olemassa \({n_2} > 0\) sellainen,että jos \(n > {n_2}\) tiedämme, että
\
nyt let \(n = \Max \left\{ {2{n_1}, 2{n_2} + 1} \Right\}\) ja let \(n > n\). Sitten joko \({a_n} = {a_{2k}}\) joillekin \(k > {n_1}\) tai \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) joillekin \(k > {n_2}\) ja niin kummassakin tapauksessa meillä on tämä,
\
näin ollen \(\mathop {\Lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = l\) ja niin \(\Left\ {{{{a_n}} \right\}\) on konvergentti.