Karteesinen koordinaatisto

Fig. 1-Karteesinen koordinaatisto. Neljä pistettä merkitään: (2,3) vihreällä, (-3,1) punaisella, (-1,5,-2,5) sinisellä ja (0,0) alkuperä keltaisella.

matematiikassa Karteesista koordinaatistoa (tai suorakulmaista koordinaatistoa) käytetään määrittämään jokainen piste yksikäsitteisesti tasossa kahden luvun kautta, joita yleensä kutsutaan pisteen x-koordinaatistoksi ja Y-koordinaatistoksi. Koordinaattien määrittelemiseksi määritellään kaksi kohtisuoraa suoraa (x-akseli eli abscissa ja y-akseli eli ordinaatti) sekä yksikön pituus, joka on merkitty kahdella akselilla (KS.Kuva 1). Karteesisia koordinaattijärjestelmiä käytetään myös avaruudessa (jossa käytetään kolmea koordinaattia) ja korkeammissa ulottuvuuksissa.

Fig. 2-Karteesinen koordinaatisto ympyrän säde 2 centered at Origo merkitty punaisella. Ympyrän yhtälö on x2 + y2 = 4.

Karteesista koordinaatistoa käyttäen geometrisia muotoja (kuten käyriä) voidaan kuvata algebrallisilla yhtälöillä, eli yhtälöillä, jotka tyydytetään muodon päällä olevien pisteiden koordinaateilla. Esimerkiksi ympyrän säde 2 voidaan kuvata yhtälöllä x2 + y2 = 4 (ks.kuva 2).

historia

Kartesiolaiset keinot liittyvät ranskalaiseen matemaatikkoon ja filosofiin René Descartesiin (latinaksi Cartesius), joka muun muassa pyrki yhdistämään algebran ja euklidisen geometrian. Tämä työ oli vaikutusvaltainen kehittämiseen analyyttistä geometriaa, calculus, ja kartografia.

tämän järjestelmän idea kehitettiin vuonna 1637 kahdessa Descartesin kirjoituksessa. Descartes esittelee metodia koskevan Diskurssinsa toisessa osassa uuden ajatuksen, jossa määritellään pisteen tai kohteen asema jollakin pinnalla käyttäen kahta leikkausakselia mittausoppaina. Teoksessa La Géométrie hän tutkii edelleen edellä mainittuja käsitteitä.

kaksiulotteinen koordinaatisto

Fig. 3 – Neljä quadrants, Karteesinen koordinaatisto. Akselien nuolet osoittavat, että ne ulottuvat ikuisesti omiin suuntiinsa (eli äärettömästi).

Karteesinen koordinaatisto kahdessa ulottuvuudessa määritellään yleisesti kahdella toisiinsa nähden suorassa kulmassa olevalla akselilla, jotka muodostavat tason (xy-tason). Vaaka–akseli on yleensä merkitty x, ja pystyakseli on yleensä merkitty y. kolmiulotteisessa koordinaatistossa, toinen akseli, yleensä merkitty z, lisätään, joka tarjoaa kolmannen ulottuvuuden avaruuden mittaus. Akselit määritellään yleisesti toisiinsa nähden ortogonaalisiksi (kumpikin suorassa kulmassa toisiinsa nähden). (Varhaiset järjestelmät sallivat ”vinot” akselit, eli akselit, jotka eivät kohdanneet suorassa kulmassa, ja tällaisia järjestelmiä käytetään nykyään satunnaisesti, vaikkakin enimmäkseen teoreettisina harjoituksina.) Kaikki karteesisen koordinaatiston pisteet yhdessä muodostavat niin sanotun karteesisen tason. Karteesista koordinaatistoa käyttäviä yhtälöitä kutsutaan Karteesisiksi yhtälöiksi.

leikkauspistettä, jossa akselit kohtaavat, kutsutaan origoksi, joka tavallisesti merkitään O.X-ja y-akselit määrittelevät tason, jota kutsutaan xy-tasoksi.Koska kunkin akselin, valitse yksikön pituus, ja merkitse pois kunkin yksikön pitkin akselia, muodostaen grid.To määritä tietty piste kaksiulotteisessa koordinaatistossa, ilmoita ensin x-yksikkö (abscissa) ja sen jälkeen y-yksikkö (ordinaatti) muodossa (x,y), järjestettynä parina.

kirjainten valinta tulee konventiosta, jossa aakkosten loppuosaa käytetään merkitsemään tuntemattomia arvoja. Sen sijaan aakkoston alkuosaa käytettiin nimittämään tunnettuja arvoja.

Kuvassa 3 esitetään esimerkki systeemin pisteestä P käyttäen koordinaattia (3,5).

kahden akselin leikkauspisteessä syntyy neljä aluetta, joita kutsutaan kvadranteiksi, jotka merkitään roomalaisin numeroin I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) ja IV (+,−). Perinteisesti kvadrantit merkitään vastapäivään alkaen oikeasta yläkulmasta (”koillinen”). Ensimmäisessä kvadrantissa molemmat koordinaatit ovat positiivisia, toisessa kvadrantissa x-koordinaatit ovat negatiivisia ja y-koordinaatit positiivisia, kolmannessa kvadrantissa molemmat koordinaatit ovat negatiivisia ja neljännessä kvadrantissa x-koordinaatit ovat positiivisia ja y-koordinaatit negatiivisia (KS.alla oleva taulukko.)

kolmiulotteinen koordinaatisto

Fig. 4-kolmiulotteinen Karteesinen koordinaatisto, jossa y-akseli osoittaa pois tarkkailijasta.

Fig. 5-kolmiulotteinen Karteesinen koordinaatisto, jossa x-akseli osoittaa kohti havaitsija.

kolmiulotteisen karteesisen koordinaatiston avulla saadaan avaruuden kolme fysikaalista ulottuvuutta—pituus, leveys ja korkeus. Luvut 4 ja 5 osoittavat kaksi yhteistä tapaa esittää se.

systeemin määrittelevät kolme Karteesista akselia ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Relevantit koordinaatit ovat muotoa (x, y, z). Esimerkkinä kuva 4 esittää kaksi kolmiulotteisessa Karteesisessa koordinaatistossa piirrettyä pistettä: P(3,0,5) ja Q(-5,-5,7). Akselit on kuvattu” maailmankoordinaateilla ” suunnassa, jossa z-akseli osoittaa ylöspäin.

pisteen x-, y-ja z-koordinaatit voidaan ottaa myös etäisyyksinä yz-tasosta, xz-tasosta ja xy-tasosta. Kuvassa 5 esitetään pisteen P etäisyydet lentokoneista.

xy-, yz-ja xz-tasot jakavat kolmiulotteisen avaruuden kahdeksaan oktantteina tunnettuun alijakoonaisuuteen, samaan tapaan kuin 2D-avaruuden kvadrantit. Vaikka X-y-tason neljän kvadrantin merkitsemiseksi on luotu konventioita, merkitään vain kolmiulotteisen avaruuden ensimmäinen Oktantti. Se sisältää kaikki pisteet, joiden x -, y-ja z-koordinaatit ovat positiivisia.

z-koordinaattia kutsutaan myös applikaatioksi.

suunta ja kätisyys

Katso myös: oikeanpuoleinen sääntö

kahdessa ulottuvuudessa

oikeanpuoleinen sääntö.

x-akselin vahvistaminen tai valitseminen määrittää Y-akselin suunnan. Nimittäin, y-akseli on välttämättä kohtisuorassa x-akselin kautta kohta merkitty 0 x-akselin. Mutta on olemassa valinta, joka on kaksi puoli riviä, kohtisuorassa nimetä positiiviseksi ja joka negatiivinen. Jokainen näistä kahdesta vaihtoehdosta määrittää karteesisen suuntauksen (jota kutsutaan myös kätisyydeksi).

tavallista akselien orientointitapaa, jossa positiivinen x-akseli osoittaa oikealle ja positiivinen y-akseli ylöspäin (ja x-akseli on ”ensimmäinen” ja y-akseli ”toinen”-akseli) pidetään positiivisena eli vakiosuuntana, jota kutsutaan myös oikeakätiseksi orientaatioksi.

yleisesti käytetty muistisääntö positiivisen suuntautumisen määrittelyyn on oikean käden sääntö. Asettamalla hieman suljetun oikean käden tasolle peukalon osoittaessa ylöspäin sormet osoittavat X-akselilta y-akselille positiivisesti suuntautuneessa koordinaatistossa.

toinen tapa suunnata akselit on noudattaa vasemman käden sääntöä, jolloin vasen käsi asetetaan tasoon peukalon osoittaessa ylöspäin.

riippumatta akselien orientointiin käytetystä säännöstä koordinaatiston kiertäminen säilyttää orientaation. X: n ja y: n roolin vaihtaminen kääntää suunnan.

kolmessa ulottuvuudessa

Fig. 7-vasenkätinen suunta näkyy vasemmalla ja oikeakätinen oikealla.

Fig. 8-oikeakätinen Karteesinen koordinaatisto, joka osoittaa koordinaattitasot.

kun x – ja y-akselit on määritelty, ne määrittävät janan, jota pitkin z-akselin tulee olla, mutta tällä suoralla on kaksi mahdollista suuntaa. Kahta mahdollista koordinaatistoa, jotka johtavat, kutsutaan ”oikeakätisiksi” ja ”vasenkätisiksi.”Standardisuuntausta, jossa xy-taso on vaakasuora ja z-akseli osoittaa ylöspäin (ja x – ja y-akselit muodostavat XY-tasossa positiivisesti orientoidun kaksiulotteisen koordinaatiston, jos ne havaitaan xy-tason yläpuolelta) kutsutaan oikeakätiseksi tai positiiviseksi.

nimi juontuu oikeanpuoleisesta säännöstä. Jos oikean käden etusormi on suunnattu eteenpäin, keskisormi on taivutettu oikeaan kulmaan siihen nähden ja peukalo on asetettu oikeaan kulmaan molempiin nähden, kolme sormea osoittavat oikeakätisessä järjestelmässä X-, y-ja z-akselien suhteelliset suunnat. Peukalo osoittaa x-akselia, etusormi y-akselia ja keskisormi z-akselia. Vastaavasti, jos sama tehdään vasemmalla kädellä, tuloksena on vasenkätinen järjestelmä.

eri tieteenalat käyttävät erilaisia variaatioita koordinaatistoista. Esimerkiksi matemaatikot käyttävät tyypillisesti oikeakätistä koordinaatistoa, jonka y-akseli osoittaa ylöspäin, kun taas insinöörit käyttävät tyypillisesti vasenkätistä koordinaatistoa, jonka z-akseli osoittaa ylöspäin. Tämä voi johtaa sekaannukseen, kun insinöörit ja matemaatikot työskentelevät samassa projektissa.

kuva 7 on yritys kuvata vasen – ja oikeakätistä koordinaatistoa. Koska kolmiulotteinen kappale esitetään kaksiulotteisella näytöllä, tuloksena on vääristymiä ja epäselvyyksiä. Alaspäin (ja oikealle) osoittavan akselin on myös tarkoitus osoittaa havaitsijaa kohti, kun taas ”keskimmäisen” akselin on tarkoitus osoittaa poispäin havaitsijasta. Punainen ympyrä on vaakasuoran xy-tason suuntainen ja ilmaisee pyörimistä x-akselilta y-akselille (molemmissa tapauksissa). Siksi punainen nuoli kulkee Z-akselin edessä.

kuva 8 on toinen yritys kuvata oikeakätistä koordinaatistoa. Jälleen on epäselvyyttä aiheuttama projecting kolmiulotteinen koordinaatisto osaksi plane. Monet havainnoitsijat näkevät kuvion 8 kuperan kuution ja koveran kulman” kääntymisenä sisään ja ulos”.”Tämä vastaa koordinaatiston kahta mahdollista suuntausta. Seeing luku Kupera antaa vasenkätinen koordinaatisto. Näin ollen” oikea ” tapa tarkastella kuvaa 8 on kuvitella x-akselin osoittavan kohti havaitsijaa ja näkevän siten koveran kulman.

fysiikassa

yllä oleva keskustelu koskee karteesisia koordinaatistoja matematiikassa, jossa on yleistä, ettei käytetä mitään mittayksiköitä. Fysiikassa on tärkeää huomata, että dimensio on yksinkertaisesti jonkin mitta, ja että jokaiseen mitattavaan ominaisuusluokkaan voidaan lisätä toinen dimensio. Liittäminen mittojen visualisointiin estää ymmärtämästä monia eri mittoja, joita voidaan mitata (aika, massa, väri, kustannukset jne.). Moniulotteisia kappaleita voidaan laskea ja manipuloida algebrallisesti.

, joka edustaa vektoria karteesisella notaatiolla

karteesisessa koordinaatistossa olevaa avaruuden pistettä, voidaan esittää myös vektorilla, jonka voidaan ajatella osoittavan koordinaatiston origosta pisteeseen. Jos koordinaatit edustavat paikkapaikkoja (siirtymiä), on yleistä esittää vektori origosta kiinnostavaan pisteeseen muodossa r {\displaystyle \mathbf {r} } . Karteesisia koordinaatteja käyttäen origosta pisteeseen (x, y, z) {\displaystyle (x,y,z)} voidaan kirjoittaa:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} ja Z {\displaystyle z} akselit.

tätä notaatiota kutsutaan tyypillisesti Karteesiseksi notaatioksi. Yksikkövektorit i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } ja K {\displaystyle \mathbf {k} } kutsutaan koordinaatiston versoreiksi, ja ne ovat esimerkki standardipohjasta.

Lisähuomautuksia

tietokonegeometriassa Karteesinen koordinaatisto on perusta geometristen muotojen algebralliselle manipuloinnille. Descartesin jälkeen on kehitetty monia muitakin koordinaattijärjestelmiä. Yksi yleinen systeemijoukko käyttää napakoordinaatteja; tähtitieteilijät käyttävät usein pallokoordinaatteja, eräänlaista napakoordinaatistoa.

Katso myös

äyrägeometria äyrä
• viiva (matematiikka)

matematiikka

• numero

taso (matematiikka)

• Piste (geometria)
• René Descartes

muistiinpanot

• Descartes, René. 2001. Diskurssi menetelmä, Optiikka, geometria, ja meteorologia. Trans. Paul J. Olscamp. Indianapolis, julkaisussa: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• Gelʹfand, I. M., E. G. Glagoleva ja A. A. Kirillov. 1990. Koordinaattimenetelmä. Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Matematiikkaa ei-matemaatikolle. New York: Dover. ISBN 0817635335.

kaikki linkit haettu 16. tammikuuta 2017.

• Karteesinen koordinaatisto.
• tulostettavat karteesiset koordinaatit.
• karteesiset koordinaatit. PlanetMath.