The Hidden Twist to Making a Möbius Strip

in the field of symplectic geometry, a central issue involved how to could the intersection points of two complicated geometric spaces. Tämä laskukysymys on keskeisellä sijalla yhdessä alan kuuluisimmista ongelmista, Arnoldin konjektuurissa, ja kyse on myös perustekniikasta: matemaatikkojen on osattava laskea näitä laskuja voidakseen tehdä muunlaista tutkimusta.

kuten kuvailen artikkelissani ”taistelu geometrian Perustusten korjaamiseksi”, menetelmän kehittäminen näiden leikkauspisteiden laskemiseksi on ollut pitkällinen ja joskus kiistanalainen prosessi. Luotettava, laajasti ymmärretty ja virheetön lähestymistapa on tuonut haasteen monestakin syystä, alkaen yhteisen sanaston puutteesta, kun uusi ala pääsee alkuun (symplektinen geometria alkoi vasta 1990-luvulla), ongelman luonteeseen: Yksinkertaisesti sanottuna se on vaikeaa.

vaikeus piilee siinä, että hienovaraisista syistä ei ole mahdollista laskea risteyskohtia kaikkia kerralla. Sen sijaan matemaatikkojen täytyy jakaa avaruus ” paikallisiin ”alueisiin, laskea kunkin alueen leikkauspisteet ja laskea ne yhteen saadakseen” globaalin ” luvun. Paikallisten laskujen kokoaminen yhteen on osoittautunut herkemmäksi ja teknisesti vaativammaksi tehtäväksi kuin matemaatikot aluksi ymmärsivät: jos et ole varovainen siinä, miten piirrät paikalliset alueet, voit helposti jättää yhden risteyskohdan pois tai laskea toisen kahdesti.

seuraavissa kuvituksissa selvitetään tehtävän vaikeutta käyttämällä Möbiuksen nauhaa (kaksiulotteista pyöreää nauhaa, jossa on kierre). Möbiuksen kaistaleella on kaksi ympyrää, jotka kulkevat sen pinnan läpi. Kysymys kuuluu: kuinka monta kertaa nämä kaksi ympyrää leikkaavat toisensa? Kuten huomaat, vastaus näyttää olevan yksi asia, kun katsot nauhat kerralla, ja toinen, jos et ole varovainen, kun leikkaat Möbius nauhat kahteen osaan.

laskettava palapeli

matemaatikot haluavat laskea leikkauspisteitä, mutta tietyt esteet estävät heitä laskemasta kaikkia noita pisteitä suoraan. Näiden esteiden voittamiseksi ne jakavat moniston pureman kokoisiin ”paikallisiin” alueisiin, laskevat kunkin risteymät ja lisäävät ne yhteen, jotta saadaan laskettua koko monisto.

kuitenkin, jos matemaatikot eivät ole tarkkoja siitä, miten he yhdistelevät paikallisalueilta tulevia laskuja, he voivat helposti päätyä koko moniston vääriin laskuihin. Tässä yksinkertaisessa esimerkissä on ilmeistä, että paikallisten määrien yhdistäminen on herkkää.

Möbius Rip

ota Möbius-nauha. Piirrä kaksi ympyrää sen läpi. Jos tarkastellaan koko Möbiuksen liuskaa, kahden ympyrän on leikattava toisensa vähintään kerran: yksi ympyrä alkaa yläpuolelta, mutta päätyy sen alapuolelle liuskan kiertymisen vuoksi.

leikkaa nyt sama Möbiuksen nauha kahteen osaan. Viillot poistavat nauhasta kierteen. Piirrä jokaiseen kappaleeseen kaksi ympyräsegmenttiä. Ilman kierrettä ympyräsegmentit on helppo piirtää niin, että ne kulkevat rinnakkain eivätkä koskaan leikkaa toisiaan. Tämän seurauksena voisi virheellisesti päätellä, että risteysten lukumäärä koko Möbiuksen kaistalla on nolla. Symplektisen geometrian matemaatikot ovat oppineet, että ”paikallisten” kappaleiden yhteen liimaaminen ”globaalin” leikkauspistemäärän palauttamiseksi on paljon monimutkaisempi prosessi kuin he ensin kuvittelivat.