8.3:電子の軌道磁気双極子モーメント

水素原子のボーアのモデルでは、電子は陽子の周りの円軌道を移動する。 電子は特定の時間内にループ上の特定の点を通過するので、電流\(I=Q/t\)を計算することができます。 したがって、水素原子の中で陽子を周回する電子は、円形のワイヤを流れる電流に似ています（図\(\PageIndex{1}\)）。 磁性の研究では、電流を流すワイヤが磁場を生成することがわかりました。 したがって、水素原子が磁場を生成し、他の磁場と相互作用すると結論づけることは合理的である。

軌道磁気双極子モーメントは、電子の軌道角運動量によって生成される磁場の強さの尺度です。 電流ループの力とトルクから、電流ループの軌道磁気双極子モーメントの大きさは

\

ここで、\(I\)は電流、\(A\)はループの面積です。 （簡潔にするために、これを磁気モーメントと呼びます。 水素原子中の陽子を中心とする軌道上の電子に関連する電流\(I\)は

\

ここで、eは電子電荷の大きさであり、\(T\)はその軌道周期である。 電子が完全に円軌道を走行すると仮定すると、軌道周期は

\

ここで、rは軌道の半径であり、vはその軌道上の電子の速度です。 円の面積が\(\pi r^2\)であると仮定すると、絶対磁気モーメントは

\

磁気運動量μμを軌道角運動量（\(\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}\)）で表現すると便利です。 電子は円の中を公転しているので、位置ベクトル\(\vec{r}\)と運動量ベクトル\(\vec{p}\)は直角を形成する。 したがって、軌道角運動量の大きさは

\

これら二つの方程式を組み合わせると、

\

完全なベクトル形式では、この式は

\

電子が負の電荷を持 電子の磁気モーメントの方向は、図\(\PageIndex{1b}\)に示すように、軌道角運動量に対して反平行であることに注意してください。 原子のボーアモデルでは、方程式\ref{BIG}内の\(\vec{\mu}\)と\(\vec{L}\)の関係は軌道の半径とは無関係です。磁気モーメント\(λ\)は軌道角量子数\(l\)で表すこともできます。 式\ref{eq2}と式\ref{eq1}を組み合わせると、磁気モーメントの大きさは

\

磁気モーメントのz成分は

\&=-\left(\dfrac{e}{2m_e}\right)\,m\hbar\\&

\&

\&

\&

\&

\&

\iv id=”量\(\mu_b\)はボーア磁鉄鉱と呼ばれる磁性の基本単位であり、値は\(9.3\times10^{-24}\,Joule/Tesla\)(J/t)または\(5.8\times10^{-5}ev/t\)を持ちます。 磁気モーメントの量子化は、軌道角運動量の量子化の結果である。

次のセクションで見るように、水素原子の全磁気双極子モーメントは、電子の軌道運動とその固有スピンの両方によるものです。 今のところ、我々は電子スピンの効果を無視します。例：軌道磁気双極子モーメント

（a）s状態、（b）p状態、および（c）d状態の水素原子中の電子の軌道双極子磁気モーメントσの大きさは何ですか？ （電子のスピンがゼロであると仮定する。

戦略

電子の磁気運動量は、その軌道角運動量Lに関連している水素原子のために、この量は、軌道角量子数lに関連している。）を量子数に変換する。p>

溶液

磁気モーメントの大きさは、式\ref{eq5}で与えられる：

\&=\左（\dfrac{e}{2m_e}\右）\、\sqrt{l（l+1）}\hbar\nonumber\\&=\左（\dfrac{e}{2m_e}\右）\、\sqrt{l（l+1）}\hbar\nonumber\\&=\MU_b\SQRT{L（L+1）}。 sの状態については、\(l=0\)なので、\(\mu=0\)と\(\mu_z=0\)があります。pの状態のために、\(l=0\)と我々は\(m\)を持っています。

= (-1, 0, 1)\) したがって、d状態の場合、\(l=2\)となり、\(m\)が得られます。= (-2, -1, 0, 1, 2)\) S状態では、軌道角運動量はなく、したがって磁気モーメントはありません。 これは、電子が静止していることを意味するものではなく、電子の全体的な動きが磁場を生成しないことだけを意味する。 P状態では、電子はこの磁気モーメントのz成分に対して三つの可能な値を持つ磁気モーメントを有する;これは、磁気モーメントが三つの異なる極方向を指すことができることを意味する-それぞれが軌道角運動量ベクトルに反平行である。 D状態では、電子はこの磁気モーメントのz成分に対して五つの可能な値を持つ磁気モーメントを有する。 この場合、磁気モーメントは5つの異なる極方向を指すことができます。水素原子は磁場を持っているので、水素原子は2つの棒磁石の間のプッシュとプルのような外部磁場と相互作用することを期待しています。

水素原子は磁場を持っているので、水素原子は2つの棒磁石の間のプッシュとプルのような外部磁場と相互作用します。 電流ループ上の力とトルクから、電流ループが外部磁場\(\vec{B}\)と相互作用するとき、

\

で与えられるトルクを経験することがわかります。Iは電流、\(\vec{a}\)はループの面積、\(\vec{\mu}\)は磁気モーメント、\(\vec{B}\)は外部磁場です。 このトルクは、水素原子の磁気モーメントベクトルを回転させて外部磁場に整列させるように作用する。 機械的な仕事は水素原子上の外部磁場によって行われるので、原子内のエネルギー変換について話すことができます。 この磁気相互作用に関連する水素原子の電位エネルギーは、式\ref{eq30}によって与えられる：

\

磁気モーメントが外部磁場と反平行である場合、電位エネル したがって、水素原子の磁気モーメントベクトルを外部磁場の方向に回転させるために行われる作業は、ポテンシャルエネルギーの低下と関連している。 しかし、ポテンシャルエネルギーの低下が放射線（光子の放出）を生成するため、システムのエネルギーは保存されます。 これらのエネルギー遷移は、磁気モーメントが特定の方向のみを指すことができるため、量子化されます。

外部磁場が正のz方向を指す場合、軌道磁気双極子モーメントに関連するポテンシャルエネルギーは

\

ここで、\(\mu_b\)はボーアマグネトンであり、mは角運動量投影量子数（または磁気軌道量子数）であり、

\

例えば、\(l=1\)電子状態では、電子の総エネルギーは三つの異なるエネルギー準位に分割される。\(u=-\mu_b b,0,\mu_b b\)に対応する。

外部磁場によるエネルギー準位の分裂は、ゼーマン効果と呼ばれています。 電子スピンの影響を無視して、\(l=1\)状態から一般的な低エネルギー状態への遷移は、3つの間隔の近いスペクトル線を生成します（図\(\PageIndex{2}\)、左の列）。 同様に、\(l=2\)状態からの遷移は、5つの間隔の近いスペクトル線（右の列）を生成します。 これらの線の分離は、外部磁場の強さに比例する。 この効果には多くの用途があります。 例えば、太陽の水素スペクトルにおける線の分裂は、太陽の磁場の強さを決定するために使用される。 このような磁場測定の多くは、マグネトグラムと呼ばれる太陽の表面での磁気活動の地図を作成するために使用することができます（図\(\PageIndex{3}\)）。

投稿者と属性

Samuel J. Ling（トルーマン州立大学）、Jeff Sanny（Loyola Marymount大学）、Bill Moebsと多くの寄稿者がいます。 この作品は、クリエイティブ*コモンズ表示ライセンス（4.0によって）の下でOpenStax大学物理学によってライセンスされています。

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