8.3: Orbitales magnetisches Dipolmoment des Elektrons

Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Erklären Sie, warum das Wasserstoffatom magnetische Eigenschaften hat
  • Erklären Sie, warum die Energieniveaus eines Wasserstoffatoms, die mit dem orbitalen Drehimpuls verbunden sind, durch ein externes Magnetfeld geteilt werden
  • Verwenden Sie Quantenzahlen, um die Größe und Richtung des orbitalen magnetischen Dipolmoments eines Wasserstoffatoms zu berechnen

In Bohrs Modell des Wasserstoffatoms bewegt sich das Elektron in einer kreisförmigen Umlaufbahn um das Proton. Das Elektron passiert in einer bestimmten Zeit einen bestimmten Punkt auf der Schleife, sodass wir einen Strom \(I = Q / t \) berechnen können. Ein Elektron, das ein Proton in einem Wasserstoffatom umkreist, ist daher analog zum Strom, der durch einen kreisförmigen Draht fließt (Abbildung \(\pageIndex{1}\)). Bei der Untersuchung des Magnetismus haben wir gesehen, dass ein stromführender Draht Magnetfelder erzeugt. Es ist daher vernünftig zu schließen, dass das Wasserstoffatom ein Magnetfeld erzeugt und mit anderen Magnetfeldern interagiert.

Abbildung (a) zeigt eine stromführende Schleife. In der Schleife zirkuliert der Strom I von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn. In der Mitte der Schleife ist ein nach oben zeigender Vektor mu dargestellt. Abbildung (b) zeigt das Wasserstoffatom als Elektron, das als kleine Kugel dargestellt und mit minus e bezeichnet ist und von oben gesehen eine kreisförmige Umlaufbahn gegen den Uhrzeigersinn bildet. Eine Kugel, ein Vektor mu, der nach unten zeigt, und ein Vektor L, der nach oben zeigt, sind in der Mitte der Umlaufbahn gezeigt.
Abbildung \(\pageIndex{1}\): (a) Strom, der durch einen kreisförmigen Draht fließt, ist analog zu (b) einem Elektron, das ein Proton in einem Wasserstoffatom umkreist.

Das orbitale magnetische Dipolmoment ist ein Maß für die Stärke des Magnetfeldes, das durch den orbitalen Drehimpuls eines Elektrons erzeugt wird. Aus Kraft und Drehmoment auf einer Stromschleife ergibt sich die Größe des orbitalen magnetischen Dipolmoments für eine Stromschleife

\

wobei \(I\) der Strom und \ (A\) ist die Fläche der Schleife. (Der Kürze halber bezeichnen wir dies als das magnetische Moment.) Der Strom \(I\), der mit einem Elektron in einer Umlaufbahn um ein Proton in einem Wasserstoffatom verbunden ist, ist

\

wobei e die Größe der Elektronenladung und \(T\) ist seine Umlaufzeit. Wenn wir annehmen, dass sich das Elektron in einer perfekt kreisförmigen Umlaufbahn bewegt, ist die Umlaufzeit

\

wobei r der Radius der Umlaufbahn und v die Geschwindigkeit des Elektrons in seiner Umlaufbahn ist. Da die Fläche eines Kreises \(\pi r^2\) ist, ist das absolute magnetische Moment

\

Es ist hilfreich, den magnetischen Impuls μμ in Bezug auf den Orbitaldrehimpuls auszudrücken (\(\vec{L} = \vec{r} \mal \vec{p}\)). Da das Elektron in einem Kreis kreist, bilden der Positionsvektor \(\vec{r}\) und der Impulsvektor \(\vec{p}\) einen rechten Winkel. Somit ist die Größe des Orbitaldrehimpulses

\

Wenn wir diese beiden Gleichungen kombinieren, haben wir

\

In voller Vektorform wird dieser Ausdruck geschrieben als

\

Das negative Vorzeichen erscheint, weil das Elektron eine negative Ladung hat. Beachten Sie, dass die Richtung des magnetischen Moments des Elektrons antiparallel zum Orbitaldrehimpuls ist, wie in Abbildung \ (\pageIndex {1b} \) gezeigt. Im Bohr-Modell des Atoms ist die Beziehung zwischen \ (\vec {\mu}\) und \ (\vec {L}\) in der Gleichung \ref {BIG} unabhängig vom Radius der Umlaufbahn.

Das magnetische Moment \(μ\) kann auch als orbitale Winkelquantenzahl \(l\) ausgedrückt werden. Wenn man Gleichung \ref{eq2} und Gleichung \ref{eq1} kombiniert, ist die Größe des magnetischen Moments

\

Die z-Komponente des magnetischen Moments ist

\ &= – \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, m \hbar \\ &= – \mu_B m. \label{eq6} \end{align}\]

Die Größe \(\mu_B\) ist eine fundamentale Einheit des Magnetismus, das Bohr-Magneton, das den Wert \(9,3 \ mal 10 ^{-24} \, Joule / Tesla\) (J/ T) oder \(5,8 \ mal 10 ^{-5} eV/ T\) hat. Die Quantisierung des magnetischen Moments ist das Ergebnis der Quantisierung des Orbitaldrehimpulses.

Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, ist das gesamte magnetische Dipolmoment des Wasserstoffatoms sowohl auf die Orbitalbewegung des Elektrons als auch auf seinen intrinsischen Spin zurückzuführen. Im Moment ignorieren wir den Effekt des Elektronenspins.

Beispiel \(\pageIndex{1}\): Orbitales magnetisches Dipolmoment

Wie groß ist das orbitale magnetische Dipolmoment μ eines Elektrons im Wasserstoffatom im (a) s-Zustand, (b) p-Zustand und (c) d-Zustand? (Angenommen, der Spin des Elektrons ist Null.)

Strategie

Der magnetische Impuls des Elektrons hängt mit seinem Orbitaldrehimpuls L zusammen. Für das Wasserstoffatom bezieht sich diese Größe auf die Orbitalwinkelquantenzahl l. Die Zustände sind in spektroskopischer Notation angegeben, die einen Buchstaben (s, p, d usw.) in Beziehung setzt.) zu einer Quantenzahl.

Lösung

Die Größe des magnetischen Moments ist in der Gleichung \ref{eq5} angegeben:

\ &= \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, \sqrt{l(l + 1)} \hbar \nonumber \\ &= \mu_B\sqrt{l(l + 1)}. \end{align}\]

  1. Für den s-Zustand \(l = 0\) haben wir also \(\mu = 0\) und \(\mu_z = 0\).
  2. Für den p-Zustand, \(l = 0\) und wir haben \ \ wo \(m = (-1, 0, 1)\) also \
  3. Für den d-Zustand \(l = 2\) und wir erhalten \ \ where \(m = (-2, -1, 0, 1, 2)\) also \

\

Im s-Zustand gibt es keinen orbitalen Drehimpuls und daher kein magnetisches Moment. Dies bedeutet nicht, dass das Elektron in Ruhe ist, nur dass die Gesamtbewegung des Elektrons kein Magnetfeld erzeugt. Im p-Zustand hat das Elektron ein magnetisches Moment mit drei möglichen Werten für die z-Komponente dieses magnetischen Moments; Dies bedeutet, dass das magnetische Moment in drei verschiedene Polarrichtungen zeigen kann — jeweils antiparallel zum orbitalen Drehimpulsvektor. Im d-Zustand hat das Elektron ein magnetisches Moment mit fünf möglichen Werten für die z-Komponente dieses magnetischen Moments. In diesem Fall kann das magnetische Moment in fünf verschiedene Polarrichtungen zeigen.

Ein Wasserstoffatom hat ein Magnetfeld, daher erwarten wir, dass das Wasserstoffatom mit einem externen Magnetfeld interagiert — wie dem Drücken und Ziehen zwischen zwei Stabmagneten. Aus Kraft und Drehmoment einer Stromschleife wissen wir, dass eine Stromschleife, wenn sie mit einem externen Magnetfeld \(\vec{B}\) interagiert, ein Drehmoment erfährt, das durch

\

gegeben ist, wobei I der Strom ist, \ (\vec{A}\) ist die Fläche der Schleife, \ (\vec{\mu}\) ist das magnetische Moment und \(\vec{B}\) ist das externe Magnetfeld. Dieses Drehmoment wirkt, um den magnetischen Momentvektor des Wasserstoffatoms zu drehen, um sich an das externe Magnetfeld anzupassen. Da mechanische Arbeit durch das äußere Magnetfeld am Wasserstoffatom geleistet wird, können wir über Energieumwandlungen im Atom sprechen. Die potentielle Energie des Wasserstoffatoms, die mit dieser magnetischen Wechselwirkung verbunden ist, ist durch die Gleichung \ref{eq30} gegeben:

\

Wenn das magnetische Moment antiparallel zum äußeren Magnetfeld ist, ist die potentielle Energie groß, aber wenn das magnetische Moment parallel zum Feld ist, ist die potentielle Energie klein. Arbeiten am Wasserstoffatom, um den magnetischen Momentvektor des Atoms in Richtung des äußeren Magnetfelds zu drehen, sind daher mit einem Abfall der potentiellen Energie verbunden. Die Energie des Systems bleibt jedoch erhalten, da ein Abfall der potentiellen Energie Strahlung erzeugt (die Emission eines Photons). Diese Energieübergänge werden quantisiert, weil das magnetische Moment nur in bestimmte Richtungen zeigen kann.

Wenn das externe Magnetfeld in die positive z-Richtung zeigt, ist die potentielle Energie, die mit dem orbitalen magnetischen Dipolmoment verbunden ist,

\

wobei \(\mu_B\) das Bohr-Magneton und m die Drehimpulsprojektionsquantenzahl (oder magnetische Orbitalquantenzahl) ist, die die Werte

\

hatZum Beispiel wird im \(l = 1\) Elektronenzustand die Gesamtenergie des Elektrons in drei verschiedene Teile aufgeteilt Energieniveaus entsprechend \(U = -\mu_B B, 0, \mu_B B\).

Die Abbildung zeigt die Wirkung des Magnetfeldes B sub ext auf zwei verschiedene Spektrallinien, die dem Übergang von l = 1 nach l = 0 links und dem Übergang von l= 2 nach l= 0 rechts entsprechen. Die Spektren sind für kein externes Feld, für ein externes Feld ungleich Null und für ein großes externes Feld dargestellt. Ohne externes Feld erscheinen beide Übergänge als einzelne Linien. Im zweiten Fall, wenn ein Magnetfeld angelegt wird, teilen sich die Spektrallinien in mehrere Linien; Die Linie auf der linken Seite teilt sich in drei Linien. Die Linie rechts teilt sich in fünf. Im dritten Fall ist das Magnetfeld groß. Die linke Linie ist wieder in drei Linien und die rechte in fünf Linien aufgeteilt, aber die geteilten Linien sind weiter voneinander entfernt als wenn das externe Magnetfeld nicht so stark ist.
Abbildung \(\pageIndex{2}\): Der Zeeman-Effekt bezieht sich auf die Aufspaltung von Spektrallinien durch ein externes Magnetfeld. In der linken Spalte erfolgt die Energieaufteilung aufgrund von Übergängen vom Zustand (\(n = 2, \, l = 1\)) in einen niedrigeren Energiezustand; in der rechten Spalte erfolgt die Energieteilung aufgrund von Übergängen vom Zustand (\(n = 2, \, l = 2\)) in einen Zustand mit niedrigerer Energie. Der Abstand dieser Linien ist proportional zur Stärke des äußeren Magnetfeldes.

Die Aufspaltung von Energieniveaus durch ein externes Magnetfeld wird als Zeeman-Effekt bezeichnet. Ignoriert man die Auswirkungen des Elektronenspins, erzeugen Übergänge vom Zustand \(l = 1\) zu einem gemeinsamen Zustand mit niedrigerer Energie drei eng beieinander liegende Spektrallinien (Abbildung \(\pageIndex {2}\), linke Spalte). Ebenso erzeugen Übergänge aus dem Zustand \ (l = 2\) fünf eng beabstandete Spektrallinien (rechte Spalte). Der Abstand dieser Linien ist proportional zur Stärke des äußeren Magnetfeldes. Dieser Effekt hat viele Anwendungen. Zum Beispiel wird die Aufspaltung von Linien im Wasserstoffspektrum der Sonne verwendet, um die Stärke des Sonnenmagnetfeldes zu bestimmen. Viele solcher Magnetfeldmessungen können verwendet werden, um eine Karte der magnetischen Aktivität an der Sonnenoberfläche zu erstellen, die als Magnetogramm bezeichnet wird (Abbildung \(\pageIndex {3}\)).

Ein Magnetogramm der Sonne, das als graue Scheibe vor schwarzem Hintergrund mit weißen und schwarzen Flecken erscheint. Die meisten Punkte sind in der Mitte rechts im Bild konzentriert.
Abbildung \(\pageIndex{3}\): Ein Magnetogramm der Sonne. Die hellen und dunklen Flecken zeigen eine signifikante magnetische Aktivität an der Sonnenoberfläche.

Mitwirkende und Zuschreibungen

Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University) und Bill Moebs mit vielen beitragenden Autoren. Dieses Werk ist lizenziert von OpenStax University Physics unter einer Creative Commons Attribution License (by 4.0).



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