Kalkül I – Ableitungen hyperbolischer Funktionen

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Abschnitt 3-8 : Ableitungen hyperbolischer Funktionen

Die letzten Funktionen, die wir in diesem Kapitel betrachten werden, sind die hyperbolischen Funktionen. In vielen physikalischen Situationen treten Kombinationen von \({{\bf{e}}^x}\) und \({{\bf{e}}^{ – x}}\) ziemlich häufig auf. Aus diesem Grund erhalten diese Kombinationen Namen. Es gibt sechs hyperbolische Funktionen, die wie folgt definiert sind.

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Hier sind die Graphen der drei wichtigsten hyperbolischen Funktionen.

Graph von \(y=\cosh \left( x \right)\). Es sieht vage aus wie eine sich nach oben öffnende Parabel mit Scheitelpunkt bei (0,1).Graph von \(y=\sinh \left( x \right)\). Es sieht vage aus wie ein Aufwärtstrend wie der Graph von \(y = x ^ {3}\), der im dritten Quadranten beginnt und durch den Ursprung zunimmt (wo er kurz abflacht) und dann im ersten Quadranten weiter zunimmt.
Graph von \(y=\tanh \links( x \rechts)\). Der Graph beginnt links bei der horizontalen Asymptote bei \(y= -1\) und nimmt durch (0,0) zu und nähert sich dann einer anderen horizontalen Asymptote bei \(y= 1\).

Wir haben auch die folgenden Fakten über die hyperbolischen Funktionen.

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Sie werden feststellen, dass diese ähnlich sind, aber nicht ganz gleich, um einige der häufigsten Trig Identitäten so vorsichtig sein, nicht zu verwechseln die Identitäten hier mit denen der Standard-Trig-Funktionen.

Da die hyperbolischen Funktionen als Exponentialfunktionen definiert sind, ist es ziemlich einfach, ihre Ableitungen zu finden, vorausgesetzt, Sie haben bereits den nächsten Abschnitt durchgelesen. Wir haben jedoch nicht, also brauchen wir die folgende Formel, die leicht bewiesen werden kann, nachdem wir den nächsten Abschnitt behandelt haben.

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Mit dieser Formel machen wir die Ableitung für den hyperbolischen Sinus und überlassen Ihnen den Rest als Übung.

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Im Übrigen können wir entweder die Definition der hyperbolischen Funktion und / oder die Quotientenregel verwenden. Hier sind alle sechs Derivate.

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Hier sind ein paar schnelle Ableitungen mit hyperbolischen Funktionen.

Beispiel 1 Unterscheiden Sie jede der folgenden Funktionen.

  1. \(f\left( x \right) = 2{x^5}\cosh x\)
  2. \(\displaystyle h\left( t \right) = \frac{{\sinh t}}{{t + 1}}\)
Lösung anzeigen

a

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b

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