Kartesisches Koordinatensystem

Abb. 1 – Kartesisches Koordinatensystem. Vier Punkte sind markiert: (2,3) in grün, (-3,1) in rot, (-1,5,-2,5) in blau und (0,0), der Ursprung, in gelb.

In der Mathematik wird das kartesische Koordinatensystem (oder Rechteckkoordinatensystem) verwendet, um jeden Punkt eindeutig in einer Ebene durch zwei Zahlen zu bestimmen, die normalerweise als x-Koordinate und y-Koordinate bezeichnet werden des Punktes. Um die Koordinaten zu definieren, werden zwei senkrecht gerichtete Linien (die x-Achse oder Abszisse und die y-Achse oder Ordinate) sowie die Längeneinheit angegeben, die auf den beiden Achsen markiert ist (siehe Abbildung 1). Kartesische Koordinatensysteme werden auch im Raum (wo drei Koordinaten verwendet werden) und in höheren Dimensionen verwendet.

Abb. 2 – Kartesisches Koordinatensystem mit dem Kreis des Radius 2 zentriert am rot markierten Ursprung. Die Gleichung des Kreises ist x2 + y2 = 4.

Unter Verwendung des kartesischen Koordinatensystems können geometrische Formen (wie Kurven) durch algebraische Gleichungen beschrieben werden, nämlich Gleichungen, die durch die Koordinaten der auf der Form liegenden Punkte erfüllt sind. Beispielsweise kann ein Kreis mit dem Radius 2 durch die Gleichung x2 + y2 = 4 beschrieben werden (siehe Abbildung 2).

Geschichte

Kartesisch bezieht sich auf den französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes (lateinisch: Cartesius), der unter anderem an der Verschmelzung von Algebra und euklidischer Geometrie arbeitete. Diese Arbeit war einflussreich in der Entwicklung der analytischen Geometrie, Kalkül und Kartographie.

Die Idee dieses Systems wurde 1637 in zwei Schriften von Descartes entwickelt. Im zweiten Teil seines Diskurses über die Methode stellt Descartes die neue Idee vor, die Position eines Punktes oder Objekts auf einer Oberfläche zu spezifizieren, wobei zwei sich schneidende Achsen als Messführungen verwendet werden. In La Géométrie untersucht er die oben genannten Konzepte weiter.

Zweidimensionales Koordinatensystem

Abb. 3 – Die vier Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems. Die Pfeile auf den Achsen zeigen an, dass sie sich für immer in ihre jeweiligen Richtungen erstrecken (d. H. unendlich).

Ein kartesisches Koordinatensystem in zwei Dimensionen wird üblicherweise durch zwei rechtwinklig zueinander stehende Achsen definiert, die eine Ebene (eine xy-Ebene) bilden. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird eine andere Achse, die normalerweise mit z bezeichnet ist, hinzugefügt, wodurch eine dritte Dimension der Raummessung bereitgestellt wird. Die Achsen sind allgemein als zueinander orthogonal zueinander definiert (jeweils im rechten Winkel zueinander). (Frühe Systeme erlaubten „schräge“ Achsen, dh Achsen, die sich nicht im rechten Winkel trafen, und solche Systeme werden heute gelegentlich verwendet, wenn auch meist als theoretische Übungen.) Alle Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem bilden zusammen eine sogenannte kartesische Ebene. Gleichungen, die das kartesische Koordinatensystem verwenden, werden als kartesische Gleichungen bezeichnet.

Der Schnittpunkt, an dem sich die Achsen treffen, wird als Ursprung bezeichnet, der normalerweise mit O bezeichnet wird.Die x- und y-Achse definieren eine Ebene, die als xy-Ebene bezeichnet wird.Wählen Sie für jede Achse eine Längeneinheit und markieren Sie jede Einheit entlang der Achse grid.To geben Sie einen bestimmten Punkt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem an, geben Sie zuerst die x-Einheit (Abszisse) an, gefolgt von der y-Einheit (Ordinate) in der Form (x, y), einem geordneten Paar.

Die Wahl der Buchstaben ergibt sich aus einer Konvention, den letzten Teil des Alphabets zu verwenden, um unbekannte Werte anzuzeigen. Im Gegensatz dazu wurde der erste Teil des Alphabets verwendet, um bekannte Werte zu bezeichnen.

Ein Beispiel für einen Punkt P auf dem System ist in Abbildung 3 unter Verwendung der Koordinate (3,5) angegeben.

Der Schnittpunkt der beiden Achsen erzeugt vier Regionen, Quadranten genannt, die durch die römischen Ziffern I (+,+), II (−,+), III (−,−) und IV (+,−) angezeigt werden. Herkömmlicherweise werden die Quadranten gegen den Uhrzeigersinn beginnend mit dem oberen rechten („nordöstlichen“) Quadranten gekennzeichnet. Im ersten Quadranten sind beide Koordinaten positiv, im zweiten Quadranten sind x-Koordinaten negativ und y-Koordinaten positiv, im dritten Quadranten sind beide Koordinaten negativ und im vierten Quadranten sind x-Koordinaten positiv und y-Koordinaten negativ (siehe Tabelle unten.)

Dreidimensionales Koordinatensystem

Abb. 4 – Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit y-Achse, die vom Beobachter weg zeigt.

Abb. 5 – Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit der x-Achse in Richtung des Beobachters.

Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem liefert die drei physikalischen Dimensionen des Raumes — Länge, Breite und Höhe. Die Abbildungen 4 und 5 zeigen zwei gängige Darstellungsweisen.

Die drei kartesischen Achsen, die das System definieren, stehen senkrecht zueinander. Die relevanten Koordinaten haben die Form (x, y, z). Als Beispiel zeigt Abbildung 4 zwei Punkte in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem: P (3,0,5) und Q (-5, -5,7). Die Achsen werden in einer Ausrichtung „Weltkoordinaten“ dargestellt, wobei die Z-Achse nach oben zeigt.

Die x-, y- und z-Koordinaten eines Punktes können auch als Abstände von der yz-Ebene, der xz-Ebene bzw. der xy-Ebene genommen werden. Abbildung 5 zeigt die Abstände des Punktes P von den Ebenen.Die xy-, yz- und xz-Ebenen unterteilen den dreidimensionalen Raum in acht Unterteilungen, die als Oktanten bekannt sind, ähnlich den Quadranten des 2D-Raums. Während Konventionen für die Beschriftung der vier Quadranten der x-y-Ebene festgelegt wurden, wird nur der erste Oktant des dreidimensionalen Raums beschriftet. Es enthält alle Punkte, deren x-, y- und z-Koordinaten positiv sind.

Die Z-Koordinate wird auch applicate genannt.

Orientierung und Händigkeit

siehe auch: Rechtsregel

In zwei Dimensionen

Die Rechtsregel.

Das Festlegen oder Auswählen der x-Achse bestimmt die Y-Achse bis zur Richtung. Die y-Achse ist nämlich notwendigerweise die Senkrechte zur x-Achse durch den auf der x-Achse mit 0 gekennzeichneten Punkt. Es besteht jedoch die Wahl, welche der beiden halben Linien auf der Senkrechten als positiv und welche als negativ bezeichnet werden soll. Jede dieser beiden Optionen bestimmt eine andere Ausrichtung (auch Händigkeit genannt) der kartesischen Ebene.

Die übliche Art, die Achsen auszurichten, wobei die positive x-Achse nach rechts und die positive y-Achse nach oben zeigt (und die x-Achse die „erste“ und die y-Achse die „zweite“ Achse ist), wird als positive oder Standardausrichtung angesehen, die auch als rechtshändige Ausrichtung bezeichnet wird.

Eine häufig verwendete Mnemonik zur Definition der positiven Orientierung ist die Regel der rechten Hand. Wenn Sie eine etwas geschlossene rechte Hand mit dem Daumen nach oben in die Ebene legen, zeigen die Finger in einem positiv ausgerichteten Koordinatensystem von der x-Achse zur y-Achse.

Die andere Möglichkeit, die Achsen auszurichten, besteht darin, der linken Handregel zu folgen und die linke Hand mit dem Daumen nach oben in die Ebene zu legen.

Unabhängig von der Regel, die zum Ausrichten der Achsen verwendet wird, behält das Drehen des Koordinatensystems die Ausrichtung bei. Wenn Sie die Rolle von x und y wechseln, wird die Ausrichtung umgekehrt.

In drei Dimensionen

Abb. 7 – Die linkshändige Ausrichtung wird links und die rechtshändige rechts angezeigt.

Abb. 8 – Das rechtshändige kartesische Koordinatensystem, das die Koordinatenebenen angibt.

Sobald die x- und y-Achse angegeben sind, bestimmen sie die Linie, entlang der die z-Achse liegen soll, aber es gibt zwei mögliche Richtungen auf dieser Linie. Die beiden möglichen Koordinatensysteme, die sich ergeben, werden als „Rechtshänder“ und „Linkshänder“ bezeichnet.“ Die Standardausrichtung, bei der die xy-Ebene horizontal ist und die z-Achse nach oben zeigt (und die x- und die y-Achse ein positiv ausgerichtetes zweidimensionales Koordinatensystem in der xy-Ebene bilden, wenn sie von oben betrachtet wird) Die xy-Ebene) wird als rechtshändig oder positiv bezeichnet.

Der Name leitet sich von der rechten Regel ab. Wenn der Zeigefinger der rechten Hand nach vorne zeigt, der Mittelfinger im rechten Winkel nach innen gebogen ist und der Daumen im rechten Winkel zu beiden steht, geben die drei Finger die relativen Richtungen der x-, y- und z-Achsen in einem rechtshändigen System an. Der Daumen bezeichnet die x-Achse, der Zeigefinger die y-Achse und der Mittelfinger die z-Achse. Umgekehrt, wenn das gleiche mit der linken Hand gemacht wird, ergibt sich ein linkshändiges System.

Verschiedene Disziplinen verwenden unterschiedliche Variationen der Koordinatensysteme. Beispielsweise verwenden Mathematiker normalerweise ein rechtshändiges Koordinatensystem mit der y-Achse nach oben, während Ingenieure normalerweise ein linkshändiges Koordinatensystem mit der z-Achse nach oben verwenden. Dies kann zu Verwirrung führen, wenn Ingenieure und Mathematiker an demselben Projekt arbeiten.

Abbildung 7 ist ein Versuch, ein links- und ein rechtshändiges Koordinatensystem darzustellen. Da ein dreidimensionales Objekt auf dem zweidimensionalen Bildschirm dargestellt wird, ergeben sich Verzerrungen und Mehrdeutigkeiten. Die Achse, die nach unten (und nach rechts) zeigt, soll auch auf den Beobachter zeigen, während die „mittlere“ Achse vom Beobachter weg zeigen soll. Der rote Kreis ist parallel zur horizontalen xy-Ebene und zeigt die Drehung von der x-Achse zur y-Achse an (in beiden Fällen). Daher verläuft der rote Pfeil vor der Z-Achse.

Abbildung 8 ist ein weiterer Versuch, ein rechtshändiges Koordinatensystem darzustellen. Auch hier gibt es eine Mehrdeutigkeit, die durch die Projektion des dreidimensionalen Koordinatensystems in die Ebene verursacht wird. Viele Beobachter sehen Abbildung 8 als „Ein- und Ausklappen“ zwischen einem konvexen Würfel und einer konkaven „Ecke“.“ Dies entspricht den beiden möglichen Ausrichtungen des Koordinatensystems. Wenn Sie die Figur als konvex betrachten, erhalten Sie ein linkshändiges Koordinatensystem. Daher besteht die „richtige“ Ansicht von Abbildung 8 darin, sich vorzustellen, dass die x-Achse auf den Beobachter zeigt und somit eine konkave Ecke sieht.

In der Physik

Die obige Diskussion gilt für kartesische Koordinatensysteme in der Mathematik, wo es üblich ist, keine Maßeinheiten zu verwenden. In der Physik ist es wichtig zu beachten, dass eine Dimension einfach ein Maß für etwas ist und dass für jede zu messende Klasse von Merkmalen eine andere Dimension hinzugefügt werden kann. Das Festhalten an der Visualisierung der Dimensionen schließt das Verständnis der vielen verschiedenen Dimensionen aus, die gemessen werden können (Zeit, Masse, Farbe, Kosten usw.). Mehrdimensionale Objekte können algebraisch berechnet und manipuliert werden.

Darstellung eines Vektors in kartesischer Schreibweise

Ein Punkt im Raum in einem kartesischen Koordinatensystem kann auch durch einen Vektor dargestellt werden, der als Pfeil betrachtet werden kann, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt zeigt. Wenn die Koordinaten räumliche Positionen (Verschiebungen) darstellen, ist es üblich, den Vektor vom Ursprung zum interessierenden Punkt als r {\displaystyle \mathbf {r} } darzustellen. Mit kartesischen Koordinaten kann der Vektor vom Ursprung zum Punkt ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} wie folgt geschrieben werden:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} und z {\displaystyle z} Achsen.

Diese Notation wird typischerweise als kartesische Notation bezeichnet. Die Einheitsvektoren i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } und k {\displaystyle \mathbf{k} } werden die Verse des Koordinatensystems genannt und stellen ein Beispiel für die Standardbasis dar.

Weitere Hinweise

In der Computergeometrie ist das kartesische Koordinatensystem die Grundlage für die algebraische Manipulation geometrischer Formen. Viele andere Koordinatensysteme wurden seit Descartes entwickelt. Ein gemeinsamer Satz von Systemen verwendet Polarkoordinaten; Astronomen verwenden häufig sphärische Koordinaten, eine Art Polarkoordinatensystem.

Siehe auch

• Kurve
• Geometrie
• Graph
• Linie (Mathematik)
• Mathematik
• Zahl
• Ebene (Mathematik)
• Punkt (Geometrie)
• René Descartes

Notizen

• Descartes, René. 2001. Diskurs über Methode, Optik, Geometrie und Meteorologie. Transeuropäischen. In: Paul J. Olscamp. Indianapolis, IN: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• GelʹFand, I. M., E. G. Glagolewa und A. A. Kirillow. 1990. Die Methode der Koordinaten. In: Birkhauser. ISBN 0817635335.Kline, Morris. 1985. Mathematik für den Nichtmathematiker. In: New York: Dover. ISBN 0817635335.

Alle Links abgerufen am 16.Januar 2017.

• Kartesisches Koordinatensystem.
• Druckbare kartesische Koordinaten.
• Kartesische Koordinaten. PlanetMath.