Svak Lov Av Stort Antall

2.3 Bayesiansk statistikk paradigme

Det er generelt avtalt av sine tilhengere og kritikere likt At Bayesianism5 i dag er den dominerende syn i vitenskapsfilosofi. Noen statistikere har gått videre, formodning år siden At Bayesiansk statistikk vil være den dominerende statistikken for det tjueførste århundre. Hvorvidt dette kravet kan underbygges, er utenfor omfanget av denne introduksjonen. Det Er imidlertid ubestridelig At Det Bayesianske paradigmet har spilt en sentral rolle i slike disipliner som filosofi, statistikk, datavitenskap og til og med rettsvitenskap.Bayesierne er delt inn i subjektive og objektive kategorier. Ifølge Alle Bayesians må en agents tro tilfredsstille reglene for sannsynlighetskalkulatoren. Ellers, i samsvar med det kjente» nederlandske Bok » – argumentet, er agentens grad av tro usammenhengende. Subjektive Bayesiere tar denne (probabilistiske) sammenhengen til å være både en nødvendig og en tilstrekkelig betingelse for rasjonaliteten til en agents tro, og deretter (typisk) hevder at troen til rasjonelle agenter vil konvergere over tid. Poenget med vitenskapelig slutning, og kilden til dens «objektivitet», er å garantere sammenheng og sikre konvergens. Objektive Bayesiere, derimot, insisterer vanligvis på at selv om koherensbetingelsen er nødvendig, er den ikke også tilstrekkelig for den type objektivitet som vitenskapelige metoder er ment å gjøre mulig.

Paul Weirichs papir i dette volumet fokuserer primært på subjektiv sannsynlighet. Weirich har utviklet En Bayesiansk beslutningsteoretisk tilnærming der han vurderer hvordan en agents tro kan revideres i lys av data. Sannsynligheter representerer en agents grad av tro. Weirich vurderer flere anklager mot Bayesians. Ifølge en innvending han har vurdert, Tillater Bayesianismen en agents grader av tro å være noe så lenge de tilfredsstiller sannsynlighetskalkulatoren. Weirich tar innvendingen til å antyde At Bayesianske subjektive sannsynligheter må representere en agents idiosynkratiske tro. Han har imidlertid avvist bayesianismens tillatelse til fordel for Sin Versjon Av Bayesianismen. Begrepet betinget sannsynlighet som betingelsesprinsippet hviler på, er sentralt for ham. Ifølge dette prinsippet bør en agent oppdatere sin grad av tro på en hypotese (H) i lys av data (D) i samsvar med betingelsesprinsippet, som sier at hennes grad av tro på H etter at dataene er kjent, er gitt av den betingede sannsynligheten P(H|D) = P(h&D)/P(D), forutsatt At P(D) ikke er null. Weirich vurderer også anklager mot bruken av betingelsesprinsippet. Til slutt sammenligner Han Bayesiansk statistisk beslutningsteori med klassisk statistikk, og avslutter sitt papir med en evaluering av sistnevnte.Et sentralt forskningsområde i vitenskapsfilosofien er Bayesiansk bekreftelsesteori. James Hawthorne tar Bayesiansk bekreftelsesteori for å gi en logikk for hvordan bevis skiller mellom konkurrerende hypoteser eller teorier. Han hevder at Det er misvisende å identifisere Bayesiansk bekreftelsesteori med den subjektive kontoen for sannsynlighet. Snarere vil enhver konto som representerer i hvilken grad en hypotese støttes av bevis som en betinget sannsynlighet for hypotesen på beviset, hvor sannsynlighetsfunksjonen som er involvert tilfredsstiller de vanlige probabilistiske aksiomene, være En Bayesiansk bekreftelsesteori, uavhengig av tolkningen av begrepet sannsynlighet den benytter. For På en slik konto Vil Bayes ‘ teorem uttrykke hvordan hvilke hypoteser sier om bevis (via sannsynligheten) påvirker i hvilken grad hypoteser støttes av bevis (via bakre sannsynligheter). Hawthorne hevder at den vanlige subjektive tolkningen av den probabilistiske bekreftelsesfunksjonen er sterkt utfordret av utvidede versjoner av problemet med gamle bevis. Han viser at på vanlig subjektivistisk tolkning selv triviell informasjon en agent kan lære om et bevis krav kan helt undergrave objektivitet av sannsynlighetene. Således, i den grad sannsynligheten skal være objektiv (eller intersubjektivt avtalt), kan bekreftelsesfunksjonen ikke bære den vanlige subjektivistiske lesningen. Hawthorne tar tidligere sannsynligheter for å stole på plausibilitetsvurderinger, men hevder at slike vurderinger ikke bare er subjektive, og At Bayesiansk bekreftelsesteori ikke er sterkt handikappet av den slags subjektivitet som er involvert i slike vurderinger. Han baserer sistnevnte påstand på et kraftig Bayesiansk konvergensresultat, som han kaller sannsynlighetsforholdet konvergensteorem. Denne teorien er bare avhengig av sannsynlighet, ikke på tidligere sannsynligheter; og det er en svak lov med store tall som gir eksplisitte grenser på konvergenshastigheten. Det viser at når bevis øker, blir det svært sannsynlig at bevisutfallene vil være slik at sannsynlighetsprosentene kommer til å sterkt favorisere en sann hypotese over hver beviselig skillebar konkurrent. Dermed vil to bekreftelsesfunksjoner (ansatt av forskjellige agenter) som er enige om sannsynlighet, men varierer på tidligere sannsynligheter for hypoteser (forutsatt at prioren for den sanne hypotesen ikke er for nær 0), ha en tendens til å produsere sannsynlighetsforhold som gir bakre sannsynligheter til å konvergere mot 0 for falske hypoteser og mot 1 for det sanne alternativet.6

John D. Norton søker å gi en motvekt til den nå dominerende oppfatningen at Bayesiansk bekreftelsesteori har lyktes i å finne den universelle logikken som styrer bevis og dens induktive betydning i vitenskapen. Han tillater At Bayesians har gode grunner til optimisme. Hvor mange andre har mislyktes, lykkes deres system med å spesifisere en presis kalkulator, forklare de induktive prinsippene i andre kontoer og kombinere dem til en enkelt konsistent teori. Imidlertid oppfordrer han, sin dominans oppsto bare nylig i århundrene Bayesiansk teoretisering og kan ikke vare gitt utholdenhet av problemene den står overfor.Mange av problemene Norton identifiserer For Bayesiansk bekreftelsesteori handler om teknikaliteter som våre lesere kan finne mer eller mindre bekymrende. I hans syn, den mest alvorlige utfordringen stammer Fra Bayesian aspirasjon for å gi en fullstendig redegjørelse for induktiv slutning som sporer vår induktiv resonnement tilbake til en innledende, nøytral tilstand, før inkorporering av noen bevis. Det som beseirer denne aspirasjonen, ifølge Norton, er priors velkjente, gjenstridige problem, fortalt i to former i sitt kapittel. I en form er problemet at den bakre P (H|d & B), som uttrykker den induktive støtten til data D For hypotese H i forbindelse Med bakgrunnsinformasjon B, er fullstendig løst av de to «tidligere» sannsynlighetene, P(H&D|B) og P(D|B). Hvis man er subjektivist og mener at de tidligere sannsynlighetene kan velges ved innfall, kun underlagt aksiomene til sannsynlighetskalkulatoren, kan Den bakre P(H|D&B) ifølge Norton aldri bli frigjort av disse lurene. Eller hvis man er en objektivist og mener at det bare kan være en riktig prior i hver bestemt situasjon, så, som forklart i sitt kapittel, utelukker additiviteten til et sannsynlighetsmål at man tildeler virkelig » informationless priors.»Det er til det bedre, Ifølge Norton, siden en virkelig informasjonsløs prior ville tildele samme verdi til alle betingede proposisjoner i algebraen. Den funksjonelle avhengigheten av en posterior på priors ville da tvinge alle ikke-trivielle posteriors til en enkelt, informasjonsløs verdi. Derfor Kan En Bayesiansk konto være ikke-triviell, Hevder Norton, bare hvis Den begynner med en rik tidligere sannsynlighetsfordeling hvis induktivt innhold er gitt av andre, ikke-Bayesianske midler.

Tre papirer i volumet undersøker muligheten For At Bayesiansk konto kan vises som en form for logikk. Colin Howson hevder At Bayesianismen er en form for deduktiv slutningslogikk, Mens Roberto Festa og Jan-Willem Romeijn hevder At Bayesiansk teori kan kastes i form av induktiv slutning. For å undersøke Om Bayesian konto kan betraktes som en form for deduktiv slutning, Howson ser kort på de siste tre hundre år med vitenskapelig slutning og deretter fokuserer på hvorfor han mener At Bayesiansk slutning bør betraktes som en form for ren logikk slutning. Tatt i betraktning debatten om hvorvidt sannsynlighets slutning kan betraktes som logikk konsistens eller sammenheng, diskuterer han De Finetti teori om sannsynlighet der De Finetti tok teorien om sannsynlighet for å si noe om verden, men tar det som en » logikk usikkerhet. En motiverende grunn til å vurdere Hvorfor Bayesiansk slutning bør tas som en logikk av ren logikk er å merke seg hans uenighet Med Kyburgs skille mellom uttrykket «konsistens» for å være aktuelt for et system som ikke inneholder to inkonsekvente overbevisninger og uttrykket «sammenheng» for å være aktuelt for grader av tro. For Howson er analogien med deduktiv logikk mellom sistnevnte pålegger konsistensbegrensninger på sannhetsevalueringer og reglene for sannsynlighetsteorien som pålegger begrensninger i grad av tro. Resten av hans papir er viet til å utvikle Og tolke Bayesiansk slutning som en form for ren logikk av slutning.Både Festa og Romeijn beklager at statistikk og induktiv slutning i det siste århundret har utviklet seg og blomstret mer eller mindre uavhengig av hverandre, uten klare tegn på symbiose. Festa zoomer Inn På Bayesiansk statistikk og Carnaps teori om induktive sannsynligheter, og viser at til tross for deres forskjellige konseptuelle baser, er metodene som er utarbeidet i sistnevnte, i det vesentlige identiske med de som brukes i det tidligere. Han hevder at noen begreper og metoder for induktiv logikk kan brukes i rasjonell rekonstruksjon av flere statistiske forestillinger og prosedyrer. Ifølge ham foreslår induktiv logikk noen nye metoder som kan brukes til ulike typer statistisk inferens som involverer analoge hensyn. Til Slutt viser Festa hvordan En Bayesiansk versjon av sannhetstilnærming kan utvikles og integreres i et statistisk rammeverk.7

Romeijn undersøker også forholdet mellom statistikk og induktiv logikk. Selv om induktiv logikk og statistikk har utviklet seg separat, Mener Romeijn, som Festa, at det er på tide å utforske sammenhengen mellom de to. I sin artikkel undersøker han om det er mulig å representere ulike former for statistisk slutning når det gjelder induktiv logikk. Romeijn vurderer tre sentrale ideer i statistikk for å smi koblingen. De er (I) Neyman-Pearson hypotesetesting (NPTH), (ii) maksimal sannsynlighet estimering, og (iii) Bayesiansk statistikk. Romeijn viser, ved hjelp av Både Carnapian og Bayesian induktiv logikk, at den siste av to av disse ideene (dvs. bayesiansk statistikk) kan representeres naturlig i form av en ikke-ampliativ induktiv logikk. I den siste delen av kapitlet er NPTH forbundet Med Bayesiansk induktiv logikk ved hjelp av intervallbaserte sannsynligheter over de statistiske hypotesene.Som det er subjektive Bayesiere, så er det objektive Bayesiere. José Bernardo er en av dem. Siden Mange filosofer ikke er generelt klar Over Bernardos arbeid, vil vi bruke en relativt lengre diskusjon om Det. Bernardo skriver at «t har blitt standard praksis,…, å beskrive som «objektiv» noen statistisk analyse som bare avhenger av modellen antatt. I denne presise forstand (og bare i denne forstand) er referanseanalyse en metode for å produsere «objektiv» Bayesiansk slutning .

For Bernardo skal referanseanalysen han har tatt til orde for å fremme sin objektive Bayesianisme forstås ut fra en parametrisk modell av formen M≡{p(x|w),x∈X,w ∈ ω}, som beskriver forholdene under hvilke data er generert. Her antas dataene x å bestå av en observasjon av den tilfeldige prosessen x ∈ X med sannsynlighetsfordeling P (x/ w) for noen w ∈ ω. En parametrisk modell er en forekomst av en statistisk modell. Bernardo definerer θ = θ (w) ∈ θ For å være en del av interessen. Alle legitime Bayesiansk inferens om verdien av θ er fanget i sin bakre fordeling P(θ|x)∝∫ΛP(x|θ λ)P(θ λ)dλ, forutsatt at disse slutninger er gjort under et antatt modell. Her er λ noen vektor av generasjonsparametere og blir ofte referert Til Som» modell » P (x / λ).tiltrekningen av denne typen objektivisme er dens vekt på «referanseanalyse», som ved hjelp av statistiske verktøy har gjort ytterligere fremskritt i å snu temaet objektivitet til en respektabel statistisk skole innen Bayesianismen. Som Bernardo skriver, «eferensanalyse kan beskrives som en metode for å utlede modellbaserte, ikke-subjektive posteriorer, basert på informasjonsteoretiske ideer, og ment å beskrive det inferensielle innholdet i dataene for vitenskapelig kommunikasjon» . Her ved» slutningsinnholdet i dataene «mener han at den førstnevnte gir» grunnlaget for en metode for å utlede ikke-subjektive posteriorer » (Ibid). Bernardos objektive Bayesianisme består av følgende påstander.Først mener han at agentens bakgrunnsinformasjon skal hjelpe etterforskeren til å bygge en statistisk modell, og dermed til slutt påvirke hvilken tidligere sistnevnte skal tildele modellen. Derfor, Selv Om Bernardo kan godkjenne å komme til en unik sannsynlighetsverdi som et mål, krever Han ikke at vi trenger å ha den unike sannsynlighetsoppdraget i alle problemer til rådighet. Han skriver: «han analytiker er ment å ha en unik(ofte subjektiv) før p (w), uavhengig av utformingen av forsøket, men det vitenskapelige samfunnet vil antagelig være interessert i å sammenligne den tilsvarende analytikerens personlige posterior med referansen (konsensus) posterior knyttet til publisert eksperimentell design.” . For Det Andre, for Bernardo, er statistisk slutning ikke noe annet enn et tilfelle av å bestemme mellom ulike modeller / teorier, hvor beslutningen blant annet inkluderer nytten av å handle på antagelsen om at modellen / teorien er empirisk tilstrekkelig. Her kan nytten av å handle på empirisk tilstrekkelighet av den aktuelle modellen / teorien innebære noe tapsfunksjon . I sitt kapittel for dette bindet har han utviklet sin versjon av objektiv Bayesianisme og har adressert flere anklager reist mot sin konto.I deres felles kapittel har Gregory Wheeler og Jon Williamson kombinert objektiv Bayesianisme med Kyburgs evidensielle sannsynlighetsteori. Denne posisjonen Til Bayesianisme eller Enhver Form For Bayesianisme synes å være i strid Med Kyburgs tilnærming til statistisk slutning som hviler på hans bevismessige sannsynlighetsteori. Vi vil vurdere Kyburgs eneste argument mot Bayesianismen. Kyburg mener at vi ikke bør betrakte delvis tro som «grader av tro» fordi (strenge) Bayesians (som Savage) er knyttet til antagelsen om en unik sannsynlighet for et forslag. Han diskuterte intervallbasert sannsynlighet som å fange vår delvise tro på usikkerhet. Siden intervallbasert sannsynlighet ikke Er Bayesiansk, følger det at vi ikke har lov til å behandle delvis tro som grader av tro. Gitt denne motstanden Mellom Kyburgs syn på sannsynlighet og objektiv Bayesiansk syn, Har Wheeler og Williamson forsøkt å vise hvordan kjerneideer av begge disse to synspunktene kunne bli fruktbart innkvartert innenfor en enkelt konto av vitenskapelig slutning.for å avslutte vår diskusjon om Bayesiansk posisjon mens Du husker Royalls tilskrivelse av trosspørsmålet Til Bayesians, ville Mange Bayesiere ha blandede følelser om denne tilskrivelsen. Til en viss grad noen av dem kan vurdere det å være feilaktig enkel-minded. Howson ville være enig med denne attribusjonen med observasjonen at dette ville savne noen av nyanser og subtiliteter Av Bayesiansk teori. Han følger stort sett De Finettis linje i å ta subjektive vurderinger av sannsynlighet. Disse evalueringene kalles vanligvis » grader av tro.»Så i den grad mener han vissheten om at det er en sentral rolle for grader av tro, siden de tross alt er det som refereres til direkte av sannsynlighetsfunksjonen. Derfor, ifølge Ham, er tilskrivelsen av trosspørsmålet Til Bayesians noe fornuftig. Imidlertid mener han at hoveddelen Av Bayesiansk teori består i å identifisere de begrensninger som bør pålegges disse for å sikre deres konsistens / sammenheng. Hans papir har gitt det rammeverket for Bayesianismen. Hawthorne kan delvis være uenig med Royall siden Hans Sannsynlighetsforhold Konvergensteorem viser at hvordan ulike agenter kunne være enige til slutt, selv om de godt kunne starte med varierende grad av tro på en teori. Både Weirich Og Norton, selv om De tilhører motstridende leirer i den grad deres holdning til Bayesianismen er bekymret, kan være enige om At Royalls tilskrivning Til Bayesians er tross alt berettiget. Med hensyn til prediksjonsspørsmålet, vil Mange Bayesiere, inkludert De som jobber innenfor rammen av bekreftelsesteori, hevde at en redegjørelse for bekreftelse som svarer til trosspørsmålet, er i stand til å håndtere prediksjonsspørsmålet, da For Bayesiere er sistnevnte en underklasse av trosspørsmålet.