Calculus II-sequenties
Toon mobiele kennisgeving toon alle notities Verberg alle notities
sectie 4-1 : Sequenties
laten we beginnen met een discussie over wat een sequentie is. Een reeks is niets meer dan een lijst van getallen geschreven in een specifieke volgorde. De lijst kan wel of niet een oneindig aantal termen bevatten, hoewel we uitsluitend te maken zullen hebben met oneindige reeksen in deze klasse. Algemene sequentietermen worden als volgt aangeduid,
\
omdat we te maken zullen hebben met oneindige sequenties zal elke term in de sequentietermen worden gevolgd door een andere term zoals hierboven vermeld. In de notatie hierboven moeten we heel voorzichtig zijn met de subscripten. Het subscript van \(n + 1\) geeft de volgende term in de reeks aan en niet één plus de \(n^{\mbox{th}}\) term! Met andere woorden,
\
wees dus heel voorzichtig bij het schrijven van subscripten om ervoor te zorgen dat de “+1” niet uit het subscript migreert! Dit is een gemakkelijke fout om te maken wanneer je voor het eerst beginnen met het omgaan met dit soort dingen.
er zijn verschillende manieren om een reeks aan te duiden. Elk van de volgende zijn gelijkwaardige manieren om een sequentie aan te duiden.
\
in de tweede en derde notaties boven an wordt meestal gegeven door een formule.
een paar noten zijn nu in orde over deze notaties. Ten eerste, let op het verschil tussen de tweede en derde notaties hierboven. Als het uitgangspunt niet belangrijk is of op de een of andere manier wordt geïmpliceerd door het probleem wordt het vaak niet opgeschreven zoals we deden in de derde notatie. Vervolgens gebruikten we een beginpunt van \(n = 1\) in de derde notatie alleen zodat we er een konden opschrijven. Er is absoluut geen reden om aan te nemen dat een rij begint bij \(n = 1\). Een reeks begint waar het moet beginnen.
laten we een paar sequenties bekijken.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), waar \({b_n} = {n^{ste}}{\mbox{ cijfer van }}\pi \)
Toon Alle Oplossingen Verbergen Alle Oplossingen
Voor de eerste paar reeks voorwaarden hier alles wat we moeten doen is de stekker in de waarden van \(n\) in de formule is gegeven en we krijgen de volgorde gebruiksvoorwaarden.
\
noteer de “…” aan het einde! Dit is een belangrijk stuk notatie omdat het het enige is dat ons vertelt dat de volgorde doorgaat en niet eindigt op de laatste termijn.
b \(\displaystyle \ left \ { {\frac {{{{\left ({- 1} \ right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \ right\}_{n = 0}^ \ infty \) Toon oplossing
deze is vergelijkbaar met de eerste. Het belangrijkste verschil is dat deze rij niet begint bij \(n = 1\).
\
merk op dat de termen in deze reeks elkaar afwisselen in tekens. Dergelijke sequenties worden soms afwisselende sequenties genoemd.
c \(\left\ { {{{b_n}} \ right\}_{n = 1}^ \ infty \), waarbij \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi\) oplossing
tonen deze reeks verschilt van de eerste twee in die zin dat er geen specifieke formule voor elke term is. Maar het vertelt ons wel wat elke term zou moeten zijn. Elke term moet het n-de cijfer van \(\pi\) zijn. Dus we weten dat \(\pi = 3.14159265359 \ldots \)
De reeks is dan,
\
in de eerste twee delen van het vorige voorbeeld merk op dat we de formules echt behandelden als functies die alleen gehele getallen erin kunnen hebben aangesloten. Of,
\
Dit is een belangrijk idee in de studie van sequenties (en series). Het behandelen van de sequentietermen als functie-evaluaties zal ons in staat stellen om veel dingen te doen met sequenties die we anders niet zouden kunnen doen. Voordat we verder ingaan op dit idee moeten we echter nog een paar ideeën uit de weg.
eerst willen we nadenken over het “grafieken” van een reeks. Om een grafiek te maken van de reeks \(\left\{ {{a_n}} \ right\}\) plotten we de punten \(\left( {n,{a_n}} \right)\) als \(n\) bereik over alle mogelijke waarden op een grafiek. Laten we bijvoorbeeld een grafiek maken van de reeks \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}} \right\}_{n = 1}^\infty \). De eerste paar punten op de grafiek zijn,
\
de grafiek, voor de eerste 30 termen van de reeks, is dan,
is gelabeld, deze grafiek leidt ons naar een belangrijk idee over sequenties. Merk op dat naarmate \(n\) de rijtermen in onze Rij verhoogt, in dit geval steeds dichter bij nul komen. We zeggen dan dat nul de limiet is (of soms de Limietwaarde) van de reeks en schrijven,
\
deze notatie moet u bekend voorkomen. Het is dezelfde notatie die we gebruikten toen we spraken over de limiet van een functie. In feite, als je je herinnert, zeiden we eerder dat we sequenties op een bepaalde manier als functies konden zien en dus zou deze notatie niet al te verrassend moeten zijn.
met behulp van de ideeën die we ontwikkelden voor limieten van functies kunnen we de volgende werkdefinitie voor limieten van sequenties opschrijven.
werkdefinitie van Limiet
- we zeggen dat \
als we een zo dicht bij \(L\) kunnen maken als we willen voor alle voldoende grote \(n\). Met andere woorden, de waarde van de \({a_n}\)’s benadering \(L\) als \(n\) oneindig nadert.
- we zeggen dat \
als we een zo groot als we willen kunnen maken voor alle voldoende groot \(n\). Nogmaals, met andere woorden, de waarde van de \({a_n}\)’s wordt groter en groter zonder gebonden als \(n\) oneindig nadert.
- we zeggen dat \
als we een zo groot en negatief kunnen maken als we willen voor alle voldoende groot \(n\). Nogmaals, met andere woorden, de waarde van de \({a_n}\)’s zijn negatief en worden groter en groter zonder gebonden als \(n\) oneindig nadert.
De werkdefinities van de verschillende sequentiegrenzen zijn mooi in die zin dat ze ons helpen om te visualiseren wat de limiet eigenlijk is. Net als bij limieten van functies is er echter ook een precieze definitie voor elk van deze limieten. Laten we die voordat u verder gaat
een Nauwkeurige Definitie van Limiet
- We zeggen dat \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) als voor elk nummer \(\varepsilon > 0\) er is een geheel getal \(N\) zodanig dat \
- We zeggen dat \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) als voor elk nummer \(M > 0\) er is een geheel getal \(N\) zodanig dat \
- We zeggen dat \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = – \infty \) als voor elk nummer \(M < 0\) er is een geheel getal \(N\) zodanig dat \
we de precieze definitie niet vaak zullen gebruiken, maar het zal af en toe verschijnen.
merk op dat beide definities ons vertellen dat om een limiet te laten bestaan en een eindige waarde te hebben alle sequentietermen steeds dichter bij die eindige waarde moeten komen als \(n\) toeneemt.
nu we de definities van de limiet van sequenties uit de weg hebben hebben we een beetje terminologie die we moeten bekijken. Als \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) bestaat en eindig is zeggen we dat de reeks convergent is. Als \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \ infty } {a_n}\) niet bestaat of oneindig is zeggen we dat de reeks divergeert. Merk op dat we soms zeggen dat de reeks afwijkt naar \(\infty\) als \(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = \ infty\) en als \(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty } {a_n} = – \ infty\) we soms zeggen dat de reeks afwijkt naar \(- \infty\).
wen aan de termen “convergent “en” divergent ” zoals we ze heel wat zullen zien in dit hoofdstuk.
dus hoe vinden we de grenzen van sequenties? De meeste grenzen van de meeste opeenvolgingen kunnen worden gevonden gebruikend één van de volgende stellingen.
Stelling 1
Gezien de opeenvolging \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) als we een functie \f\left( x \right)\) zodanig dat \f\left (\n \ right) = {a_n}\) en \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\) dan \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Deze stelling is in principe vertelt ons dat we de grenzen van de sequenties graag nemen we de limiet van functies. In de meeste gevallen zullen we deze stelling zelfs niet echt gebruiken door een functie expliciet op te schrijven. We zullen vaker gewoon de limiet behandelen alsof het een limiet van een functie was en de limiet nemen zoals we altijd deden in Calculus I toen we de limieten van functies namen.
dus, nu we weten dat het nemen van de limiet van een reeks bijna identiek is aan het nemen van de limiet van een functie, weten we ook dat alle eigenschappen van de limieten van functies ook zullen gelden.
Eigenschappen
Als \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) en \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) zijn zowel convergente reeksen dan,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{verstrekt }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left^p}\) verstrekt \({a_n} \ge 0\)
Deze eigenschappen kunnen worden bewezen met behulp van Stelling 1 boven en de functie beperken eigenschappen zagen we in Calculus ik of we kunnen bewijzen dat ze direct met behulp van de precieze definitie van een limiet met behulp van bijna identieke bewijzen van de functie limiet eigenschappen.
volgende, net zoals we een Squeeze stelling voor functiegrenzen hadden, hebben we er ook een voor sequenties en deze is vrijwel identiek aan de functie limit versie.
Knijp Stelling voor Sequenties
Als \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) voor alle \n >\ N \ voor \(N\) en \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\) dan \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = L\).
merk op dat in deze stelling De “for all \(n > n\) for some \(N\)” ons eigenlijk alleen maar vertelt dat we \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) voor allen voldoende groot \(n\) moeten hebben, maar als het niet waar is voor de eerste paar \(n\) zal dat de stelling niet ongeldig maken.
zoals we zullen zien kunnen niet alle sequenties worden geschreven als functies waarvan we eigenlijk de limiet kunnen nemen. Dit geldt vooral voor sequenties die afwisselen in tekens. Hoewel we deze sequentietermen altijd als een functie kunnen schrijven, weten we gewoon niet hoe we de limiet van zo ‘ n functie moeten nemen. De volgende stelling zal helpen met een aantal van deze sequenties.
stelling 2
als \(\mathop {\lim } \ limits_{n \ to \ infty } \ left / {{a_n}} \ right / = 0\) dan \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
merk op dat om deze stelling te houden de limiet Nul moet zijn en het zal niet werken voor een reeks waarvan de limiet niet nul is. Deze stelling is makkelijk genoeg om te bewijzen dus laten we dat doen.
het Bewijs van Stelling 2
Het belangrijkste ding om dit bewijs is om op te merken dat
\
let op dat
\
We hebben dan \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) en dus door de Squeeze Stelling moeten we ook hebben,
\
De volgende stelling is een nuttige stelling geven van de convergentie/divergentie en de waarde (voor wanneer het convergente) van een reeks die ontstaat op de gelegenheid.
stelling 3
De reeks \(\left \ { {{r^n}} \right\}_{n = 0}^ \ infty \) convergeert als \( – 1 < r \le 1\) en divert voor alle andere waarden van \(r\). Ook is
\
hier een snel (niet zo snel, maar zeker eenvoudig) gedeeltelijk bewijs van deze stelling.
partieel bewijs van Stelling 3
We zullen dit doen met een reeks gevallen, hoewel het laatste geval niet volledig zal worden bewezen.
geval 1 : \r > 1\)
We weten uit de Calculus ik dat \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) als \(r > 1\) en dus per Stelling 1 we weten ook dat \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) en dus is de reeks divergeert als \(r > 1\).
geval 2: \(r = 1\)
in dit geval hebben we,
\
dus, de reeks convergeert voor \(r = 1\) en in dit geval is de limiet 1.
geval 3 : \(0 < r < 1\)
We weten uit de Calculus ik dat \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) als \(0 < r < 1\) en dus per Stelling 1 we weten ook dat \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) en dus convergeert de rij als \(0 < r < 1\) en in dit geval is de limiet op nul staat.
geval 4: \(r = 0\)
in dit geval hebben we,
\
dus, de reeks convergeert voor \(r = 0\) en in dit geval is de limiet Nul.
Case 5 : \( – 1 < r < 0\)
laten we Eerst er rekening mee dat als \( – 1 < r < 0\) dan \(0 < \left| r \right| < 1\) dan door Case 3 hierboven hebben we,
\
Stelling 2 hierboven vertelt ons nu dat moeten we ook hebben, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) en zo als \( – 1 < r < 0\) convergeert de rij heeft een limiet van 0.
geval 6 : \(r = – 1\)
in dit geval is de reeks,
\
en hopelijk is het duidelijk dat \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) niet bestaat. Bedenk dat om deze limiet te kunnen bestaan de termen een enkele waarde moeten benaderen als \(n\) toeneemt. In dit geval echter wisselen de termen gewoon tussen 1 en -1 en dus bestaat de limiet niet.
dus, de reeks divergeert voor \(r = – 1\).
geval 7: \(r < – 1\)
in dit geval gaan we niet door een volledig bewijs. Laten we eens kijken wat er gebeurt als we bijvoorbeeld \(r = – 2\) laten. Als we dat doen wordt de reeks,
\
dus, als \(r = – 2\) krijgen we een reeks termen waarvan de waarden afwisselen in teken en groter en groter worden en dus \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 2} \right)^n}\) bestaat niet. Het komt niet neer op een enkele waarde als \(n\) toeneemt, noch benaderen de termen allemaal oneindigheid. De volgorde divergeert dus voor \(r = – 2\).
We kunnen iets soortgelijks doen voor elke waarde van \(r\) zodanig dat \(r < – 1\) en dus de reeks divergeert voor \(r < – 1\).
laten we eens kijken naar een paar voorbeelden van limieten van sequenties.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} – 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Toon Alle Oplossingen Verbergen Alle Oplossingen
In dit geval alles wat we moeten doen is het oproepen van de methode die werd ontwikkeld in Calculus I om te gaan met de grenzen van rationele functies. Zie de limieten op oneindig, deel I sectie van de Calculus I notes voor een overzicht van deze als je nodig hebt.
om een limiet in deze vorm te doen, hoeven we alleen maar uit de teller en noemer de grootste macht van \(n\) te factor, te annuleren en dan de limiet te nemen.
\
dus, de reeks convergeert en de limiet is \(\frac{3}{5}\).
b \(\left \{{\displaystyle\frac {{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}}\right\}_{n = 1}^ \ infty\) Toon oplossing
We moeten voorzichtig zijn met deze. We moeten de regel van L ‘ Hospital gebruiken. Het probleem is dat de regel van L ‘ Hospital alleen werkt op functies en niet op sequenties. Normaal zou dit een probleem zijn, maar we hebben stelling 1 van boven om ons te helpen. Laten we
\
definiëren en merk op dat
\
stelling 1 zegt dat we alleen de limiet van de functie hoeven te nemen.
\
dus, de reeks in dit deel divergeert (naar \(\infty \)).
vaker wel dan niet doen we gewoon L’Hospital’ s regel op de sequentietermen zonder eerst te converteren naar \(x\) ‘ s omdat het werk identiek zal zijn ongeacht of we \(x\) of \(n\) gebruiken. Echter, we moeten echt niet vergeten dat we technisch gezien de derivaten niet kunnen doen terwijl we omgaan met sequentietermen.
c \(\left \{{\displaystyle\frac {{{{\left ({- 1} \right)}^n}}}{n}}\right\}_{n = 1}^ \ infty\) Toon oplossing
We moeten ook voorzichtig zijn met deze reeks. We zouden geneigd kunnen zijn om gewoon te zeggen dat de limiet van de sequentietermen nul is (en we zouden gelijk hebben). Technisch kunnen we echter niet de limiet nemen van sequenties waarvan de termen elkaar afwisselen in teken, omdat we niet weten hoe we grenzen kunnen stellen aan functies die hetzelfde gedrag vertonen. Ook willen we heel voorzichtig zijn om bij deze problemen niet te veel op intuïtie te vertrouwen. Zoals we in de volgende sectie zullen zien, en in latere secties, kan onze intuïtie ons op een dwaalspoor brengen in deze problemen als we niet voorzichtig zijn.
dus, laten we dit volgens het boekje doen. We zullen stelling 2 over dit probleem moeten gebruiken. Hiervoor moeten we eerst berekenen,
\
Daarom, omdat de limiet van de sequentietermen met absolute waarde bars op hen gaat naar nul weten we door stelling 2 dat,
\
wat ook betekent dat de sequentie convergeert naar een waarde van nul.
d \(\left \{{{{\left ({- 1} \ right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty\) Toon oplossing
voor deze stelling merk op dat het enige wat we hoeven te doen is te beseffen dat dit de rij in stelling 3 hierboven is met behulp van \(r = – 1\). Dus, door stelling 3 divergeert deze reeks.
We moeten nu een waarschuwing geven over het misbruik van Stelling 2. Stelling 2 werkt alleen als de limiet Nul is. Als de limiet van de absolute waarde van de sequentietermen niet nul is, zal de stelling niet gelden. Het laatste deel van het vorige voorbeeld is hier een goed voorbeeld van (en in feite is deze waarschuwing de hele reden dat dat deel Er is). Merk op dat
\
en toch, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { – 1} \right)^n}\) niet eens bestaat laat staan gelijk aan 1. Dus, wees voorzichtig met behulp van deze stelling 2. Je moet altijd onthouden dat het alleen werkt als de limiet Nul is.
voordat we naar de volgende sectie gaan, moeten we nog een stelling geven die we later nodig hebben voor een bewijs.
Stelling 4
Voor de reeks \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) als beide \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) en \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) dan is \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) is convergente en \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\).
bewijs van Stelling 4
Let \(\varepsilon > 0\).
sindsdien \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) is er een \({N_1} > 0\) als \n > {N_1}\) wij weten, dat,
\
Ook omdat \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) is er een \({N_2} > 0\) als \n > {N_2}\) wij weten, dat,
\
Nu, laat \(N = \max \left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) en laat \n >\N\). Dan \({a_n} = {a_{2}}\ voor \(k > {N_1}\) of \({a_n} = {a_{2k + 1}}\ voor \(k > {N_2}\) en dus in beide gevallen hebben we dat
\
Daarom, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) en dus \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) is convergent.