Cartesisch coördinatenstelsel

Fig. 1-Cartesiaans coördinatenstelsel. Vier punten zijn gemarkeerd: (2,3) in groen, (-3,1) in rood, (-1,5,-2,5) in blauw en (0,0), de oorsprong, in geel.

in de wiskunde wordt het Cartesisch coördinatenstelsel (of rechthoekig coördinatenstelsel) gebruikt om elk punt uniek te bepalen in een vlak door twee getallen, meestal de x-coördinaat en de y-coördinaat van het punt genoemd. Om de coördinaten te definiëren, worden twee loodrecht gerichte lijnen (de x-as of abscis, en de y-as of ordinaat) gespecificeerd, evenals de lengte van de eenheid, die is gemarkeerd op de twee assen (zie Figuur 1). Cartesiaanse coördinatenstelsels worden ook gebruikt in de ruimte (waar drie coördinaten worden gebruikt) en in hogere dimensies.

Fig. 2-Cartesisch coördinatenstelsel met de cirkel van straal 2 gecentreerd op de oorsprong gemarkeerd in rood. De vergelijking van de cirkel is x2 + y2 = 4.

met behulp van het Cartesiaanse coördinatenstelsel kunnen geometrische vormen (zoals krommen) worden beschreven met algebraïsche vergelijkingen, namelijk vergelijkingen die worden voldaan door de coördinaten van de punten die op de vorm liggen. Een cirkel met straal 2 kan bijvoorbeeld worden beschreven met de vergelijking x2 + y2 = 4 (Zie figuur 2).

geschiedenis

Cartesiaans betekent gerelateerd aan de Franse wiskundige en filosoof René Descartes (Latijn: Cartesius), die onder andere werkte aan het samenvoegen van algebra en Euclidische meetkunde. Dit werk was van invloed op de ontwikkeling van de Analytische meetkunde, calculus en cartografie.het idee van dit systeem werd in 1637 in twee geschriften van Descartes ontwikkeld. In deel twee van zijn discours over methode introduceert Descartes het nieuwe idee om de positie van een punt of object op een oppervlak te specificeren, met behulp van twee snijassen als meetgidsen. In La Géométrie verkent hij de bovengenoemde Concepten verder.

tweedimensionaal coördinatenstelsel

Fig. 3 – De vier kwadranten van een Cartesiaans coördinatenstelsel. De pijlen op de bijlen geven aan dat ze voor altijd in hun respectievelijke richtingen (d.w.z. oneindig) reiken.

een Cartesisch coördinatenstelsel in twee dimensies wordt gewoonlijk gedefinieerd door twee assen, loodrecht op elkaar, die een vlak vormen (een xy-vlak). In een driedimensionaal coördinatenstelsel wordt een andere as, normaal z, toegevoegd, die een derde dimensie van ruimtemeting geeft. De assen worden gewoonlijk gedefinieerd als onderling loodrecht op elkaar (elk in een rechte hoek ten opzichte van de andere). (Vroege systemen toegestaan “schuine” assen, dat wil zeggen assen die niet in rechte hoeken, en dergelijke systemen worden nu en dan gebruikt, hoewel meestal als theoretische oefeningen.) Alle punten in een Cartesisch coördinatenstelsel samen vormen een zogenaamd Cartesisch vlak. Vergelijkingen die gebruik maken van het Cartesiaanse coördinatenstelsel worden Cartesiaanse vergelijkingen genoemd.

het snijpunt, waar de assen elkaar ontmoeten, wordt de oorsprong genoemd die gewoonlijk O wordt genoemd.De x-en y-assen definiëren een vlak dat het xy-vlak wordt genoemd.Gegeven elke as, kies een eenheid lengte, en markeren elke eenheid langs de as, het vormen van een grid.To Specificeer een bepaald punt op een tweedimensionaal coördinatenstelsel, geef eerst de x-eenheid aan (abscis), gevolgd door de Y-eenheid (ordinaat) in de vorm (x,y), een geordend paar.

de keuze van letters komt van een conventie, om het laatste deel van het alfabet te gebruiken om onbekende waarden aan te geven. Daarentegen werd het eerste deel van het alfabet gebruikt om bekende waarden aan te duiden.

een voorbeeld van een punt P op het systeem is aangegeven in Figuur 3, met behulp van de coördinaat (3,5).

het snijpunt van de twee assen creëert vier gebieden, die kwadranten worden genoemd, aangegeven door de Romeinse cijfers I (+,+), II (−,+), III ( − ,−) en IV (+,−). Conventioneel worden de kwadranten tegen de klok in gelabeld vanaf het kwadrant rechtsboven (“Noordoost”). In het eerste kwadrant zijn beide coördinaten positief, in het tweede kwadrant zijn x-coördinaten negatief en Y-coördinaten positief, in het derde kwadrant zijn beide coördinaten negatief en in het vierde kwadrant zijn x-coördinaten positief en y-coördinaten negatief (zie onderstaande tabel.)

driedimensionaal coördinatenstelsel

Fig. 4-driedimensionaal Cartesiaans coördinatenstelsel met y-as die van de waarnemer weg wijst.

Fig. 5 – driedimensionaal Cartesiaans coördinatenstelsel met de x-as die naar de waarnemer wijst.

het driedimensionale Cartesiaanse coördinatenstelsel biedt de drie fysieke dimensies van ruimte-lengte, breedte en hoogte. De figuren 4 en 5 laten twee gemeenschappelijke manieren zien om het weer te geven.

De Drie Cartesiaanse assen die het systeem definiëren staan loodrecht op elkaar. De relevante coördinaten zijn van de vorm (x, y, z). Figuur 4 toont bijvoorbeeld twee punten in een driedimensionaal Cartesisch coördinatenstelsel: P (3,0,5) en Q(-5,-5,7). De assen zijn afgebeeld in een” wereldcoördinaten ” oriëntatie met de z-as naar boven gericht.

De X -, y-en z-coördinaten van een punt kunnen ook worden genomen als de afstanden van respectievelijk het yz-vlak, het xz-vlak en het xy-vlak. Figuur 5 toont de afstanden van punt P van de vlakken.

De xy -, yz-en xz-vlakken verdelen de driedimensionale ruimte in acht onderverdelingen die bekend staan als octanten, vergelijkbaar met de kwadranten van de 2D-ruimte. Hoewel er conventies zijn vastgesteld voor de etikettering van de vier kwadranten van het X-y-vlak, wordt alleen het eerste octant van de driedimensionale ruimte geëtiketteerd. Het bevat alle punten waarvan de x -, y-en z-coördinaten positief zijn.

De Z-coördinaat wordt ook applicaat genoemd.

oriëntatie en handigheid

zie ook: rechterregel

In twee dimensies

de rechterregel.

het fixeren of kiezen van de x-as bepaalt de y-as tot richting. Namelijk, de y-as is noodzakelijkerwijs de loodlijn op de x-as door het punt gemarkeerd 0 op de x-as. Maar er is een keuze van welke van de twee halve lijnen op de loodlijn aan te wijzen als positief en welke als negatief. Elk van deze twee keuzes bepaalt een andere oriëntatie (ook wel handigheid genoemd) van het Cartesiaanse vlak.

de gebruikelijke manier om de assen te oriënteren, met de positieve x-as naar rechts en de positieve y-as naar boven (en de x-as is de “eerste” en de y-as de “tweede” as) wordt beschouwd als de positieve of standaard oriëntatie, ook wel de rechtshandig oriëntatie genoemd.

een veelgebruikte ezelsbruggetje voor het definiëren van de positieve oriëntatie is de rechterhandregel. Het plaatsen van een enigszins gesloten rechterhand op het vlak met de duim naar boven gericht, wijzen de vingers van de x-as naar de y-as, in een positief georiënteerd coördinatenstelsel.

de andere manier om de assen te oriënteren is het volgen van de linkerhandregel, waarbij de linkerhand op het vlak wordt geplaatst met de duim naar boven.

ongeacht de regel die wordt gebruikt om de assen te oriënteren, zal het roteren van het coördinatenstelsel de oriëntatie behouden. Het wisselen van de rol van x en y zal de oriëntatie omkeren.

In drie dimensies

Fig. 7-de linkshandige oriëntatie wordt aan de linkerkant weergegeven en de rechtshandige aan de rechterkant.

Fig. 8-het rechtshandig Cartesiaans coördinatenstelsel dat de coördinaatvlakken aangeeft.

zodra de x-en y-as zijn gespecificeerd, bepalen zij de lijn waarlangs de z-as moet liggen, maar er zijn twee mogelijke richtingen op deze lijn. De twee mogelijke coördinatenstelsels die hieruit voortvloeien worden “rechtshandig” en “linkshandig” genoemd.”De standaard oriëntatie, waarbij het xy-vlak horizontaal is en de z-as naar boven wijst (en de x – en de y-as vormen een positief georiënteerd tweedimensionaal coördinatenstelsel in het xy-vlak indien waargenomen vanaf boven het xy-vlak) wordt rechtshandig of positief genoemd.

de naam is afgeleid van de rechterregel. Als de wijsvinger van de rechterhand naar voren is gericht, de middelvinger naar binnen gebogen onder een rechte hoek, en de duim geplaatst in een rechte hoek om beide, de drie vingers geven de relatieve richtingen van de x -, y-en z-assen in een rechtshandig systeem. De duim geeft de x-as aan, de wijsvinger de y-as en de middelvinger de z-as. Omgekeerd, als hetzelfde wordt gedaan met de linkerhand, een linkshandig systeem resulteert.

verschillende disciplines gebruiken verschillende variaties van de coördinatenstelsels. Wiskundigen gebruiken bijvoorbeeld meestal een rechtshandig coördinatenstelsel met de y-as naar boven, terwijl ingenieurs meestal een linkshandig coördinatenstelsel met de z-as naar boven gebruiken. Dit kan tot verwarring leiden wanneer ingenieurs en wiskundigen aan hetzelfde project werken.

Figuur 7 is een poging om een links – en een rechtshandig coördinatenstelsel weer te geven. Omdat een driedimensionaal object op het tweedimensionale scherm wordt weergegeven, ontstaan vervorming en dubbelzinnigheid. De as naar beneden (en naar rechts) is ook bedoeld om naar de waarnemer te wijzen, terwijl de “middelste” as bedoeld is om van de waarnemer af te wijzen. De rode cirkel is evenwijdig aan het horizontale xy-vlak en geeft de rotatie aan van de x-as naar de y-as (in beide gevallen). Vandaar gaat de rode pijl voor de Z-as.

Figuur 8 is een andere poging om een rechtshandig coördinatenstelsel weer te geven. Nogmaals, er is een dubbelzinnigheid veroorzaakt door het projecteren van het driedimensionale coördinatenstelsel in het vlak. Veel waarnemers zien figuur 8 als “in-en uitrollen” tussen een convexe kubus en een concave “hoek.”Dit komt overeen met de twee mogelijke oriëntaties van het coördinatenstelsel. Het zien van de figuur als convex geeft een linkshandig coördinatenstelsel. Dus, de” juiste ” manier om Figuur 8 te bekijken is om de x-as voor te stellen als wijzend naar de waarnemer en dus een concave hoek te zien.

in de natuurkunde

de bovenstaande discussie is van toepassing op Cartesiaanse coördinatenstelsels in de wiskunde, waar het gebruikelijk is om geen meeteenheden te gebruiken. In de natuurkunde is het belangrijk op te merken dat een dimensie gewoon een maat van iets is, en dat, voor elke klasse van te meten kenmerken, een andere dimensie kan worden toegevoegd. Gehechtheid aan het visualiseren van de dimensies sluit begrip uit van de vele verschillende dimensies die kunnen worden gemeten (tijd, massa, kleur, kosten, enz.). Multidimensionale objecten kunnen algebraïsch worden berekend en gemanipuleerd.

die een vector met Cartesiaanse notatie voorstelt

een punt in de ruimte in een Cartesiaans coördinatenstelsel kan ook worden weergegeven door een vector, die kan worden gezien als een pijl die wijst van de oorsprong van het coördinatenstelsel naar het punt. Als de coördinaten ruimtelijke posities (verplaatsingen) vertegenwoordigen, is het gebruikelijk om de vector van de oorsprong tot het belangspunt weer te geven als r {\displaystyle \mathbf {r} } . Met behulp van Cartesische coördinaten kan de vector van de oorsprong tot het punt ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} worden geschreven als:

r = x i + y j + z k {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }

where i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } , and k {\displaystyle \mathbf {k} } are unit vectors that point the same direction as the x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , en z {\displaystyle z} Assen, respectievelijk.

deze notatie wordt meestal Cartesiaanse notatie genoemd. De eenheidsvectoren i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } en k {\displaystyle \mathbf {k} } genoemd worden de versors van het coördinatenstelsel, en vormen een voorbeeld van de standaard basis.

verdere noten

in de computermeetkunde is het Cartesiaanse coördinatenstelsel de basis voor de algebraïsche manipulatie van meetkundige vormen. Sinds Descartes zijn vele andere coördinatenstelsels ontwikkeld. Een gemeenschappelijke verzameling van systemen gebruikt polaire coördinaten; astronomen gebruiken vaak sferische coördinaten, een type polair coördinatenstelsel.

zie ook

• Curve
• geometrie
• grafiek
• lijn (wiskunde)
• wiskunde
• getal
• vlak (wiskunde)
• punt (meetkunde)
• René Descartes

noten

• Descartes, René. 2001. Discours over Methode, optica, meetkunde en meteorologie. Transvetzuren. Paul J. Olscamp. Indianapolis, IN: Hackett Pub. ISBN 0872205673.
• Gelʹfand, I. M., E. G. Glagoleva, and A. A. Kirillov. 1990. De methode van coördinaten. Boston: Birkhauser. ISBN 0817635335.
• Kline, Morris. 1985. Wiskunde voor de niet-mathematicus. New York: Dover. ISBN 0817635335.

alle links opgehaald op 16 januari 2017.

• Cartesisch coördinatenstelsel.
• afdrukbare Cartesische coördinaten.
• Cartesische coördinaten. PlanetMath.