de binomiale stelling

binomiale expansies die de driehoek van Pascal gebruiken

overweeg de volgende uitgebreide bevoegdheden van (a + b)n, waarbij a + b een binomiaal is en n een geheel getal is. Zoek naar patronen.

elke Expansie is een veelterm. Er zijn een aantal patronen op te merken.

1. Er is één term meer dan de macht van de exponent, n. dat wil zeggen, er zijn termen in de expansie van (a + b)n.

2. In elke term is de som van de exponenten n, de macht waartoe het binomiaal wordt verhoogd.

3. De exponenten van A beginnen met n, de macht van het binomiaal, en dalen tot 0. De laatste term heeft geen factor a. de eerste term heeft geen factor b, dus de bevoegdheden van b beginnen met 0 en nemen toe tot n.

4. De coëfficiënten beginnen bij 1 en stijgen door bepaalde waarden over “half” – weg en dan dalen door deze zelfde waarden terug naar 1.

laten we de coëfficiënten verder onderzoeken. Stel dat we een uitbreiding van (a + b)6 willen vinden. De patronen die we zojuist hebben opgemerkt geven aan dat er 7 termen in de uitbreiding zitten:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.
Hoe kunnen we de waarde van elke coëfficiënt, ci bepalen? Dat kunnen we op twee manieren doen. De eerste methode omvat het schrijven van de coëfficiënten in een driehoekige array, als volgt. Dit is bekend als de driehoek van Pascal:

er zijn veel patronen in de driehoek. Zoek er zoveel als je kunt.
misschien hebt u een manier gevonden om de volgende rij getallen te schrijven, gezien de getallen in de rij erboven. Er zijn altijd 1 ‘ s aan de buitenkant. Elk overgebleven getal is de som van de twee getallen erboven. Laten we proberen een uitbreiding voor (A + b)6 te vinden door een andere rij toe te voegen met behulp van de patronen die we hebben ontdekt:

We zien dat in de laatste rij

de 1e en laatste nummers 1 zijn;
het 2e nummer is 1 + 5, of 6;
het 3e nummer is 5 + 10, of 15;
Het 4e nummer is 10 + 10, of 20;
het 5e nummer is 10 + 5, of 15; en
het 6e getal is 5 + 1, of 6.

dus de uitbreiding voor (a + b)6 is
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

om een uitbreiding voor (a + b)8 te vinden, completeren we nog twee rijen van de driehoek van Pascal:

dus is de uitbreiding van
(A + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

We kunnen onze resultaten als volgt generaliseren.

de binomiale stelling met behulp van de driehoek van Pascal

voor elk binomiaal a + b en elk natuurlijk getal n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1B1 + c2an-2b2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
waarbij de nummers c0, c1, c2,…., cn-1, cn komen uit de (n + 1)-st rij van de driehoek van Pascal.

Voorbeeld 1 Expand: (u-v) 5.

oplossing we hebben (a + b)n, waarbij a = u, b = -v, en n = 5. We gebruiken de 6e rij van de driehoek van Pascal:
1 5 10 10 5 1
dan hebben we
(U – v)5 = 5 = 1(u)5 + 5 (u)4 (- v)1 + 10 (u)3 (- v)2 + 10 (U)2 (- v)3 + 5 (u) (- v)4 + 1 (- v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.
merk op dat de tekens van de termen afwisselen tussen + en -. Als de kracht van-v vreemd is, is het teken -.

Voorbeeld 2 Expand: (2t + 3/t)4.

oplossing we hebben (a + b)n, waarbij a = 2t, b = 3/t, en n = 4. We gebruiken de 5e rij van de driehoek van Pascal:
1 4 6 4 1
dan hebben we

binomiale expansie met factoriële notatie

stel dat we de expansie van (a + b)11 willen vinden. Het nadeel bij het gebruik van de driehoek van Pascal is dat we alle voorgaande rijen van de driehoek moeten berekenen om de rij te verkrijgen die nodig is voor de uitbreiding. De volgende methode vermijdt dit. Het stelt ons ook in staat om een specifieke term te vinden — laten we zeggen de 8ste term — zonder alle andere termen van de uitbreiding te berekenen. Deze methode is nuttig in vakken als eindige wiskunde, calculus en Statistiek en gebruikt de binomiale coëfficiënt notatie .
We kunnen de binomiale stelling als volgt herformuleren.

de binomiale stelling met factoriële notatie

voor elke binomiaal (a + b) en elk natuurlijk getal n,
.

de binomiale stelling kan worden bewezen door wiskundige inductie. (Zieexercise 63.) Dit formulier laat zien waarom een binomiale coëfficiënt wordt genoemd.

Voorbeeld 3 Expand: (x2 – 2y)5.

oplossing we hebben (a + b)n,waarbij a = x2, b = -2y, en n = 5. Met behulp van de binomiale stelling hebben we

tot slot (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 32y5.

Voorbeeld 4 Expand: (2/x + 3√x)4.

oplossing we hebben (a + b)n, waarbij a = 2 / x, b = 3√x, en n = 4. Met behulp van de binomiale stelling hebben we

tenslotte (2/x + 3√x)4 = 16 / x4 + 96 / x5/2 + 216/x + 216×1 / 2 + 81×2.

een specifieke Term vinden

stel dat we alleen een bepaalde term van een uitbreiding willen bepalen. De methode die we hebben ontwikkeld zal ons in staat stellen om een dergelijke term te vinden zonder het berekenen van alle rijen van de driehoek van Pascal of alle voorgaande coëfficiënten.

merk op dat in de binomiale stelling geeft ons de 1e term, geeft ons de 2e term, geeft ons de 3e term, enzovoort. Dit kan als volgt worden veralgemeend.

het vinden van de (k + 1)-st Term

De (k + 1)-st term van (a + b)n is .

Voorbeeld 5 Zoek de 5e term in de expansie van (2x – 5y)6.

oplossing eerst merken we op dat 5 = 4 + 1. Dus k = 4, a = 2x, b = – 5y, en n = 6. Dan is de 5e term van de expansie

Voorbeeld 6 Zoek de 8e term in de expansie van (3x – 2)10.

oplossing eerst merken we op dat 8 = 7 + 1. Dus k = 7, a = 3x, b = -2, en n = 10. Dan is de 8e term van de uitbreiding

totaal aantal Subsets

stel dat een verzameling n objecten heeft. Het aantal subsets met k-elementen . Het totale aantal subsets van een verzameling is het aantal subsets met 0 elementen, plus het aantal subsets met 1 element, plus het aantal subsets met 2 elementen, enzovoort. Het totale aantal deelverzamelingen van een verzameling met n-elementen is
.
overweeg nu de uitbreiding van (1 + 1)n:
.
dus het totale aantal deelverzamelingen is (1 + 1)n, of 2n. we hebben het volgende bewezen.

totaal aantal Subsets

het totale aantal subsets van een verzameling met n-elementen is 2n.

Voorbeeld 7 de verzameling {A, B, C, D, E} heeft hoeveel subsets?

oplossing de verzameling heeft 5 elementen, dus het aantal deelverzamelingen is 25, of 32.Voorbeeld 8 Wendy ‘ s, een nationale restaurantketen, biedt de volgende toppings voor zijn hamburgers:
{catsup, mosterd, mayonaise, tomaat, sla, uien, augurk, relish, kaas}.hoeveel verschillende soorten hamburgers kunnen Wendy ‘ s serveren, met uitzondering van de grootte van de hamburger of het aantal pasteitjes?

oplossing de toppings op elke hamburger zijn de elementen van een deelverzameling van de verzameling van alle mogelijke toppings, waarbij de lege verzameling een gewone hamburger is. Het totale aantal mogelijke hamburgers is

Wendy ‘ s serveert hamburgers op 512 verschillende manieren.