de verborgen Twist bij het maken van een Möbiusstrip

op het gebied van de symplectische meetkunde gaat een centraal thema over het tellen van de snijpunten van twee gecompliceerde meetkundige ruimten. Deze telvraag is de kern van een van de beroemdste problemen in het veld, Het Vermoeden van Arnold, en het is ook een kwestie van basistechniek: wiskundigen moeten weten hoe ze deze tellingen moeten maken om andere soorten onderzoek te kunnen doen.

zoals ik beschrijf in mijn Artikel “a Fight to Fix Geometry’ s Foundations,” is het ontwikkelen van een methode voor het tellen van deze snijpunten een langdurig en soms omstreden proces geweest. Een betrouwbare, algemeen begrepen, foutloze benadering heeft om een aantal redenen een uitdaging opgeleverd, van het ontbreken van een gedeelde woordenschat wanneer een nieuw veld wordt gestart (symplectische geometrie begon pas echt in de jaren negentig), tot de aard van het probleem zelf: simpel gezegd, het is moeilijk.

de moeilijkheid ligt in het feit dat het om subtiele redenen niet mogelijk is om de snijpunten in één keer te tellen. In plaats daarvan moeten wiskundigen de ruimte opsplitsen in” lokale “regio’ s, snijpunten tellen in elke regio, en die bij elkaar optellen om de” globale ” telling te krijgen. Het samenvoegen van lokale tellingen bleek een delicate en technisch veeleisende taak te zijn dan wiskundigen aanvankelijk realiseerden: als je niet voorzichtig bent met hoe je je lokale regio ‘ s tekent, kun je gemakkelijk het ene snijpunt weglaten of het andere dubbel tellen.

de volgende illustraties onderzoeken de moeilijkheid van de taak met behulp van een möbiusstrook (een tweedimensionale cirkelband met een twist erin). De möbiusstrook heeft twee cirkels die door het oppervlak gaan. De vraag is: hoe vaak snijden de twee cirkels elkaar? Zoals je zult zien, lijkt het antwoord een ding te zijn als je kijkt naar de strip in een keer, en een ander als je niet voorzichtig bent als je de Möbius strip in twee stukken snijdt.

een Telpuzzel

wiskundigen willen snijpunten tellen, maar bepaalde obstakels voorkomen dat ze al die punten direct tellen. Om deze obstakels te overwinnen, verdelen ze de variëteit in hapklare “lokale” regio ‘ s, tellen ze de kruispunten in elke variëteit en tellen die samen om een telling te krijgen voor de hele variëteit.

echter, als wiskundigen niet voorzichtig zijn met hoe ze tellingen uit lokale regio ‘ s combineren, kunnen ze gemakkelijk eindigen met de verkeerde telling voor de gehele variëteit. De delicatesse van het bij elkaar optellen van lokale tellingen is duidelijk in dit eenvoudige voorbeeld.

Möbius Rip

neem een Möbius-strook. Teken er twee cirkels doorheen. Als je naar de hele Möbius-strook kijkt, dan moeten de twee cirkels elkaar minstens één keer snijden: de ene cirkel begint boven de andere, maar eindigt eronder vanwege de kronkelende aard van de strook.

knip nu dezelfde Möbius strip in twee stukken. De sneden verwijderen de draai in de strip. Teken twee cirkelvormige segmenten op elk stuk. Zonder de twist is het gemakkelijk om de cirkelsegmenten te tekenen, zodat ze parallel aan elkaar lopen en elkaar nooit kruisen. Als gevolg hiervan zou je ten onrechte kunnen concluderen dat het aantal kruispunten op de hele möbiusstrook nul is. Wiskundigen in de symplectische meetkunde hebben geleerd dat het aan elkaar lijmen van “lokale” stukken om een “globale” snijtelling te herstellen een veel complexer proces is dan ze eerst dachten.