Ellips
een ellips ziet er meestal uit als een geplet cirkel:
” F ” is een focus,” G ” is een focus,
en samen worden ze foci genoemd.
(uitgesproken als “fo-sigh”)
de totale afstand van F naar P naar G blijft hetzelfde
met andere woorden, we reizen altijd dezelfde afstand als we gaan van:
- punt “F” naar
- naar elk punt op de ellips
- en vervolgens naar punt “G”
u kunt het zelf tekenen
plaats Twee Pins in een bord, en dan …
plaats een lus van string rond hen,
plaats een potlood in de lus,
strek de string uit zodat het een driehoek vormt,
en teken een curve.
Het is een ellips!
Het werkt omdat de string van nature dezelfde afstand van pin-to-pencil-to-other-pin forceert.
een cirkel is een ellips
In feite is een cirkel een ellips, waarbij beide foci zich op hetzelfde punt (het midden) bevinden.
met andere woorden, een cirkel is een “speciaal geval” van een ellips. Ellipsen Zijn De Beste.
definitie
een ellips is de verzameling van alle punten op een vlak waarvan de afstand van twee vaste punten F en G samen een constante vormen.
grote en kleine Assen
de hoofdas is de langste diameter. Het gaat van de ene kant van de ellips, door het midden, naar de andere kant, op het breedste deel van de ellips. En de kleine as is de kortste diameter (op het smalste deel van de ellips).
De Semi-hoofdas is de helft van de hoofdas, en de Semi-minoras is de helft van de Minoras.
hoofdas is gelijk aan f+g
onthoud vanaf de top hoe de afstand” f+g ” hetzelfde blijft voor een ellips?
wel f+g is gelijk aan de lengte van de hoofdas.
kunt u bedenken waarom? (Probeer het verplaatsen van de punt P aan de bovenkant.)
berekeningen
oppervlakte is eenvoudig, omtrek is niet!
gebied
het gebied van een ellips is:
π × a × b
waarbij a de lengte van de Semi-hoofdas is, en b de lengte van de Semi-minoras.
wees voorzichtig: a en b liggen van het midden naar buiten (niet helemaal over).
(opmerking: voor een cirkel zijn a en b gelijk aan de straal, en je krijgt π × r × r = nr2, wat juist is!)
Perimeter benadering
vreemd genoeg is de omtrek van een ellips erg moeilijk te berekenen, dus heb ik een speciale pagina voor het onderwerp gemaakt: Lees de omtrek van een ellips voor meer details.
maar een eenvoudige benadering die binnen ongeveer 5% van de werkelijke waarde ligt (zolang a niet meer dan 3 keer langer is dan b) is als volgt:
onthoud, dit is slechts een ruwe benadering! (Daarom is het” gelijkteken ” kronkelend.)
raaklijn
een raaklijn raakt een kromme op één punt, zonder er doorheen te snijden.Hier is een raaklijn aan een ellips:
Hier is een cool ding: de raaklijn heeft gelijke hoeken met de twee lijnen die naar elke focus gaan!Probeer de twee scherpstelpunten samen te brengen (zodat de ellips een cirkel is) … wat valt je op?
reflectie
licht of geluid vanaf het ene scherpstelpunt reflecteert naar het andere scherpstelpunt (omdat hoek in overeenkomt met hoek uit):
speel met een eenvoudig computermodel van reflectie in een ellips.
excentriciteit
de excentriciteit is een maat voor hoe “un-round” de ellips is.
De formule (met behulp van semi-majeur en semi-mineur as) is:
√(a2−b2)a
sectie van een kegel
U kunt ook een ellips krijgen wanneer u door een kegel snijdt (maar niet te steil, of u krijgt een parabool of hyperbool).
in feite is de ellips een kegelsnede (een doorsnede van een kegel) met een excentriciteit tussen 0 en 1.
Vergelijking
Door het plaatsen van een ellips op een x-y grafiek (met de hoofdas op de x-as en de korte as op de y-as), de vergelijking van de kromme is:
x2a2 + y2b2 = 1
(vergelijkbaar met de vergelijking van de hyperbool: x2/a2 − y2/b2 = 1, behalve voor een “+” in plaats van een “−”)
Of kunnen we de “parametrische vergelijkingen”, waar we een andere variabele “t” en we x en y berekenen uit, zoals dit:
- x = a cos(t)
- y = b sin(t)
(stel je voor dat “t” van 0° naar 360° gaat, welke x-en y-waarden zouden we krijgen?)