fysica

We gaan nu van het overwegen van krachten die de beweging van een object beïnvloeden (zoals wrijving en slepen) naar krachten die de vorm van een object beïnvloeden. Als een bulldozer een auto in een muur duwt, zal de auto niet bewegen, maar zal hij merkbaar van vorm veranderen. Een verandering in vorm door de toepassing van een kracht is een vervorming. Zelfs zeer kleine krachten zijn bekend om enige vervorming te veroorzaken. Voor kleine vervormingen worden twee belangrijke kenmerken waargenomen. Ten eerste keert het object terug naar zijn oorspronkelijke vorm wanneer de kracht wordt verwijderd—dat wil zeggen, de vervorming is elastisch voor kleine vervormingen. Ten tweede, de grootte van de vervorming is evenredig met de kracht—dat wil zeggen, voor kleine vervormingen, Hooke ‘ s wet wordt gehoorzaamd. In vergelijkingsvorm wordt Hooke ‘ s wet gegeven door

F = kΔL,

waarbij ΔL de hoeveelheid vervorming is (bijvoorbeeld de verandering in lengte) die door de kracht F wordt veroorzaakt, en k een proportionaliteitsconstante is die afhankelijk is van de vorm en samenstelling van het object en de richting van de kracht. Merk op dat deze kracht een functie is van de vervorming ΔL—het is niet constant zoals een kinetische wrijvingskracht is. Door dit te herschikken naar

\displaystyle\Delta{L}=\frac{F}{k}

maakt het duidelijk dat de vervorming evenredig is met de toegepaste kracht. Figuur 1 toont het verband tussen de uitbreiding ΔL van een veer of van een menselijk bot. Voor metalen of veren is de rechte lijn regio waar Hooke ‘ s wet betrekking heeft veel groter. Botten zijn broos en het elastische gebied is klein en de breuk abrupt. Uiteindelijk zal een voldoende grote spanning aan het materiaal ervoor zorgen dat het breekt of breekt.

figuur 1. Een grafiek van vervorming ΔL versus toegepaste kracht F. Het rechte segment is het lineaire gebied waar Hooke ‘ s wet wordt nageleefd. De helling van het rechte gebied is \frac{1}{k}. Voor grotere krachten is de grafiek gebogen, maar de vervorming is nog steeds elastisch—ΔL zal terugkeren naar nul als de kracht wordt verwijderd. Nog grotere krachten vervormen het object permanent tot het uiteindelijk breekt. De vorm van de kromme nabij breuk hangt af van verschillende factoren, waaronder hoe de kracht F wordt uitgeoefend. Merk op dat in deze grafiek de helling toeneemt vlak voor de breuk, wat aangeeft dat een kleine toename in F een grote toename in L in de buurt van de breuk veroorzaakt.

De proportionaliteitsconstante k is afhankelijk van een aantal factoren voor het materiaal. Bijvoorbeeld, een gitaarsnaar van nylon rekt uit wanneer deze wordt aangedraaid, en de verlenging ΔL is evenredig met de uitgeoefende kracht (althans voor kleine vervormingen). Dikkere nylon snaren en stalen snaren strekken minder uit voor dezelfde uitgeoefende kracht, wat betekent dat ze een grotere k hebben (zie Figuur 2). Ten slotte keren alle drie de snaren terug naar hun normale lengte wanneer de kracht wordt verwijderd, op voorwaarde dat de vervorming klein is. De meeste materialen zullen zich op deze manier gedragen als de vervorming minder is dan ongeveer 0,1% of ongeveer 1 deel in 103.

Figuur 2. Dezelfde kracht, in dit geval een gewicht (w), toegepast op drie verschillende gitaarsnaren van dezelfde lengte produceert de drie verschillende vervormingen weergegeven als gearceerde segmenten. Het touw aan de linkerkant is dun nylon, die in het midden is dikker nylon, en die aan de rechterkant is staal.

We beschouwen nu drie specifieke soorten vervormingen: veranderingen in lengte (spanning en compressie), zijdelingse afschuiving (spanning) en veranderingen in volume. Alle vervormingen worden geacht klein te zijn, tenzij anders vermeld.

veranderingen in lengte-spanning en compressie: Elastische Modulus

een verandering in de lengte ΔL ontstaat wanneer een kracht wordt uitgeoefend op een draad of staaf die evenwijdig is aan de lengte L0, door deze te rekken (een spanning) of te comprimeren. (Zie Figuur 3.)

Figuur 3. (spanning. De staaf wordt een lengte ΔL uitgerekt wanneer een kracht evenwijdig aan zijn lengte wordt uitgeoefend. b) compressie. Dezelfde staaf wordt samengedrukt door krachten met dezelfde magnitude in de tegenovergestelde richting. Bij zeer kleine vervormingen en uniforme materialen is ΔL ongeveer hetzelfde voor dezelfde spanning of compressie. Voor grotere vervormingen verandert de dwarsdoorsnede als de staaf wordt gecomprimeerd of uitgerekt.

experimenten hebben aangetoond dat de verandering in lengte (ΔL) afhankelijk is van slechts enkele variabelen. Zoals reeds opgemerkt is ΔL evenredig met de kracht F en afhankelijk van de stof waaruit het object is gemaakt. Bovendien is de verandering in lengte evenredig met de oorspronkelijke lengte L0 en omgekeerd evenredig met het oppervlak van de dwarsdoorsnede van het draad of de staaf. Bijvoorbeeld, een lange gitaarsnaar zal meer dan een korte uitrekken, en een dikke snaar zal minder dan een dunne uitrekken. We kunnen al deze factoren combineren in één vergelijking voor ΔL:

\displaystyle\Delta{L}=\frac{1}{Y}\text{ }\frac{F}{A}L_0,

waarbij ΔL de verandering in lengte is, F de uitgeoefende kracht, Y is een factor, de elastische modulus of Young ‘ s modulus genoemd, die afhangt van de stof, A is het doorsnede gebied, en L0 is de oorspronkelijke lengte. Tabel 1 geeft de waarden van Y voor verschillende materialen-die met een grote Y wordt gezegd dat ze een grote treksterkte hebben omdat ze minder vervormen voor een bepaalde spanning of compressie.

Young ‘ s moduli zijn niet vermeld voor vloeistoffen en gassen in Tabel 1 omdat ze niet in één richting kunnen worden uitgerekt of samengeperst. Merk op dat er een aanname is dat het object niet versnelt, zodat er eigenlijk twee toegepaste krachten van magnitude F in tegengestelde richtingen werken. Bijvoorbeeld, de strings in Figuur 3 worden naar beneden getrokken door een kracht van magnitude w en omhoog gehouden door het plafond, dat ook een kracht van magnitude w uitoefent.

Voorbeeld 1. Het stuk van een lange kabel

ophangkabels worden gebruikt om gondels in skigebieden te vervoeren. (Zie Figuur 4) overweeg een ophangkabel met een niet-ondersteunde overspanning van 3 km. Bereken de hoeveelheid stretch in de staalkabel. Stel dat de kabel een diameter heeft van 5,6 cm en de maximale spanning is 3,0 × 106N.

Figuur 4. Gondels rijden langs ophangkabels bij het Gala Yuzawa ski resort in Japan. (credit: Rudy Herman, Flickr)

strategie

De kracht is gelijk aan de maximale spanning, of F = 3,0 × 106N. de oppervlakte van de dwarsdoorsnede is nr2 = 2,46 × 10-3 m2. De vergelijking \displaystyle \ Delta{L}= \ frac{1}{Y} \ text { } \ frac{F}{A}L_0 kan worden gebruikt om de verandering in lengte te vinden.

oplossing

alle hoeveelheden zijn bekend. Dus

\ begin{array}{lll} \ Delta l&& \ left (\frac{1} {\text{210} \ times {\text{10}}^{9}{\text{n/m}}^{2}} \ right) \ left (\frac{3 \ text{.}0\times {\text{10}}^{6} \ text{N}} {2.46 \ times {10}^{-3} {\text{m}}^{2}} \ right)\left (\text{3020 m}\ right)\ \&& \ text{18 m}.\ end{array}

discussie

Dit is een behoorlijk stuk, maar slechts ongeveer 0,6% van de niet-ondersteunde lengte. Effecten van temperatuur op lengte kunnen belangrijk zijn in deze omgevingen.

botten breken over het algemeen niet door spanning of compressie. In plaats daarvan breken ze over het algemeen als gevolg van zijdelingse impact of buigen, wat resulteert in het bot knippen of breken. Het gedrag van botten onder spanning en compressie is belangrijk omdat het de belasting bepaalt die de botten kunnen dragen. Botten worden geclassificeerd als dragende structuren zoals kolommen in gebouwen en bomen. Gewichtdragende structuren hebben speciale kenmerken; kolommen in het gebouw hebben stalen versterkende staven, terwijl bomen en botten vezelig zijn. De botten in verschillende delen van het lichaam dienen verschillende structurele functies en zijn gevoelig voor verschillende spanningen. Zo is het bot in de top van het dijbeen gerangschikt in dunne vellen gescheiden door merg, terwijl op andere plaatsen de botten cilindrisch kunnen zijn en gevuld met merg of gewoon vast. Mensen met overgewicht hebben een neiging tot botschade als gevolg van aanhoudende compressies in botgewrichten en pezen.

een ander biologisch voorbeeld van Hooke ‘ s wet komt voor in pezen. Functioneel gezien moet de pees (het weefsel dat de spier verbindt met het bot) in het begin gemakkelijk strekken wanneer een kracht wordt uitgeoefend, maar een veel grotere herstelkracht bieden voor een grotere belasting. Figuur 5 toont een stress-strain relatie voor een menselijke pees. Sommige pezen hebben een hoog collageengehalte, dus er is relatief weinig spanning, of lengte verandering; anderen, zoals steunpezen (zoals in het been) kan lengte veranderen tot 10%. Merk op dat deze spanning-rekcurve niet-lineair is, omdat de helling van de lijn in verschillende regio ‘ s verandert. In het eerste deel van de stretch genaamd de teen regio, de vezels in de pees beginnen uit te lijnen in de richting van de stress—dit heet uncrimping. In het lineaire gebied worden de fibrillen uitgerekt en in het faalgebied beginnen individuele vezels te breken. Een eenvoudig model van deze relatie kan worden geïllustreerd door veren in parallel: verschillende veren worden geactiveerd op verschillende lengtes van rek. Voorbeelden hiervan zijn te vinden in de problemen aan het eind van dit hoofdstuk. Ligamenten (weefsel dat bot met bot verbindt) gedragen zich op een vergelijkbare manier.

Figuur 5. Typische stress-stamcurve voor zoogdierpees. Drie regio ‘ s worden weergegeven: (1) de Regio (2) lineaire regio, en (3) faalregio.

In tegenstelling tot botten en pezen, die zowel sterk als elastisch moeten zijn, moeten de slagaders en longen zeer rekbaar zijn. De elastische eigenschappen van de slagaders zijn essentieel voor de bloedstroom. De druk in de slagaders neemt toe en arteriële wanden strekken zich uit wanneer het bloed uit het hart wordt gepompt. Wanneer de aortaklep sluit, daalt de druk in de slagaders en ontspannen de arteriële wanden om de bloedstroom te handhaven. Wanneer u uw pols voelt, voelt u precies dit—het elastische gedrag van de slagaders als het bloed doorstroomt met elke pomp van het hart. Als de slagaders stijf waren, zou je geen pols voelen. Het hart is ook een orgaan met speciale elastische eigenschappen. De longen breiden uit met spierinspanning als we inademen, maar ontspannen vrij en elastisch als we uitademen. Onze huid is bijzonder elastisch, vooral voor de jongen. Een jongere kan van 100 kg tot 60 kg gaan zonder zichtbare verzakking in zijn huid. De elasticiteit van alle organen neemt af met de leeftijd. Geleidelijke fysiologische veroudering door vermindering van elasticiteit begint in het begin van de jaren 20.

de vergelijking voor verandering in lengte wordt traditioneel herschikt en als volgt geschreven:

\displaystyle\frac{F}{A}=Y\frac{\Delta{L}}{L_0}.

de verhouding van kracht tot oppervlakte, \ frac{F}{A}, wordt gedefinieerd als spanning (gemeten in N/m2), en de verhouding van de verandering in lengte tot lengte, \frac{\Delta{L}}{L_0}, wordt gedefinieerd als spanning (een eenheidloze hoeveelheid). Met andere woorden, stress = y × stam.

in deze vorm is de vergelijking analoog aan Hooke ‘ s wet, met spanning analoog aan kracht en spanning analoog aan vervorming. Als we deze vergelijking opnieuw herschikken naar de vorm

\displaystyle{F}=YA\frac{\Delta{L}}{L_0},

zien we dat het hetzelfde is als Hooke ‘ s wet met een proportionaliteitsconstante

\displaystyle{k}=\frac{YA}{L_0}.

dit algemene idee-dat de kracht en de vervorming die het veroorzaakt proportioneel zijn voor kleine vervormingen-is van toepassing op veranderingen in lengte, zijwaartse buiging en veranderingen in volume.

zijwaartse spanning: Schuifmodulus

Figuur 6 illustreert wat wordt bedoeld met een zijwaartse spanning of een afschuifkracht. Hier wordt de vervorming Δx genoemd en staat deze loodrecht op L0, in plaats van parallel zoals bij spanning en compressie. Afschuifvervorming gedraagt zich op dezelfde manier als spanning en compressie en kan worden beschreven met soortgelijke vergelijkingen. De uitdrukking voor afschuifvervorming is \displaystyle \ Delta{x}= \ frac{1}{S} \ frac{F}{A}L_0, waarbij S de afschuifmodulus is (zie Tabel 1) en F de kracht is die loodrecht op L0 wordt uitgeoefend en evenwijdig is aan de doorsnede A. nogmaals, om te voorkomen dat het object versnelt, worden er eigenlijk twee gelijke en tegengestelde krachten F uitgeoefend op tegenover elkaar liggende vlakken, zoals weergegeven in Figuur 6. De vergelijking is logisch – bijvoorbeeld, is het gemakkelijker om een lange dunne potlood (kleine A) dan een korte dikke, en beide zijn gemakkelijker gebogen dan soortgelijke stalen staven (grote S).

Figuur 6. De afschuifkrachten worden loodrecht op de lengte L0 uitgeoefend en evenwijdig aan Gebied A, waardoor een vervorming Δx ontstaat. Verticale krachten worden niet getoond, maar er moet rekening mee worden gehouden dat naast de twee afschuifkrachten, F, er ondersteunende krachten moeten zijn om het object niet te laten roteren. De verstorende effecten van deze ondersteunende krachten worden genegeerd in deze behandeling. Het gewicht van het object wordt ook niet weergegeven, omdat het meestal verwaarloosbaar is in vergelijking met krachten die groot genoeg zijn om significante vervormingen te veroorzaken.

onderzoek van de schuifmoduli in Tabel 1 toont enkele veelzeggende patronen. Bijvoorbeeld, shear moduli zijn minder dan Young ‘ s moduli voor de meeste materialen. Bot is een opmerkelijke uitzondering. Zijn schuifmodulus is niet alleen groter dan de modulus van zijn jongen, maar hij is net zo groot als die van staal. Dit is een reden dat botten lang en relatief dun kunnen zijn. Botten kunnen lasten dragen die vergelijkbaar zijn met die van beton en staal. De meeste botbreuken worden niet veroorzaakt door compressie maar door overmatig draaien en buigen.

de wervelkolom (bestaande uit 26 door schijven gescheiden wervelsegmenten) vormt de belangrijkste ondersteuning voor het hoofd en het bovenste deel van het lichaam. De wervelkolom heeft een normale kromming voor stabiliteit, maar deze kromming kan worden verhoogd, wat leidt tot verhoogde afschuifkrachten op de onderste wervels. Schijven zijn beter bestand tegen compressiekrachten dan afschuifkrachten. Omdat de wervelkolom niet verticaal is, oefent het gewicht van het bovenlichaam een deel van beide uit. Zwangere vrouwen en mensen met overgewicht (met grote buikbuik) moeten hun schouders naar achteren bewegen om evenwicht te behouden, waardoor de kromming in hun wervelkolom toeneemt en zo de afschuifcomponent van de stress toeneemt. Een verhoogde hoek als gevolg van meer kromming verhoogt de afschuifkrachten langs het vlak. Deze hogere schuifkrachten verhogen het risico op rugletsel door gescheurde schijven. De lumbosacrale schijf (de wigvormige schijf onder de laatste wervels) is bijzonder in gevaar vanwege de locatie.

De schuifmoduli voor beton en baksteen zijn zeer klein; ze zijn te sterk variabel om te worden vermeld. Beton gebruikt in gebouwen kan compressie weerstaan, zoals in pilaren en bogen, maar is zeer slecht tegen afschuiving, zoals zou kunnen worden aangetroffen in zwaar beladen vloeren of tijdens aardbevingen. Moderne constructies werden mogelijk gemaakt door het gebruik van staal en staalbeton. Bijna per definitie hebben vloeistoffen en gassen afschuifmoduli bijna nul, omdat ze stromen als reactie op afschuifkrachten.

Voorbeeld 3. Berekening van de kracht die nodig is om te vervormen: die spijker buigt niet veel onder een belasting

vind de massa van het beeld hangend aan een stalen spijker zoals afgebeeld in Figuur 7, gezien het feit dat de spijker buigt slechts 1,80 µm. (Stel dat de schuifmodulus bekend is bij twee significante cijfers.)

Figuur 7. Zijaanzicht van een spijker met een foto eraan gehangen. De nagel buigt zeer licht (getoond veel groter dan de werkelijke) vanwege het afschuifeffect van het ondersteunde gewicht. Ook wordt de opwaartse kracht van de muur op de nagel getoond, wat illustreert dat er gelijke en tegengestelde krachten worden uitgeoefend over tegenovergestelde doorsneden van de nagel. Zie voorbeeld 3 voor een berekening van de massa van het beeld.

strategie

De kracht F op de nagel (waarbij het eigen gewicht van de nagel wordt verwaarloosd) is het gewicht van de afbeelding w. Als we w kunnen vinden, dan is de massa van de afbeelding gewoon \frac{w}{g}. De vergelijking \displaystyle\Delta{x}=\frac{1}{N}\frac{F}{A}L_0 kan worden opgelost voor F.

Oplossing

het Oplossen van de vergelijking \displaystyle\Delta{x}=\frac{1}{N}\frac{F}{A}L_0 voor F, zien we dat alle andere hoeveelheden kan worden gevonden:

\displaystyle{F}=\frac{SA}{L_0}\Delta{x}

S is te vinden in Tabel 1 en S = 80 × 109 N/m2. De straal r is 0,750 mm (zoals te zien in de figuur), dus de doorsnede is a = nr2 = 1,77 × 10-6 m2.

De waarde voor L0 is ook weergegeven in de figuur. Dus,

\displaystyle{F}=\frac{\left(80\times10^9\text{ N/m}^2\right)\left(1.77\times10^{-6}\text{ m}^2\right)}{\left(5.00\times10^{-3}\text{ m}\right)}\left(1.80\times10^{-6}\text{ m}\right)=51\text{ N}

Dit 51 N kracht is het gewicht w van de afbeelding, zodat de afbeelding van de massa m=\frac{b}{h}=\frac{F}{g}=5.2\text{ kg}.

discussie

Dit is een vrij groot beeld, en het is indrukwekkend dat de nagel slechts 1,80 µm buigt—een hoeveelheid die niet op te sporen is voor het blote oog.

volumemutaties: Bulkmodulus

Een object wordt in alle richtingen gecomprimeerd als de krachten naar binnen gelijkmatig op alle oppervlakken worden uitgeoefend zoals in Figuur 8. Het is relatief eenvoudig om gassen te comprimeren en extreem moeilijk om vloeistoffen en vaste stoffen te comprimeren. Bijvoorbeeld, lucht in een wijnfles wordt gecomprimeerd wanneer het wordt gekurkt. Maar als je probeert kurken een rand-volle fles, kunt u de wijn niet comprimeren—sommige moeten worden verwijderd als de kurk moet worden ingebracht. De reden voor deze verschillende compressibilities is dat atomen en moleculen worden gescheiden door grote lege ruimtes in gassen, maar dicht bij elkaar verpakt in vloeistoffen en vaste stoffen. Om een gas te comprimeren, moet je de atomen en moleculen dichter bij elkaar dwingen. Om vloeistoffen en vaste stoffen te comprimeren, moet je hun atomen en moleculen comprimeren, en zeer sterke elektromagnetische krachten in hen verzetten zich tegen deze compressie.

Figuur 8. Een innerlijke kracht op alle oppervlakken comprimeert deze kubus. De volumeverandering is evenredig met de kracht per oppervlakte-eenheid en het oorspronkelijke volume, en is gerelateerd aan de samendrukbaarheid van de stof.

We kunnen de compressie of volumevervorming van een object beschrijven met een vergelijking. Ten eerste merken we op dat een kracht “gelijkmatig toegepast” gedefinieerd is om dezelfde spanning te hebben, of de verhouding van kracht tot gebied \frac{F}{A} Op alle oppervlakken. De geproduceerde vervorming is een verandering in volume ΔV, die blijkt te gedragen zeer vergelijkbaar met de afschuiving, spanning en compressie eerder besproken. (Dit is niet verwonderlijk, omdat een compressie van het gehele object gelijk is aan het comprimeren van elk van de drie dimensies.) De relatie tussen de volumeverandering en andere fysische grootheden wordt gegeven door \displaystyle\Delta{V} = \ frac{1}{B} \ frac{F}{A}V_0, waarbij B de bulkmodulus is( zie Tabel 1), V0 het oorspronkelijke volume is, en \frac{F}{A} de kracht per oppervlakte-eenheid die gelijkmatig naar binnen wordt uitgeoefend op alle oppervlakken. Merk op dat er geen bulkmoduli worden gegeven voor gassen.

Wat zijn enkele voorbeelden van bulkcompressie van vaste stoffen en vloeistoffen? Een praktisch voorbeeld is de vervaardiging van industriële diamanten door koolstof samen te persen met een extreem grote kracht per oppervlakte-eenheid. De koolstofatomen herschikken hun kristallijne structuur in het meer dicht opeengepakte patroon van diamanten. In de natuur vindt een soortgelijk proces diep onder de grond plaats, waar extreem grote krachten het gevolg zijn van het gewicht van het bovenliggende materiaal. Een andere natuurlijke bron van grote drukkrachten is de druk die wordt veroorzaakt door het gewicht van water, vooral in diepe delen van de oceanen. Water oefent een innerlijke kracht uit op alle oppervlakken van een ondergedompeld object, en zelfs op het water zelf. Op grote dieptes wordt water meetbaar samengeperst, zoals het volgende voorbeeld illustreert.

omgekeerd worden zeer grote krachten gecreëerd door vloeistoffen en vaste stoffen wanneer ze proberen uit te breiden, maar worden beperkt om dit te doen—wat gelijk staat aan het comprimeren tot minder dan hun normale volume. Dit komt vaak voor wanneer een ingesloten materiaal opwarmt, omdat de meeste materialen uitzetten wanneer hun temperatuur stijgt. Als de materialen zijn strak beperkt, ze vervormen of breken hun container. Een ander veel voorkomend voorbeeld doet zich voor wanneer water bevriest. Water zet, in tegenstelling tot de meeste materialen, uit als het bevriest, en het kan gemakkelijk een kei breken, een biologische cel breken, of een motorblok kraken dat in de weg staat.

andere vormen van vervormingen, zoals torsie of draaien, gedragen zich analoog aan de spanning, afschuiving en bulk vervormingen die hier worden besproken.

Sectieoverzicht

• Hooke ‘ s wet wordt gegeven door F = K \ Delta{L}, waarbij \Delta{L} de hoeveelheid vervorming (de verandering in lengte) is, F de uitgeoefende kracht is, en k een proportionaliteitsconstante is die afhangt van de vorm en samenstelling van het object en de richting van de kracht. De relatie tussen de vervorming en de toegepaste kracht kan ook geschreven worden als \displaystyle\Delta L=\frac{1}{Y}\frac{F}{A}{L}_{0}, waarbij Y de modulus van Young is, die afhangt van de stof, A de doorsnede is en {L}_{0} de oorspronkelijke lengte.
• de verhouding tussen kracht en oppervlakte, \ frac{F}{A}, wordt gedefinieerd als spanning, gemeten in N / m2.
• de verhouding tussen de verandering in lengte en lengte, \ frac {\Delta L}{{L}_{0}}, wordt gedefinieerd als stam (een eenheidloze hoeveelheid). Met andere woorden, \text{stress}=Y\times\text{strain}.
• de uitdrukking voor afschuifvervorming is \displaystyle \ Delta x= \ frac{1}{S} \ frac{F}{A}{L}_{0}, waarbij S de afschuifmodulus is en F de kracht die loodrecht op {L}_{\text{0}} wordt uitgeoefend en evenwijdig is aan de doorsnede A.
• de relatie tussen de volumeverandering en andere fysische grootheden wordt gegeven door \displaystyle \ Delta V= \ frac{1}{B} \ frac{F}{A}{V}_{0}, waarbij B de bulkmodulus is, {V}_{\text{0}} het oorspronkelijke volume is, en \frac{F}{A} de kracht per oppervlakte-eenheid die gelijkmatig op alle oppervlakken naar binnen wordt uitgeoefend.

problemen & oefeningen

1. Tijdens een circusact zwaait een performer ondersteboven hangend aan een trapeze die een andere, ook ondersteboven, performer aan de benen vasthoudt. Als de opwaartse kracht op de onderste performer drie keer haar gewicht is, hoeveel strekken de botten (het dijbeen) in haar bovenbenen uit? U kunt aannemen dat elk gelijk is aan een uniforme staaf 35,0 cm lang en 1,80 cm in straal. Haar massa is 60,0 kg.tijdens een worstelwedstrijd staat een worstelaar van 150 kg kort op één hand tijdens een manoeuvre om zijn al stervende tegenstander in de war te brengen. Met hoeveel verkort het bovenarmbeen in lengte? Het bot kan worden weergegeven door een uniforme staaf 38,0 cm in lengte en 2,10 cm in straal.
2. (a) het lood in potloden is een grafietcompositie met een Young ‘ s modulus van ongeveer 1 × 109 N/m2. Bereken de verandering in lengte van het lood in een automatisch potlood als je het recht in het potlood tikt met een kracht van 4.0 N. Het lood is 0,50 mm in diameter en 60 mm lang. (b) Is het antwoord redelijk? Dat wil zeggen, lijkt het in overeenstemming te zijn met wat je hebt waargenomen bij het gebruik van potloden?
3. tv-antennes zijn de hoogste kunstmatige structuren op aarde. In 1987 plaatste een natuurkundige van 72,0 kg zichzelf en 400 kg apparatuur aan de top van een 610 m hoge antenne om zwaartekrachtexperimenten uit te voeren. Met hoeveel werd de antenne gecomprimeerd, als we het gelijk stellen aan een stalen cilinder 0,150 m in straal?
4. (a)hoeveel strekt een bergbeklimmer van 65,0 kg haar nylon touw met een diameter van 0,800 cm uit wanneer ze 35,0 m onder een rots hangt? (b) lijkt het antwoord overeen te komen met wat u hebt waargenomen voor nylon touwen? Zou het zinvol zijn als het touw eigenlijk een bungee koord was?
5. een holle aluminium vlaggenmast van 20,0 m is qua stijfheid gelijk aan een massieve cilinder met een diameter van 4,00 cm. Een sterke wind buigt de pool zoveel als een horizontale kracht van 900 N die aan de top wordt uitgeoefend zou doen. Hoe ver naar de zijkant buigt de bovenkant van de paal?
6. wanneer een oliebron wordt geboord, draagt elk nieuw deel van de boorpijp zijn eigen gewicht en dat van de pijp en de boor eronder. Bereken de stretch in een nieuwe 6.00 m lengte van stalen buis die 3,00 km pijp met een massa van 20,0 kg/m en een 100 kg boor ondersteunt. De pijp is equivalent in stijfheid aan een massieve cilinder 5,00 cm in diameter.
7. Bereken de kracht die een pianotuner uitoefent om een stalen pianodraad van 8,00 mm te rekken, als de draad oorspronkelijk 0,850 mm in diameter en 1,35 m lang is.
8. een wervel wordt onderworpen aan een afschuifkracht van 500 N. Zoek de afschuifvervorming, waarbij de wervel een cilinder is van 3,00 cm hoog en een diameter van 4,00 cm.
9. een schijf tussen wervels in de wervelkolom wordt onderworpen aan een afschuifkracht van 600 N. Zoek de afschuifvervorming, waarbij het de afschuifmodulus van 1 × 109 N/m2 heeft. De schijf is gelijk aan een vaste cilinder 0,700 cm hoog en 4,00 cm in diameter.
10. wanneer u een potloodwisser gebruikt, oefent u een verticale kracht uit van 6,00 N op een afstand van 2,00 cm van het hardhouten gumgewricht. Het potlood heeft een diameter van 6,00 mm en wordt onder een hoek van 20,0 º ten opzichte van het horizontale vlak gehouden. (a) hoeveel buigt het hout loodrecht op zijn lengte? (b) hoeveel wordt het in de lengte gecomprimeerd?om rekening te houden met het effect van draden die aan palen hangen, nemen we gegevens uit Figuur 9, waarin spanningen in draden die een stoplicht ondersteunen werden berekend. De linker draad maakte een hoek 30,0 º onder de horizontale met de bovenkant van de paal en droeg een spanning van 108 N. de 12,0 m hoge holle aluminium paal is equivalent in stijfheid aan een 4,50 cm diameter massieve cilinder. (A) Hoe ver is het gebogen naar de zijkant? (b) met hoeveel wordt het gecomprimeerd?
    

    figuur 9. Aan twee draden hangt een stoplicht. b) een aantal van de betrokken krachten. (C) Hier worden alleen krachten weergegeven die op het systeem inwerken. Het schema van de vrije carrosserie voor het verkeerslicht wordt ook weergegeven. (d) de krachten geprojecteerd op verticale (y) en horizontale (x) assen. De horizontale componenten van de spanningen moeten opheffen, en de som van de verticale componenten van de spanningen moet gelijk zijn aan het gewicht van het stoplicht. e) het diagram van de vrije carrosserie toont de verticale en horizontale krachten die op het verkeerslicht inwerken.

11. een landbouwer die druivensap maakt, vult een glazen fles tot de rand en sluit deze stevig af. Het sap zet meer uit dan het glas wanneer het opwarmt, zodanig dat het volume met 0,2% toeneemt (dat wil zeggen \frac{\Delta V}{V}_{0}=2\times {\text{10}}^{-3}) ten opzichte van de beschikbare ruimte. Bereken de grootte van de normale kracht die door het sap per vierkante centimeter wordt uitgeoefend als de bulkmodulus 1,8 × 109 N/m2 is, ervan uitgaande dat de fles niet breekt. Gezien je antwoord, denk je dat de fles het zal overleven?
12. (a) wanneer water bevriest, neemt het volume met 9,05% toe (dat wil zeggen, \frac{\Delta V}{V}_{0}=9\text{.} \ text{05} \ times {\text{10}}^{-2}). Welke kracht per oppervlakte-eenheid kan water uitoefenen op een container wanneer het bevriest? (Het is aanvaardbaar om de bulkmodulus van water in dit probleem te gebruiken.) (b) is het verrassend dat dergelijke krachten motorblokken, rotsblokken en dergelijke kunnen breken?
13. dit probleem keert terug naar de koorddanser die in Figuur 10 werd bestudeerd, die een spanning van 3,94 × 103 N creëerde in een draad die een hoek maakte van 5,0 º Onder het horizontale vlak met elke ondersteunende pool. Bereken hoeveel deze spanning de staaldraad rekt als deze oorspronkelijk 15 m lang en 0,50 cm in diameter was.
    

    Figuur 10. het gewicht van een koorddanser zorgt ervoor dat een draad met 5,0 graden zakt. Het systeem van belang hier is het punt in de draad waar de koorddanser staat.

14. De Pool in Figuur 11 bevindt zich in een bocht van 90,0 º in een hoogspanningsleiding en wordt daarom aan meer afschuifkracht onderworpen dan polen in rechte delen van de lijn. De spanning in elke lijn is 4,00 × 104 N, onder de getoonde hoeken. De paal is 15,0 m lang, heeft een diameter van 18,0 cm,en kan worden beschouwd als de helft van de stijfheid van hardhout. (a) Bereken de compressie van de pool. (b) vinden hoeveel het buigt en in welke richting. (C) vind de spanning in een man draad gebruikt om de paal recht te houden als het is bevestigd aan de bovenkant van de paal onder een hoek van 30,0 º met de verticale. (Duidelijk, de man draad moet in de tegenovergestelde richting van de bocht.)

Figuur 11. Deze telefoonpaal staat in een bocht van 90º in een stroomleiding. Aan de bovenkant van de paal is een man draad bevestigd onder een hoek van 30º met de verticale.

Woordenlijst

sleep kracht: FD, gevonden worden evenredig met het kwadraat van de snelheid van het object; wiskundig

\begin{array}\\F_{\text{D}}\propto{v}^2\\F_{\text{D}}=\frac{1}{2}C\rho{Av}^2\end{array},

waar C is de drag-coëfficiënt A is de oppervlakte van het object naar de vloeistof, en ρ is de dichtheid van de vloeistof.

Stokes’ law: Fs = 6nrnv, waarbij r de straal van het object is, η de viscositeit van de vloeistof, en v De snelheid van het object.