Odds
in statistieken zijn odds een uitdrukking van relatieve waarschijnlijkheden, meestal geciteerd als de odds in het voordeel. De kansen (in het voordeel) van een gebeurtenis of een propositie is de verhouding tussen de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis zal gebeuren en de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis niet zal gebeuren. Wiskundig gezien is dit een Bernoulli-proef, omdat het precies twee uitkomsten heeft. In het geval van een eindige steekproefruimte van even waarschijnlijke uitkomsten, is dit de verhouding tussen het aantal uitkomsten waar de gebeurtenis plaatsvindt en het aantal uitkomsten waar de gebeurtenis niet plaatsvindt; deze kunnen worden weergegeven als W en L (voor winsten en verliezen) of S en F (voor succes en mislukking). Bijvoorbeeld, de kans dat een willekeurig gekozen dag van de week is een weekend zijn twee tot vijf (2:5), Als dagen van de week vormen een steekproef ruimte van zeven uitkomsten, en de gebeurtenis plaatsvindt voor twee van de uitkomsten (zaterdag en zondag), en niet voor de andere vijf. Omgekeerd, gegeven kansen als een verhouding van gehele getallen, kan dit worden weergegeven door een waarschijnlijkheidsruimte van een eindig aantal even waarschijnlijke uitkomsten. Deze definities zijn gelijkwaardig, aangezien het delen van beide termen in de verhouding door het aantal uitkomsten de waarschijnlijkheden oplevert: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . ik heb geen idee. 2:5=(2/7):(5/7).}
omgekeerd is de odds tegen de tegenovergestelde verhouding. Bijvoorbeeld, de kans dat een willekeurige dag van de week een weekend is 5:2. “odds of so many to so many on (or against) “verwijst naar odds – de verhouding van aantallen (even waarschijnlijke) uitkomsten in het voordeel en tegen (of vice versa);” kansen van zoveel , in zoveel ” verwijst naar waarschijnlijkheid – het aantal (even gelijke) uitkomsten in het voordeel ten opzichte van het aantal voor en tegen gecombineerd. Bijvoorbeeld, “kansen van een weekend zijn 2 tot 5″, terwijl”kansen van een weekend zijn 2 op 7”. In casual gebruik worden de woorden odds en chances (of chance) vaak door elkaar gebruikt om vaag een bepaalde mate van odds of waarschijnlijkheid aan te geven, hoewel de bedoelde betekenis kan worden afgeleid door op te merken of het voorzetsel tussen de twee getallen aan of in is.
mathematische relatiededit
Odds kunnen worden uitgedrukt als een verhouding van twee getallen, in welk geval het niet uniek is – het schalen van beide termen met dezelfde factor verandert de verhoudingen niet: 1:1 odds en 100: 100 odds zijn hetzelfde (even odds). Odds kunnen ook worden uitgedrukt als een getal, door de termen te delen in de verhouding – in dit geval is het uniek (verschillende fracties kunnen hetzelfde rationale getal vertegenwoordigen). Odds as a ratio, odds as a number, and probability (also a number) are related by simple formules, and similarly odds in favor and odds against, and probability of success and probability of failure have simple relations. Odds variëren van 0 tot oneindig, terwijl waarschijnlijkheden variëren van 0 tot 1, en dus vaak worden weergegeven als een percentage tussen 0% en 100%: omkeren van de verhouding schakelt odds voor met odds tegen, en evenzo kans op succes met kans op mislukking.
gegeven odds (in het voordeel) als de verhouding W:L (Wins:Losses), de odds in het voordeel (als een getal) o f {\displaystyle o_{f}}
en odds tegen (als een getal) o a {\displaystyle o_{a}}
kan worden berekend door simpelweg te delen, en zijn multiplicatieve inversies: o f = W / L = 1 / o a o a = L / B = 1 / o f o f ⋅ o a = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/B=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}}
Echter, gegeven odds ratio, de kans op succes of mislukking kan worden berekend door te delen, en de kans op succes en kansen op falen som van de eenheid (één), omdat ze de enige mogelijke uitkomsten. In geval van een eindig aantal uitkomsten even waarschijnlijk, dit kan geïnterpreteerd worden als het aantal resultaten waar het evenement plaatsvindt te delen door het totale aantal gebeurtenissen:
p = W / ( W + L ) = 1 − q-q = L / ( B + L ) = 1 − p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(B+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}
Gegeven een kans p, de kansen verhouding p : q {\displaystyle p:q}
(kans op succes tot kans op mislukking), en de odds als getallen kunnen worden berekend door te delen: h o o f d = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q o a = q / p = ( 1 − p ) / p = q / ( 1 − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
Omgekeerd, gegeven de kansen van een aantal o f , {\displaystyle o_{f},}
dit kan worden weergegeven als de verhouding tussen o f : 1 , {\displaystyle o_{f}:1,}
of omgekeerd 1 : ( 1/o f ) = 1 : o a , {\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}
waaruit de kans op succes of mislukking kan worden berekend: p = o f / ( h o o f d + 1 ) = 1 / ( i + 1 ) q = o a / o a + 1 ) = 1 / ( h o o f d + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{aligned}}}
Dus als uitgedrukt als een breuk met een teller 1, waarschijnlijkheid en kansen verschillen precies 1 in de noemer: een kans van 1 op 100 (1/100 = 1%) hetzelfde is als de odds van 1 tot 99 (1/99 = 0.0101… = 0.01), terwijl odds van 1 tot 100 (1/100 = 0,01) hetzelfde is als een kans van 1 op 101 (1/101 = 0,00990099… = 0.0099). Dit is een klein verschil als de kans klein is (dicht bij nul, of “long odds”), maar is een groot verschil als de kans groot is (dicht bij één).
Deze worden uitgewerkt voor enkele eenvoudige odds:
| odds (ratio) | o f {\displaystyle o_{f}}
|
o a {\displaystyle o_{a}}
|
p {\displaystyle p}
 |
q {\displaystyle q}
 |
|---|---|---|---|---|
| 1:1 | 1 | 1 | 50% | 50% |
| 0:1 | 0 | ∞ | 0% | 100% |
| 1:0 | ∞ | 0 | 100% | 0% |
| 2:1 | 2 | 0.5 | 67% | 33% |
| 1:2 | 0.5 | 2 | 33% | 67% |
| 4:1 | 4 | 0.25 | 80% | 20% |
| 1:4 | 0.25 | 4 | 20% | 80% |
| 9:1 | 9 | 0.1 | 90% | 10% |
| 10:1 | 10 | 0.1 | 90.90% | 9.09% |
| 99:1 | 99 | 0.01 | 99% | 1% |
| 100:1 | 100 | 0,01 | 99.0099% | 0,9900% |
deze transformaties hebben bepaalde speciale geometrische eigenschappen: de conversies tussen odds for en odds against (resp. kans op succes met kans op mislukking) en tussen kansen en kans zijn alle Möbius transformaties (fractionele lineaire transformaties). Ze worden dus gespecificeerd door drie punten (scherp 3-transitief). Swapping odds for and odds against swaps 0 and infinity, fixing 1, while swapping probability of success with probability of failure swaps 0 and 1, fixing .5; Dit zijn beide orde 2, vandaar cirkelvormige transformaties. Het omzetten van odds naar waarschijnlijkheid fixes 0, stuurt oneindigheid naar 1, en stuurt 1 naar .5 (even odds zijn 50% waarschijnlijk), en omgekeerd; dit is een parabolische transformatie.
Toepassingenedit
in waarschijnlijkheidstheorie en statistiek kunnen odds en soortgelijke ratio ‘ s natuurlijker of handiger zijn dan waarschijnlijkheden. In sommige gevallen worden de log-odds gebruikt, wat de logit van de waarschijnlijkheid is. De meeste eenvoudig, odds worden vaak vermenigvuldigd of verdeeld, en log converteert vermenigvuldiging naar optellen en delen naar Aftrekken. Dit is vooral belangrijk in het logistieke model, waarin de log-odds van de doelvariabele een lineaire combinatie van de waargenomen variabelen zijn.
soortgelijke ratio ‘ s worden elders in de statistieken gebruikt; van centraal belang is de waarschijnlijkheidsratio in de likelihoodist-statistieken, die in de Bayesiaanse statistieken als Bayes-factor wordt gebruikt.
Odds zijn bijzonder nuttig in problemen van sequentiële besluitvorming, zoals bijvoorbeeld in problemen van hoe te stoppen (online) op een laatste specifieke gebeurtenis die wordt opgelost door het odds-algoritme.
de odds zijn een ratio van waarschijnlijkheden; een odds ratio is een ratio van odds, dat wil zeggen een ratio van Ratio ‘ s van waarschijnlijkheden. Odds-ratio ‘ s worden vaak gebruikt in de analyse van klinische proeven. Hoewel ze nuttige wiskundige eigenschappen hebben, kunnen ze contra-intuïtieve resultaten produceren: een gebeurtenis met een kans van 80% is vier keer meer kans om te gebeuren dan een gebeurtenis met een kans van 20%, maar de kansen zijn 16 keer hoger op de minder waarschijnlijke gebeurtenis (4-1 tegen, of 4) dan op de meest waarschijnlijke een (1-4, of 4-1 op, of 0.25).
Voorbeeld # 1 Er zijn 5 Roze knikkers, 2 blauwe knikkers en 8 paarse knikkers. Wat zijn de kansen om een blauwe knikker te kiezen?
antwoord: de kansen voor een blue marble zijn 2: 13. Men kan op gelijkwaardige wijze zeggen, dat de kansen 13: 2 tegen. Er zijn 2 van de 15 kansen voor blauw, 13 van de 15 tegen Blauw.
in waarschijnlijkheidstheorie en statistiek, waar de variabele p de waarschijnlijkheid is ten gunste van een binaire gebeurtenis, en de waarschijnlijkheid tegen de gebeurtenis daarom 1-p is, zijn “de kansen” van de gebeurtenis het quotiënt van de twee, of p 1 − p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}
. Deze waarde kan worden beschouwd als de relatieve waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis zal plaatsvinden, uitgedrukt als een breuk (als deze kleiner is dan 1), of een veelvoud (als deze gelijk is aan of groter is dan 1) van de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis niet zal plaatsvinden.
in het eerste voorbeeld bovenaan betekent zeggen dat de kans op een zondag “één tot zes” is of, minder gebruikelijk, “een zesde” betekent dat de kans op het willekeurig kiezen van een zondag een zesde is van de kans op het niet kiezen van een zondag. Terwijl de wiskundige waarschijnlijkheid van een gebeurtenis een waarde heeft in het bereik van nul tot één, liggen “de kansen” in het voordeel van dezelfde gebeurtenis tussen nul en oneindigheid. De odds tegen de gebeurtenis met waarschijnlijkheid gegeven als p zijn 1-p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}
. De kansen tegen zondag zijn 6: 1 of 6/1 = 6. Het is 6 keer zo waarschijnlijk dat een willekeurige dag geen zondag is.