Physik

Wir bewegen uns nun von der Betrachtung der Kräfte, die die Bewegung eines Objekts beeinflussen (wie Reibung und Widerstand), zu denen, die die Form eines Objekts beeinflussen. Wenn ein Bulldozer ein Auto gegen eine Wand drückt, bewegt sich das Auto nicht, aber es ändert merklich seine Form. Eine Formänderung durch Krafteinwirkung ist eine Verformung. Es ist bekannt, dass selbst sehr kleine Kräfte eine gewisse Verformung verursachen. Bei kleinen Verformungen werden zwei wichtige Eigenschaften beobachtet. Erstens kehrt das Objekt zu seiner ursprünglichen Form zurück, wenn die Kraft entfernt wird — das heißt, die Verformung ist elastisch für kleine Verformungen. Zweitens ist die Größe der Verformung proportional zur Kraft — das heißt, für kleine Verformungen wird das Hookesche Gesetz befolgt. In Gleichungsform ist das Hookesche Gesetz gegeben durch

F = kΔL,

wobei ΔL das Ausmaß der Verformung (z. B. die Längenänderung) ist, die durch die Kraft F erzeugt wird, und k eine Proportionalitätskonstante ist, die von der Form und Zusammensetzung des Objekts und der Richtung der Kraft abhängt. Beachten Sie, dass diese Kraft eine Funktion der Verformung ΔL ist — sie ist nicht konstant wie eine kinetische Reibungskraft. Wenn man dies auf

\displaystyle\Delta{L}=\frac{F}{k}

umstellt, wird deutlich, dass die Verformung proportional zur aufgebrachten Kraft ist. Abbildung 1 zeigt die Hookesche Beziehung zwischen der Ausdehnung ΔL einer Feder oder eines menschlichen Knochens. Bei Metallen oder Federn ist der geradlinige Bereich, auf den sich das Hookesche Gesetz bezieht, viel größer. Knochen sind spröde und der elastische Bereich ist klein und der Bruch abrupt. Schließlich wird eine ausreichend große Spannung auf das Material dazu führen, dass es bricht oder bricht.

Abbildung 1. Ein Diagramm der Verformung ΔL gegenüber der aufgebrachten Kraft F. Das gerade Segment ist der lineare Bereich, in dem das Hookesche Gesetz befolgt wird. Die Steigung der geraden Region ist \frac{1}{k}. Bei größeren Kräften ist der Graph gekrümmt, aber die Verformung ist immer noch elastisch — ΔL kehrt auf Null zurück, wenn die Kraft entfernt wird. Noch größere Kräfte verformen das Objekt permanent, bis es schließlich bricht. Die Form der Kurve in der Nähe der Fraktur hängt von mehreren Faktoren ab, einschließlich der Art und Weise, wie die Kraft F angewendet wird. Beachten Sie, dass in diesem Diagramm die Steigung kurz vor dem Bruch zunimmt, was darauf hinweist, dass ein kleiner Anstieg von F einen großen Anstieg von L in der Nähe des Bruchs erzeugt.

Die Proportionalitätskonstante k hängt von einer Reihe von Faktoren für das Material ab. Zum Beispiel dehnt sich eine Gitarrensaite aus Nylon, wenn sie festgezogen wird, und die Dehnung ΔL ist proportional zur aufgebrachten Kraft (zumindest für kleine Verformungen). Dickere Nylonsaiten und solche aus Stahl dehnen sich bei gleicher Kraft weniger aus, was bedeutet, dass sie ein größeres k haben (siehe Abbildung 2). Schließlich kehren alle drei Saiten zu ihren normalen Längen zurück, wenn die Kraft entfernt wird, vorausgesetzt, die Verformung ist gering. Die meisten Materialien verhalten sich auf diese Weise, wenn die Verformung kleiner ist als etwa 0,1% oder etwa 1 Teil in 103.

Abbildung 2. Die gleiche Kraft, in diesem Fall ein Gewicht (w), die auf drei verschiedene Gitarrensaiten gleicher Länge ausgeübt wird, erzeugt die drei verschiedenen Verformungen, die als schraffierte Segmente dargestellt sind. Die Schnur links ist dünnes Nylon, die in der Mitte ist dickeres Nylon und die rechte ist Stahl.

Wir betrachten nun drei spezifische Arten von Verformungen: Längenänderungen (Zug und Druck), seitliche Scherung (Spannung) und Volumenänderungen. Sofern nicht anders angegeben, werden alle Verformungen als gering angenommen.

Längenänderungen – Zug und Druck: Elastizitätsmodul

Eine Längenänderung ΔL entsteht, wenn auf einen Draht oder Stab parallel zu seiner Länge L0 eine Kraft ausgeübt wird, die ihn entweder dehnt (eine Spannung) oder komprimiert. (Siehe Abbildung 3.)

Abbildung 3. (Spannung. Die Stange wird um eine Länge ΔL gedehnt, wenn eine Kraft parallel zu ihrer Länge ausgeübt wird. (b) Kompression. Derselbe Stab wird durch Kräfte gleicher Größe in entgegengesetzter Richtung zusammengedrückt. Für sehr kleine Verformungen und gleichmäßige Materialien ist ΔL bei gleicher Zug- oder Druckgröße ungefähr gleich. Bei größeren Verformungen ändert sich die Querschnittsfläche, wenn der Stab zusammengedrückt oder gedehnt wird.

Experimente haben gezeigt, dass die Längenänderung (ΔL) nur von wenigen Variablen abhängt. Wie bereits erwähnt, ist ΔL proportional zur Kraft F und hängt von der Substanz ab, aus der das Objekt besteht. Zusätzlich ist die Längenänderung proportional zur ursprünglichen Länge L0 und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Drahtes oder Stabes. Zum Beispiel wird eine lange Gitarrensaite mehr als eine kurze und eine dicke Saite weniger als eine dünne Saite gedehnt. Wir können alle diese Faktoren zu einer Gleichung für ΔL kombinieren:

\displaystyle\Delta{L}=\frac{1}{Y}\text{ }\frac{F}{A}L_0,

wobei ΔL die Längenänderung, F die aufgebrachte Kraft, Y ein von der Substanz abhängiger Faktor, Elastizitätsmodul oder Elastizitätsmodul genannt wird, A die Querschnittsfläche und L0 die ursprüngliche Länge ist. Tabelle 1 listet Werte von Y für mehrere Materialien auf – diejenigen mit einem großen Y sollen eine große Zugfestigkeit haben, weil sie sich bei einer gegebenen Zug- oder Druckspannung weniger verformen.

Young-Module sind für Flüssigkeiten und Gase in Tabelle 1 nicht aufgeführt, da sie nicht nur in eine Richtung gedehnt oder komprimiert werden können. Beachten Sie, dass davon ausgegangen wird, dass das Objekt nicht beschleunigt, so dass tatsächlich zwei aufgebrachte Kräfte der Größe F in entgegengesetzte Richtungen wirken. Zum Beispiel werden die Saiten in Abbildung 3 durch eine Kraft der Größe w nach unten gezogen und von der Decke hochgehalten, die ebenfalls eine Kraft der Größe w ausübt.

Beispiel 1. Die Strecke eines langen Kabels

Hängeseile werden verwendet, um Gondeln in Skigebieten zu tragen. (Siehe Abbildung 4) Betrachten Sie ein Aufhängungsseil mit einer freitragenden Spannweite von 3 km. Berechnen Sie die Dehnung des Stahlkabels. Angenommen, das Kabel hat einen Durchmesser von 5,6 cm und die maximale Spannung, der es standhalten kann, beträgt 3,0 × 106 N.

Abbildung 4. Gondeln fahren im Skigebiet Gala Yuzawa in Japan entlang von Hängeseilen. (credit: Rudy Herman, Flickr)

Strategie

Die Kraft ist gleich der maximalen Spannung oder F = 3,0 × 106N. Die Querschnittsfläche beträgt nr2 = 2,46 × 10-3 m2. Die Gleichung \displaystyle\Delta{L}=\frac{1}{Y}\text{ }\frac{F}{A}L_0 kann verwendet werden, um die Längenänderung zu finden.

Lösung

Alle Größen sind bekannt. Also

\begin{array}{lll}\Delta L&& \left(\frac{1}{\text{210}\times {\text{10}}^{9}{\ text {N / m}}^{2}}\rechts)\links (\frac{3\text{.0\zeiten {\text{10}}^{6}\text{N}}{2.46\zeiten {10}^{-3}{\text{m}}^{2}}\rechts)\links(\text{3020 m}\rechts)\\ && \text{18 m}.\end{array}

Discussion

Dies ist eine ziemlich lange Strecke, aber nur etwa 0,6% der nicht unterstützten Länge. Auswirkungen der Temperatur auf die Länge können in diesen Umgebungen wichtig sein.

Knochen brechen im Großen und Ganzen nicht aufgrund von Spannung oder Kompression. Vielmehr brechen sie im Allgemeinen aufgrund eines seitlichen Aufpralls oder Biegens, was zu einem Scheren oder Reißen des Knochens führt. Das Verhalten von Knochen unter Spannung und Kompression ist wichtig, da es die Belastung bestimmt, die die Knochen tragen können. Knochen werden als tragende Strukturen wie Säulen in Gebäuden und Bäumen klassifiziert. Tragende Strukturen haben besondere Merkmale; säulen im Gebäude haben Stahlverstärkungsstäbe, während Bäume und Knochen faserig sind. Die Knochen in verschiedenen Teilen des Körpers dienen unterschiedlichen strukturellen Funktionen und sind anfällig für unterschiedliche Belastungen. So ist der Knochen oben im Femur in dünnen, durch Mark getrennten Schichten angeordnet, während die Knochen an anderen Stellen zylindrisch und mit Mark gefüllt oder nur fest sein können. Übergewichtige Menschen neigen aufgrund anhaltender Kompressionen in Knochengelenken und Sehnen zu Knochenschäden.

Ein weiteres biologisches Beispiel für Hookes Gesetz findet sich in Sehnen. Funktionell muss sich die Sehne (das Gewebe, das den Muskel mit dem Knochen verbindet) zunächst leicht dehnen, wenn eine Kraft ausgeübt wird, aber eine viel größere Rückstellkraft für eine größere Belastung bieten. Abbildung 5 zeigt eine Spannungs-Dehnungs-Beziehung für eine menschliche Sehne. Einige Sehnen haben einen hohen Kollagengehalt, so dass es relativ wenig Belastung oder Längenänderung gibt; andere, wie Stützsehnen (wie im Bein), können die Länge bis zu 10% ändern. Beachten Sie, dass diese Spannungs-Dehnungs-Kurve nichtlinear ist, da sich die Steigung der Linie in verschiedenen Bereichen ändert. Im ersten Teil der Dehnung, der Zehenregion, beginnen sich die Fasern in der Sehne in Richtung der Spannung auszurichten — dies wird als Uncrimping bezeichnet. Im linearen Bereich werden die Fibrillen gedehnt, und im Ausfallbereich beginnen einzelne Fasern zu brechen. Ein einfaches Modell dieser Beziehung kann durch parallele Federn veranschaulicht werden: Verschiedene Federn werden bei unterschiedlichen Dehnungslängen aktiviert. Beispiele hierfür finden Sie in den Problemen am Ende dieses Kapitels. Bänder (Gewebe, das Knochen mit Knochen verbindet) verhalten sich ähnlich.

Abbildung 5. Typische Spannungs-Dehnungs-Kurve für Säugetier Sehne. Es sind drei Bereiche dargestellt: (1) Zehenbereich (2) linearer Bereich und (3) Fehlerbereich.

Im Gegensatz zu Knochen und Sehnen, die sowohl stark als auch elastisch sein müssen, müssen Arterien und Lungen sehr dehnbar sein. Die elastischen Eigenschaften der Arterien sind essentiell für den Blutfluss. Der Druck in den Arterien steigt an und die Arterienwände dehnen sich aus, wenn das Blut aus dem Herzen gepumpt wird. Wenn die Aortenklappe schließt, sinkt der Druck in den Arterien und die Arterienwände entspannen sich, um den Blutfluss aufrechtzuerhalten. Wenn Sie Ihren Puls fühlen, fühlen Sie genau dies — das elastische Verhalten der Arterien, wenn das Blut mit jeder Pumpe des Herzens durchströmt. Wenn die Arterien starr wären, würden Sie keinen Puls fühlen. Das Herz ist auch ein Organ mit besonderen elastischen Eigenschaften. Die Lunge dehnt sich beim Einatmen mit Muskelkraft aus, entspannt sich aber beim Ausatmen frei und elastisch. Unsere Häute sind besonders elastisch, besonders für die Jugend. Ein junger Mensch kann von 100 kg auf 60 kg ohne sichtbaren Durchhang in der Haut gehen. Die Elastizität aller Organe nimmt mit zunehmendem Alter ab. Die allmähliche physiologische Alterung durch Verringerung der Elastizität beginnt in den frühen 20er Jahren.

Die Gleichung für die Längenänderung wird traditionell neu angeordnet und in der folgenden Form geschrieben:

\displaystyle\frac{F}{A}=Y\frac{\Delta{L}}{L_0}.

Das Verhältnis von Kraft zu Fläche, \frac{F}{A}, ist definiert als Spannung (gemessen in N/m2), und das Verhältnis der Längenänderung zu Länge, \frac{\Delta{L}}{L_0}, ist definiert als Dehnung (eine einheitslose Größe). Mit anderen Worten, Stress = Y × Belastung.

In dieser Form ist die Gleichung analog zum Hookeschen Gesetz, wobei Spannung analog zur Kraft und Dehnung analog zur Verformung ist. Ordnet man diese Gleichung wieder in die Form

\displaystyle{F}=YA\frac{\Delta{L}}{L_0} um,

sieht man, dass sie dem Hookschen Gesetz mit einer Proportionalitätskonstante entspricht

\displaystyle{k}=\frac{YA}{L_0}.

Diese allgemeine Idee — dass die Kraft und die Verformung, die sie verursacht, für kleine Verformungen proportional sind — gilt für Längenänderungen, seitliche Biegung und Volumenänderungen.

Seitliche Spannung: Schubmodul

Abbildung 6 veranschaulicht, was unter einer seitlichen Spannung oder einer Scherkraft zu verstehen ist. Hier wird die Verformung Δx genannt und ist senkrecht zu L0 und nicht parallel wie bei Zug und Druck. Die Scherverformung verhält sich ähnlich wie Zug und Druck und kann mit ähnlichen Gleichungen beschrieben werden. Der Ausdruck für die Scherverformung ist \displaystyle \Delta{x} =\frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0, wobei S der Schermodul ist (siehe Tabelle 1) und F die Kraft ist, die senkrecht zu L0 und parallel zur Querschnittsfläche A ausgeübt wird. Die Gleichung ist logisch -zum Beispiel ist es einfacher, einen langen dünnen Stift (kleines A) als einen kurzen dicken zu biegen, und beide lassen sich leichter biegen als ähnliche Stahlstäbe (großes S).

Abbildung 6. Senkrecht zur Länge L0 und parallel zur Fläche A werden Scherkräfte aufgebracht, die zu einer Verformung Δx führen. Vertikale Kräfte sind nicht dargestellt, es ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu den beiden Scherkräften F Stützkräfte vorhanden sein müssen, um das Objekt am Drehen zu hindern. Die verzerrenden Wirkungen dieser Stützkräfte werden bei dieser Behandlung ignoriert. Das Gewicht des Objekts wird ebenfalls nicht gezeigt, da es im Vergleich zu Kräften, die groß genug sind, um signifikante Verformungen zu verursachen, normalerweise vernachlässigbar ist.

Untersuchung der Schermodule in Tabelle 1 zeigt einige aussagekräftige Muster. Zum Beispiel sind Schermodule für die meisten Materialien kleiner als Youngs Module. Knochen ist eine bemerkenswerte Ausnahme. Sein Schermodul ist nicht nur größer als sein Elastizitätsmodul, sondern auch so groß wie das von Stahl. Dies ist ein Grund dafür, dass Knochen lang und relativ dünn sein können. Knochen können Lasten tragen, die mit denen von Beton und Stahl vergleichbar sind. Die meisten Knochenbrüche werden nicht durch Kompression, sondern durch übermäßiges Verdrehen und Biegen verursacht.

Die Wirbelsäule (bestehend aus 26 durch Scheiben getrennten Wirbelsegmenten) bildet die Hauptstütze für Kopf und Oberkörper. Die Wirbelsäule hat eine normale Krümmung für Stabilität, aber diese Krümmung kann erhöht werden, was zu erhöhten Scherkräften an den unteren Wirbeln führt. Scheiben halten Druckkräften besser stand als Scherkräfte. Da die Wirbelsäule nicht vertikal ist, übt das Gewicht des Oberkörpers einen Teil von beidem aus. Schwangere Frauen und Menschen, die übergewichtig sind (mit großen Bauchmuskeln), müssen ihre Schultern zurückbewegen, um das Gleichgewicht zu halten, wodurch die Krümmung ihrer Wirbelsäule und damit die Scherkomponente der Belastung erhöht wird. Ein vergrößerter Winkel aufgrund einer stärkeren Krümmung erhöht die Scherkräfte entlang der Ebene. Diese höheren Scherkräfte erhöhen das Risiko von Rückenverletzungen durch gerissene Bandscheiben. Die lumbosakrale Bandscheibe (die keilförmige Bandscheibe unterhalb der letzten Wirbel) ist aufgrund ihrer Lage besonders gefährdet.

Die Schubmodule für Beton und Ziegel sind sehr klein; sie sind zu stark variabel, um aufgelistet zu werden. Beton, der in Gebäuden verwendet wird, kann Kompression widerstehen, wie in Säulen und Bögen, ist aber sehr schlecht gegen Scherung, wie es in stark belasteten Böden oder bei Erdbeben auftreten kann. Moderne Konstruktionen wurden durch die Verwendung von Stahl und Stahlbeton ermöglicht. Flüssigkeiten und Gase haben fast definitionsgemäß Schermodule nahe Null, da sie als Reaktion auf Scherkräfte fließen.

Beispiel 3. Berechnung der zum Verformen erforderlichen Kraft: Dieser Nagel biegt sich unter Last nicht stark

Ermitteln Sie die Masse des Bildes, das an einem Stahlnagel hängt, wie in Abbildung 7 gezeigt, da sich der Nagel nur um 1,80 µm biegt. (Angenommen, der Schermodul ist zwei signifikanten Zahlen bekannt.)

Abbildung 7. Seitenansicht eines Nagels mit einem daran aufgehängten Bild. Der Nagel biegt sich sehr leicht (gezeigt viel größer als tatsächlich) wegen der Scherwirkung des unterstützten Gewichts. Gezeigt ist auch die Aufwärtskraft der Wand auf den Nagel, was veranschaulicht, dass gleiche und entgegengesetzte Kräfte über entgegengesetzte Querschnitte des Nagels ausgeübt werden. Siehe Beispiel 3 für eine Berechnung der Masse des Bildes.

Strategie

Die Kraft F auf den Nagel (wobei das Eigengewicht des Nagels vernachlässigt wird) ist das Gewicht des Bildes w. Wenn wir w finden können, ist die Masse des Bildes nur \frac{w}{g}. Die Gleichung \displaystyle\Delta{x}=\frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0 kann für F gelöst werden.

Lösung

Wenn wir die Gleichung \displaystyle\Delta{x}=\frac{1}{S}\frac{F}{A}L_0 für F lösen, sehen wir, dass alle anderen Größen gefunden werden können:

\ displaystyle{F}=\frac{SA}{L_0}\Delta{x}

S findet sich in Tabelle 1 und ist S = 80 × 109 N/m2. Der Radius r beträgt 0,750 mm (wie in der Abbildung zu sehen), daher beträgt die Querschnittsfläche A = nr2 = 1,77 × 10-6 m2.

Der Wert für L0 ist ebenfalls in der Abbildung dargestellt. Somit

\displaystyle{F}=\frac{\left(80 \zeit10 ^ 9\text{ N/ m}^2\rechts)\left(1,77\ zeit10^{-6}\text{m}^2\rechts)}{\left(5,00\ zeit10 ^{-3}\text{ m}\rechts)}\left(1,80\ times10^{-6}\text{ m}\right)=51\text{ N}

Diese 51 N Kraft ist das Gewicht w des Bildes, also ist die Masse des Bildes m=\frac{w}{g}=\frac{F}{g}=5.2\text{ kg}.

Diskussion

Dies ist ein ziemlich massives Bild, und es ist beeindruckend, dass der Nagel nur 1,80 µm biegt — eine Menge, die mit bloßem Auge nicht nachweisbar ist.

Volumenänderungen: Volumenmodul

Ein Objekt wird in alle Richtungen komprimiert, wenn die Kräfte nach innen gleichmäßig auf alle seine Oberflächen ausgeübt werden, wie in Abbildung 8 dargestellt. Es ist relativ einfach, Gase zu komprimieren und extrem schwierig, Flüssigkeiten und Feststoffe zu komprimieren. Zum Beispiel wird Luft in einer Weinflasche komprimiert, wenn sie verkorkt wird. Wenn Sie jedoch versuchen, eine randvolle Flasche zu verkorken, können Sie den Wein nicht komprimieren – einige müssen entfernt werden, wenn der Korken eingesetzt werden soll. Der Grund für diese unterschiedlichen Kompressibilitäten liegt darin, dass Atome und Moleküle in Gasen durch große Leerräume getrennt, in Flüssigkeiten und Feststoffen jedoch dicht beieinander gepackt sind. Um ein Gas zu komprimieren, müssen Sie seine Atome und Moleküle näher zusammenbringen. Um Flüssigkeiten und Feststoffe zu komprimieren, müssen Sie tatsächlich ihre Atome und Moleküle komprimieren, und sehr starke elektromagnetische Kräfte in ihnen wirken dieser Kompression entgegen.

Abbildung 8. Eine nach innen gerichtete Kraft auf alle Oberflächen komprimiert diesen Würfel. Seine Volumenänderung ist proportional zur Kraft pro Flächeneinheit und seinem ursprünglichen Volumen und hängt mit der Kompressibilität der Substanz zusammen.

Wir können die Kompression oder Volumenverformung eines Objekts mit einer Gleichung beschreiben. Zunächst stellen wir fest, dass eine „gleichmäßig aufgebrachte“ Kraft definiert ist, um auf allen Oberflächen die gleiche Spannung oder das gleiche Verhältnis von Kraft zu Fläche \frac {F} {A} zu haben. Die erzeugte Verformung ist eine Volumenänderung ΔV, die sich sehr ähnlich wie die zuvor diskutierte Scherung, Spannung und Kompression verhält. (Dies ist nicht überraschend, da eine Komprimierung des gesamten Objekts der Komprimierung jeder seiner drei Dimensionen entspricht.) Das Verhältnis der Volumenänderung zu anderen physikalischen Größen ist gegeben durch \displaystyle \Delta{V}=\frac{1}{B}\frac{F}{A}V_0, wobei B der Volumenmodul ist (siehe Tabelle 1), V0 das ursprüngliche Volumen ist und \frac{F}{A} die Kraft pro Flächeneinheit ist, die gleichmäßig nach innen auf alle Oberflächen aufgebracht wird. Beachten Sie, dass für Gase keine Volumenmodule angegeben sind.

Was sind einige Beispiele für die Massenverdichtung von Feststoffen und Flüssigkeiten? Ein praktisches Beispiel ist die Herstellung von Industriediamanten durch Komprimieren von Kohlenstoff mit einer extrem großen Kraft pro Flächeneinheit. Die Kohlenstoffatome ordnen ihre kristalline Struktur in das dichter gepackte Muster von Diamanten um. In der Natur findet ein ähnlicher Prozess tief unter der Erde statt, wo extrem große Kräfte aus dem Gewicht des darüber liegenden Materials resultieren. Eine weitere natürliche Quelle großer Druckkräfte ist der Druck, der durch das Gewicht des Wassers erzeugt wird, insbesondere in tiefen Teilen der Ozeane. Wasser übt eine nach innen gerichtete Kraft auf alle Oberflächen eines untergetauchten Objekts und sogar auf das Wasser selbst aus. In großen Tiefen wird Wasser messbar komprimiert, wie das folgende Beispiel verdeutlicht.

Umgekehrt erzeugen Flüssigkeiten und Feststoffe sehr große Kräfte, wenn sie versuchen, sich auszudehnen, aber daran gehindert werden — was einer Kompression auf weniger als ihr normales Volumen entspricht. Dies tritt häufig auf, wenn sich ein enthaltenes Material erwärmt, da sich die meisten Materialien ausdehnen, wenn ihre Temperatur ansteigt. Wenn die Materialien fest eingeengt sind, verformen sie sich oder brechen ihren Behälter. Ein weiteres sehr häufiges Beispiel tritt auf, wenn Wasser gefriert. Wasser dehnt sich im Gegensatz zu den meisten Materialien aus, wenn es gefriert, und es kann leicht einen Felsbrocken brechen, eine biologische Zelle zerbrechen oder einen Motorblock knacken, der ihm in die Quere kommt.

Andere Arten von Verformungen, wie Torsion oder Verdrehung, verhalten sich analog zu den hier betrachteten Zug-, Scher- und Volumenverformungen.

Zusammenfassung des Abschnitts

• Das Hookesche Gesetz ist gegeben durch F=k\Delta{L}, wobei \Delta{L} das Ausmaß der Verformung (die Längenänderung) ist, F die aufgebrachte Kraft ist und k eine Proportionalitätskonstante ist, die von der Form und Zusammensetzung des Objekts und der Richtung der Kraft abhängt. Die Beziehung zwischen der Verformung und der aufgebrachten Kraft kann auch als \displaystyle \Delta L=\frac{1}{Y}\frac{F}{A}{L}_{0} geschrieben werden, wobei Y der von der Substanz abhängige Elastizitätsmodul ist, A die Querschnittsfläche und {L}_{0} die ursprüngliche Länge ist.
• Das Verhältnis von Kraft zu Fläche, \frac{F}{A}, ist definiert als Spannung, gemessen in N/m2.
• Das Verhältnis der Längenänderung zu Länge, \frac{\Delta L}{{L}_{0}}, ist definiert als Dehnung (eine einheitslose Größe). Mit anderen Worten, \text{stress}=Y\times\text{strain} .
• Der Ausdruck für Scherverformung ist \displaystyle\Delta x=\frac{1}{S}\frac{F}{A}{L}_{0}, wobei S der Schermodul und F die senkrecht zu {L}_{\text{0}} und parallel zur Querschnittsfläche A aufgebrachte Kraft ist.
• Die Beziehung der Volumenänderung zu anderen physikalischen Größen ist gegeben durch \displaystyle\Delta V=\frac{1}{B}\frac{F}{A}{V}_{0}, wobei B der Volumenmodul ist, {V}_{\delta{0}} das ursprüngliche Volumen ist und \frac{F}{A} die Kraft pro Flächeneinheit ist, die gleichmäßig nach innen auf alle Oberflächen aufgebracht wird.

Probleme & Übungen

1. Während eines Zirkusakts schwingt ein Darsteller kopfüber an einem Trapez und hält einen anderen, ebenfalls kopfüber, an den Beinen. Wenn die Aufwärtskraft auf den Unterschenkel das Dreifache ihres Gewichts beträgt, wie stark dehnen sich die Knochen (die Oberschenkelknochen) in ihren Oberschenkeln? Sie können davon ausgehen, dass jeder einer einheitlichen Stange von 35,0 cm Länge und 1,80 cm Radius entspricht. Ihre Masse beträgt 60,0 kg.
2. Während eines Ringkampfes steht ein 150 kg schwerer Ringer während eines Manövers, das seinen bereits sterbenden Gegner verwirren soll, kurz auf einer Hand. Um wie viel verkürzt sich der Oberarmknochen? Der Knochen kann durch einen gleichmäßigen Stab von 38,0 cm Länge und 2,10 cm Radius dargestellt werden.
3. (a) Das „Blei“ in Bleistiften ist eine Graphitzusammensetzung mit einem Elastizitätsmodul von etwa 1 × 109 N/ m2. Berechnen Sie die Längenänderung der Mine in einem automatischen Stift, wenn Sie sie mit einer Kraft von 4,0 N direkt in den Stift tippen. (b) Ist die Antwort vernünftig? Das heißt, scheint es mit dem übereinzustimmen, was Sie bei der Verwendung von Bleistiften beobachtet haben?
4. TV-Sendeantennen sind die höchsten künstlichen Strukturen der Erde. 1987 platzierte sich ein 72,0 kg schwerer Physiker und 400 kg Ausrüstung auf einer 610 m hohen Antenne, um Gravitationsexperimente durchzuführen. Um wie viel wurde die Antenne komprimiert, wenn wir sie als äquivalent zu einem Stahlzylinder mit einem Radius von 0, 150 m betrachten?
5. (a) Um wie viel dehnt eine 65,0 kg schwere Bergsteigerin ihr Nylonseil mit einem Durchmesser von 0,800 cm, wenn sie 35,0 m unter einem Felsvorsprung hängt? (b) Scheint die Antwort mit dem übereinzustimmen, was Sie für Nylonseile beobachtet haben? Wäre es sinnvoll, wenn das Seil tatsächlich ein Bungee-Seil wäre?
6. Ein 20,0 m hoher hohler Aluminium-Fahnenmast entspricht in seiner Steifigkeit einem Vollzylinder mit einem Durchmesser von 4,00 cm. Ein starker Wind verbiegt die Stange so stark wie eine horizontale Kraft von 900 N, die oben ausgeübt wird. Wie weit zur Seite biegt sich die Oberseite der Stange?
7. Wenn eine Ölquelle gebohrt wird, trägt jeder neue Abschnitt des Bohrgestänges sein eigenes Gewicht und das des darunter liegenden Rohrs und Bohrmeißels. Berechnen Sie die Dehnung auf neue Weise.00 m Länge Stahlrohr, das 3,00 km Rohr mit einer Masse von 20,0 kg / m und einem 100 kg Bohrer trägt. Das Rohr entspricht in seiner Steifigkeit einem Vollzylinder mit einem Durchmesser von 5,00 cm.
8. Berechnen Sie die Kraft, die ein Klavierstimmer aufbringt, um einen Klavierdraht aus Stahl um 8,00 mm zu dehnen, wenn der Draht ursprünglich einen Durchmesser von 0,850 mm und eine Länge von 1,35 m hat.
9. Ein Wirbel wird einer Scherkraft von 500 N ausgesetzt. Finden Sie die Scherverformung und nehmen Sie den Wirbel als Zylinder mit einer Höhe von 3,00 cm und einem Durchmesser von 4,00 cm.
10. Eine Scheibe zwischen Wirbeln in der Wirbelsäule wird einer Scherkraft von 600 N ausgesetzt. Finden Sie seine Scherverformung und nehmen Sie den Schermodul von 1 × 109 N / m2. Die Scheibe entspricht einem Vollzylinder von 0,700 cm Höhe und 4,00 cm Durchmesser.
11. Wenn Sie einen Radiergummi verwenden, üben Sie eine vertikale Kraft von 6,00 N in einem Abstand von 2,00 cm von der Stift-Radiergummi-Verbindung aus. Der Stift hat einen Durchmesser von 6,00 mm und wird in einem Winkel von 20,0 º zur Horizontalen gehalten. (a) Um wie viel biegt sich das Holz senkrecht zu seiner Länge? (b) Wie stark wird es in Längsrichtung komprimiert?
12. Um die Wirkung von Drähten zu betrachten, die an Masten aufgehängt sind, nehmen wir Daten aus Abbildung 9, in der Spannungen in Drähten, die eine Ampel tragen, berechnet wurden. Der linke Draht machte einen Winkel von 30,0 º unterhalb der Horizontalen mit der Oberseite seiner Stange und trug eine Spannung von 108 N. Der 12,0 m hohe hohle Aluminiumpfosten entspricht in seiner Steifigkeit einem Vollzylinder mit einem Durchmesser von 4,50 cm. (a) Wie weit ist es zur Seite gebogen? (b) Um wie viel wird es komprimiert?
    

    Abbildung 9. Eine Ampel hängt an zwei Drähten. (b) Einige der beteiligten Kräfte. (c) Hier werden nur auf das System wirkende Kräfte dargestellt. Das Freikörperdiagramm für die Ampel ist ebenfalls dargestellt. (d) Die auf vertikale (y) und horizontale (x) Achsen projizierten Kräfte. Die horizontalen Komponenten der Spannungen müssen sich aufheben, und die Summe der vertikalen Komponenten der Spannungen muss dem Gewicht der Ampel entsprechen. (e) Das Freikörperdiagramm zeigt die auf die Ampel wirkenden vertikalen und horizontalen Kräfte.

13. Ein Bauer, der Traubensaft herstellt, füllt eine Glasflasche bis zum Rand und verschließt sie fest. Der Saft dehnt sich beim Erwärmen stärker aus als das Glas, so dass das Volumen um 0,2% (dh \frac {\Delta V}{V}_{0}= 2\ times {\text{10}}^{-3}) relativ zum verfügbaren Platz zunimmt. Berechnen Sie die Größe der Normalkraft, die der Saft pro Quadratzentimeter ausübt, wenn sein Volumenmodul 1,8 × 109 N / m2 beträgt, vorausgesetzt, die Flasche bricht nicht. Glauben Sie, dass die Flasche angesichts Ihrer Antwort überleben wird?
14. (a) Wenn Wasser gefriert, nimmt sein Volumen um 9,05% zu (dh \frac{\Delta V}{V}_{0}=9\text{.}\text{05}\zeiten {\text{10}}^{-2}). Welche Kraft pro Flächeneinheit kann Wasser beim Gefrieren auf einen Behälter ausüben? (Es ist akzeptabel, den Massenmodul von Wasser in diesem Problem zu verwenden.) (b) Ist es überraschend, dass solche Kräfte Motorblöcke, Felsbrocken und dergleichen zerbrechen können?
15. Dieses Problem kehrt zu dem in Abbildung 10 untersuchten Seiltänzer zurück, der mit jeder Stützstange eine Spannung von 3,94 × 103 N in einem Draht erzeugte, der einen Winkel von 5,0 º unterhalb der Horizontalen einnahm. Berechnen Sie, wie stark diese Spannung den Stahldraht dehnt, wenn er ursprünglich 15 m lang und 0, 50 cm im Durchmesser war.
    

    Abbildung 10. das Gewicht eines Seiltänzers führt dazu, dass ein Draht um 5,0 Grad durchhängt. Das System von Interesse ist hier der Punkt im Draht, an dem der Seiltänzer steht.

16. Der Mast in Abbildung 11 befindet sich in einer Stromleitung in einer Biegung von 90,0º und ist daher mehr Scherkraft ausgesetzt als Maste in geraden Teilen der Leitung. Die Spannung in jeder Linie beträgt 4,00 × 104 N in den gezeigten Winkeln. Die Stange ist 15,0 m hoch, hat einen Durchmesser von 18,0 cm und kann als halb so steif wie Hartholz angesehen werden. (a) Berechnen Sie die Kompression der Stange. (b) Finde heraus, wie stark es sich biegt und in welche Richtung. (c) Ermitteln Sie die Spannung in einem Abspanndraht, mit dem die Stange gerade gehalten wird, wenn sie in einem Winkel von 30,0 º zur Vertikalen an der Oberseite der Stange befestigt ist. (Offensichtlich muss der Abspanndraht in der entgegengesetzten Richtung der Biegung sein.)

Abbildung 11. Dieser Telefonmast befindet sich in einer 90º -Biegung in einer Stromleitung. Ein Abspanndraht wird in einem Winkel von 30º zur Vertikalen an der Oberseite der Stange befestigt.

Glossar

Schleppkraft: FD, gefunden proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Objekts; mathematisch

\begin{array}\\F_{\text{D}}\propto{v}^2\\F_{\text{D}}=\frac{1}{2}C\rho{Av}^2\end{array},

wobei C der Luftwiderstandsbeiwert ist, A die Fläche des Objekts ist, die der Flüssigkeit zugewandt ist, und ρ die Dichte der Flüssigkeit ist.

Stokes-Gesetz: Fs = 6nrnv, wobei r der Radius des Objekts ist, η die Viskosität der Flüssigkeit ist und v die Geschwindigkeit des Objekts ist.

Lösungen für Probleme & Übungen

1. 1,90 × 10-3 cm

3. (a) 1 mm; (b) Dies scheint vernünftig zu sein, da die Leitung beim Drücken etwas zu schrumpfen scheint.

5. (a) 9 cm; (b) Dies erscheint für Nylon-Kletterseile sinnvoll, da es sich nicht so stark dehnen soll.

7. 8,59 mm

9. 1,49 × 10-7 m

11. (ein) 3.99 × 10-7 m; (b) 9.67 × 10-8 m

13. 4 × 106 N/m2. Dies sind etwa 36 atm, mehr als ein typisches Glas aushalten kann.

15. 1,4 cm

1. Ungefähre und durchschnittliche Werte. Youngs Module Y für Zug und Druck unterscheiden sich manchmal, werden aber hier gemittelt. Knochen hat signifikant unterschiedliche Elastizitätsmodule für Spannung und Kompression. ↵