Quoten

Berechnung der Wahrscheinlichkeit (Risiko) gegen Quoten

In der Statistik sind Quoten ein Ausdruck relativer Wahrscheinlichkeiten, die im Allgemeinen als Quoten angegeben werden. Die Wahrscheinlichkeit (zugunsten) eines Ereignisses oder eines Satzes ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, zur Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt. Mathematisch ist dies eine Bernoulli-Studie, da sie genau zwei Ergebnisse hat. Im Falle eines endlichen Stichprobenraums mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist dies das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintritt, zu der Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis nicht eintritt; Diese können als W und L (für Gewinne und Verluste) oder S und F (für Erfolg und Misserfolg) dargestellt werden. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Wochentag ein Wochenende ist, zwei bis fünf (2: 5), da die Wochentage einen Stichprobenraum von sieben Ergebnissen bilden und das Ereignis für zwei der Ergebnisse (Samstag und Sonntag) auftritt) und nicht für die anderen fünf. Umgekehrt kann dies bei gegebenen Quoten als Verhältnis von ganzen Zahlen durch einen Wahrscheinlichkeitsraum einer endlichen Anzahl gleich wahrscheinlicher Ergebnisse dargestellt werden. Diese Definitionen sind äquivalent, da die Division beider Terme im Verhältnis durch die Anzahl der Ergebnisse die Wahrscheinlichkeiten ergibt: 2 : 5 = ( 2 / 7 ) : ( 5 / 7 ) . {\displaystyle { 2:5=(2/7):(5/7).}

Umgekehrt ist die Quote gegen das entgegengesetzte Verhältnis. Zum Beispiel sind die Chancen gegen einen zufälligen Wochentag, der ein Wochenende ist, 5: 2. „Odds of so many to so many on (or against)“ bezieht sich auf odds – das Verhältnis von Zahlen von (gleich wahrscheinlichen) Ergebnissen zu Gunsten und gegen (oder umgekehrt); „chances of so many , in so many “ bezieht sich auf Wahrscheinlichkeit – die Anzahl der (gleich ähnlichen) Ergebnisse zu Gunsten im Verhältnis zur Anzahl für und gegen kombiniert. Zum Beispiel „Chancen eines Wochenendes sind 2 zu 5“, während „Chancen eines Wochenendes sind 2 in 7“. Im gelegentlichen Gebrauch werden die Wörter odds und chances (oder Chance) oft synonym verwendet, um vage ein gewisses Maß an Odds oder Wahrscheinlichkeit anzuzeigen, obwohl die beabsichtigte Bedeutung abgeleitet werden kann, indem festgestellt wird, ob die Präposition zwischen den beiden Zahlen to oder in ist.

Mathematische Relationenbearbeiten

Quoten können als Verhältnis zweier Zahlen ausgedrückt werden, in diesem Fall ist es nicht eindeutig – die Skalierung beider Terme um denselben Faktor ändert die Proportionen nicht: 1: 1-Quoten und 100:100-Quoten sind gleich (gerade Quoten). Quoten können auch als Zahl ausgedrückt werden, indem die Terme im Verhältnis geteilt werden – in diesem Fall ist es eindeutig (verschiedene Brüche können dieselbe rationale Zahl darstellen). Quoten als Verhältnis, Quoten als Zahl und Wahrscheinlichkeit (auch eine Zahl) werden durch einfache Formeln in Beziehung gesetzt, und in ähnlicher Weise haben Quoten zugunsten und Quoten dagegen sowie Erfolgswahrscheinlichkeit und Ausfallwahrscheinlichkeit einfache Beziehungen. Die Quoten reichen von 0 bis unendlich, während die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 reichen und daher oft als Prozentsatz zwischen 0% und 100 dargestellt werden%: umkehren des Verhältnisses schaltet Chancen für mit Chancen gegen, und in ähnlicher Weise Erfolgswahrscheinlichkeit mit Ausfallwahrscheinlichkeit.

Gegebene Quoten (dafür) als Verhältnis W:L (Gewinne:Verluste), die Quoten dafür (als Zahl) o f {\displaystyle o_{f}}

und Quoten dagegen (als Zahl) o a {\displaystyle o_{a}}

kann durch einfaches Dividieren berechnet werden und sind multiplikative Inverse: o f = W / L = 1 / o a o a = L / W = 1 / o f o f ⋅ o a = 1 {\displaystyle {\begin{f}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\ cdot o_{a}&=1\Ende{ausgerichtet}}}

Analog kann bei gegebenen Quoten als Verhältnis die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs oder Misserfolgs durch Dividieren berechnet werden, und die Erfolgswahrscheinlichkeit und die Ausfallwahrscheinlichkeit summieren sich zur Einheit (eins), da sie die einzig möglichen Ergebnisse sind. Im Falle einer endlichen Anzahl gleich wahrscheinlicher Ergebnisse kann dies als die Anzahl der Ergebnisse interpretiert werden, bei denen das Ereignis auftritt, geteilt durch die Gesamtzahl der Ereignisse:

p = W / ( W + L ) = 1 − q q = L / (W + L ) = 1 − p p + q = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\Ende{ausgerichtet}}}

Bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p ist die Quote als Verhältnis p : q {\displaystyle p:q}

(Erfolgswahrscheinlichkeit zu Ausfallwahrscheinlichkeit), und die Gewinnchancen als Zahlen können durch Dividieren berechnet werden: o f = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q o a = q / p = (1 − p ) / p = q / (1 − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}

Umgekehrt kann die Quote als Zahl o f , {\displaystyle o_{f},}

als Verhältnis o f : 1 , {\displaystyle o_{f}:1,}

oder umgekehrt 1 : ( 1 / o f ) = 1 : o a , {\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}

, woraus die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs oder Misserfolgs berechnet werden kann: p = o f / ( o f + 1 ) = 1 / ( o a + 1 ) q = o a / ( o a + 1 ) = 1 / ( o f + 1 ) {\displaystyle {\begin{1}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&= o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\Ende{f}}}

div Wenn also als Bruch mit einem Zähler von 1 ausgedrückt, Wahrscheinlichkeit und Chancen unterscheiden sich um genau 1 im Nenner: eine Wahrscheinlichkeit von 1 in 100 (1/100 = 1%) ist die gleiche wie Chancen von 1 zu 99 (1/99 = 0,0101… = 0.01), während Chancen von 1 zu 100 (1/100 = 0.01) ist das gleiche wie eine Wahrscheinlichkeit von 1 in 101 (1/101 = 0.00990099… = 0.0099). Dies ist ein kleiner Unterschied, wenn die Wahrscheinlichkeit klein ist (nahe Null oder „Long Odds“), aber ein großer Unterschied, wenn die Wahrscheinlichkeit groß ist (nahe eins).

Diese werden für einige einfache Quoten ausgearbeitet:

odds (ratio)	o f {\displaystyle o_{f}}	o a {\displaystyle o_{a}}	p {\displaystyle p}	q {\displaystyle q}
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	67%	33%
1:2	0.5	2	33%	67%
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%
9:1	9	0.1	90%	10%
10:1	10	0.1	90.90%	9.09%
99:1	99	0.01	99%	1%
100:1	100	0,01	99,0099%	0,9900%

Diese Transformationen haben bestimmte spezielle geometrische Eigenschaften: die Umrechnungen zwischen odds for und odds against (bzw. b. Erfolgswahrscheinlichkeit mit Ausfallwahrscheinlichkeit) und zwischen Odds und probability sind alle Möbius-Transformationen (fractional linear Transformationen). Sie sind also durch drei Punkte spezifiziert (Punkt 3-transitiv). Swapping Quoten für und Quoten gegen Swaps 0 und unendlich, Festsetzung 1, während Swapping Erfolgswahrscheinlichkeit mit Ausfallwahrscheinlichkeit Swaps 0 und 1, Festsetzung .5; dies sind beide Ordnung 2, daher kreisförmige Transformationen. Konvertieren odds Wahrscheinlichkeit Fixes 0, sendet unendlich 1, und sendet 1 zu .5 (gerade Chancen sind 50% wahrscheinlich), und umgekehrt; Dies ist eine parabolische Transformation.

ApplicationsEdit

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik können Quoten und ähnliche Verhältnisse natürlicher oder bequemer sein als Wahrscheinlichkeiten. In einigen Fällen werden die Log-Odds verwendet, die das Logit der Wahrscheinlichkeit sind. Am einfachsten werden Quoten häufig multipliziert oder geteilt, und log konvertiert Multiplikation in Addition und Division in Subtraktion. Dies ist besonders wichtig im logistischen Modell, in dem die Log-Odds der Zielvariablen eine lineare Kombination der beobachteten Variablen sind.Ähnliche Verhältnisse werden an anderer Stelle in der Statistik verwendet; Von zentraler Bedeutung ist das Wahrscheinlichkeitsverhältnis in der Wahrscheinlichkeitsstatistik, das in der Bayesschen Statistik als Bayes-Faktor verwendet wird.

Quoten sind besonders nützlich bei Problemen der sequentiellen Entscheidungsfindung, wie zum Beispiel bei Problemen, wie man (online) bei einem letzten bestimmten Ereignis stoppt, das durch den Quotenalgorithmus gelöst wird.

Die Quoten sind ein Wahrscheinlichkeitsverhältnis; Ein Odds Ratio ist ein Quotenverhältnis, dh ein Verhältnis von Wahrscheinlichkeitsverhältnissen. Odds-Ratios werden häufig bei der Analyse klinischer Studien verwendet. Während sie nützliche mathematische Eigenschaften haben, Sie können kontraintuitive Ergebnisse liefern: ein Ereignis mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 80% ist viermal wahrscheinlicher als ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%, aber die Wahrscheinlichkeit ist 16 Mal höher für das weniger wahrscheinliche Ereignis (4-1 gegen oder 4) als für das wahrscheinlichere Ereignis (1-4 oder 4-1 gegen oder 0,25).

Beispiel #1 Es gibt 5 rosa Murmeln, 2 blaue Murmeln und 8 lila Murmeln. Wie stehen die Chancen, einen blauen Marmor zu pflücken?

Antwort: Die Chancen für eine blaue Murmel stehen 2:13. Man kann äquivalent sagen, dass die Chancen 13:2 gegen. Es gibt 2 von 15 Chancen für Blau, 13 von 15 gegen Blau.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, wo die Variable p die Wahrscheinlichkeit für ein binäres Ereignis ist und die Wahrscheinlichkeit gegen das Ereignis daher 1-p ist, sind „die Quoten“ des Ereignisses der Quotient der beiden oder p 1 − p {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}

. Dieser Wert kann als relative Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses angesehen werden, ausgedrückt als Bruchteil (wenn er kleiner als 1 ist) oder als Vielfaches (wenn er gleich oder größer als eins ist) der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.

Im ersten Beispiel oben bedeutet die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit eines Sonntags „eins zu sechs“ oder seltener „ein Sechstel“ beträgt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Sonntag zufällig auszuwählen, ein Sechstel der Wahrscheinlichkeit beträgt, keinen Sonntag auszuwählen. Während die mathematische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses einen Wert im Bereich von Null bis eins hat, liegen „die Chancen“ für dasselbe Ereignis zwischen Null und unendlich. Die Wahrscheinlichkeit gegen das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p beträgt 1 – p p {\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}

. Die Chancen gegen Sonntag sind 6:1 oder 6/1 = 6. Es ist 6 mal so wahrscheinlich, dass ein zufälliger Tag kein Sonntag ist.