Legea slabă a numărului mare

2.3 paradigma Statistică Bayesiană

în general, este de acord atât de susținătorii săi, cât și de critici că Bayesianismul5 este în prezent punctul de vedere dominant în filosofia științei. Unii statisticieni au mers mai departe, presupunând cu ani în urmă că Statisticile Bayesiene vor fi Statisticile dominante pentru secolul XXI. Dacă această afirmație poate fi justificată, nu intră în domeniul de aplicare al prezentei introduceri. Cu toate acestea, este incontestabil faptul că paradigma Bayesiană a jucat un rol central în discipline precum filosofia, Statisticile, informatica și chiar jurisprudența.

Bayesienii sunt în general împărțiți în categorii subiective și obiective. Conform tuturor Bayesienilor, credința unui agent trebuie să satisfacă Regulile calculului de probabilitate. În caz contrar, în conformitate cu argumentul familiar al „cărții Olandeze”, gradul de credință al agentului este incoerent. Bayesienii subiectivi consideră că această coerență (probabilistică) este atât o condiție necesară, cât și o condiție suficientă pentru raționalitatea credințelor unui agent și apoi (de obicei) susțin că credințele agenților raționali vor converge în timp. Punctul de inferență științifică și sursa „obiectivității” sale este de a garanta coerența și de a asigura convergența. Bayesienii obiectivi, pe de altă parte, insistă de obicei că, deși condiția de coerență este necesară, nu este suficientă și pentru tipul de obiectivitate pe care metodologiile științifice sunt destinate să o facă posibilă.

lucrarea lui Paul Weirich din acest volum se concentrează în primul rând pe probabilitatea subiectivă. Weirich a dezvoltat o abordare teoretică a deciziei Bayesiene în care ia în considerare modul în care credințele unui agent pot fi revizuite în lumina datelor. Probabilitățile reprezintă gradul de credință al unui agent. Weirich evaluează mai multe acuzații împotriva Bayesienilor. Conform unei obiecții pe care a luat-o în considerare, Bayesianismul permite ca gradele de credință ale unui agent să fie orice, atâta timp cât satisfac calculul probabilității. Weirich consideră că obiecția implică faptul că probabilitățile subiective Bayesiene trebuie să reprezinte credințele idiosincratice ale unui agent. Cu toate acestea, el a respins Bayesianismul permisiv în favoarea versiunii sale de Bayesianism. Noțiunea de probabilitate condiționată pe care se bazează principiul condiționalizării este centrală pentru el. Conform acestui principiu, un agent ar trebui să-și actualizeze gradul de credință într-o ipoteză (H) în lumina datelor (D) în conformitate cu principiul condiționalizării, care spune că gradul ei de credință în H după ce datele sunt cunoscute este dat de probabilitatea condiționată P(H|D) = P(H&D)/P(D), presupunând că P(D) nu este zero. Weirich evaluează, de asemenea, acuzațiile aduse împotriva utilizării principiului condiționalizării. În cele din urmă, el compară teoria deciziei statistice Bayesiene cu statisticile clasice, încheindu-și lucrarea cu o evaluare a acesteia din urmă.

un domeniu central de cercetare în filosofia științei este teoria confirmării Bayesiene. James Hawthorne ia teoria confirmării Bayesiene pentru a oferi o logică a modului în care dovezile disting între ipotezele sau teoriile concurente. El susține că este înșelător să se identifice teoria confirmării Bayesiene cu relatarea subiectivă a probabilității. Mai degrabă, orice relatare care reprezintă gradul în care o ipoteză este susținută de dovezi ca probabilitate condiționată a ipotezei asupra dovezilor, unde funcția de probabilitate implicată satisface axiomele probabilistice obișnuite, va fi un teoria confirmării Bayesiene, indiferent de interpretarea noțiunii de probabilitate pe care o folosește. Căci, în orice astfel de cont, teorema lui Bayes va exprima modul în care ceea ce spun ipotezele despre dovezi (prin probabilități) influențează gradul în care ipotezele sunt susținute de dovezi (prin probabilități posterioare). Hawthorne susține că interpretarea subiectivă obișnuită a funcției de confirmare probabilistică este grav contestată de versiunile extinse ale problemei vechilor dovezi. El arată că, în interpretarea subiectivistă obișnuită, chiar și informațiile banale pe care un agent le poate afla despre o cerere de probă pot submina complet obiectivitatea probabilităților. Astfel, în măsura în care probabilitățile ar trebui să fie obiective (sau convenite intersubiectiv), funcția de confirmare nu poate suporta lectura subiectivistă obișnuită. Hawthorne consideră că probabilitățile anterioare depind de evaluările plauzibilității, dar susține că astfel de evaluări nu sunt doar subiective și că teoria confirmării Bayesiene nu este grav handicapată de tipul de subiectivitate implicat în astfel de evaluări. El își bazează ultima afirmație pe un puternic rezultat de convergență Bayesiană, pe care îl numește teorema convergenței raportului de probabilitate. Această teoremă depinde doar de probabilități, nu de probabilități anterioare; și este o lege slabă a numărului mare rezultat care furnizează limite explicite asupra ratei de convergență. Arată că, pe măsură ce dovezile cresc, devine foarte probabil ca rezultatele probatorii să fie de așa natură încât raporturile de probabilitate să favorizeze puternic o ipoteză adevărată față de fiecare concurent care se distinge în mod evident. Astfel, orice două funcții de confirmare (folosite de agenți diferiți) care sunt de acord asupra probabilităților, dar diferă în ceea ce privește probabilitățile anterioare pentru ipoteze (cu condiția ca priorul pentru ipoteza adevărată să nu fie prea aproape de 0) vor tinde să producă rapoarte de probabilitate care aduc probabilitățile posterioare să convergă spre 0 pentru ipoteze false și spre 1 pentru alternativa adevărată.6

John D. Norton caută să ofere o contrabalansare a opiniei dominante acum că teoria confirmării Bayesiene a reușit să găsească logica universală care guvernează dovezile și rulmentul său inductiv în știință. El permite ca Bayesienii să aibă motive întemeiate pentru optimism. Acolo unde mulți alții au eșuat, sistemul lor reușește să specifice un calcul precis, să explice principiile inductive ale altor conturi și să le combine într-o singură teorie consistentă. Cu toate acestea, îndeamnă el, dominația Sa a apărut abia recent în secolele teoretizării Bayesiene și s-ar putea să nu dureze, având în vedere persistența problemelor cu care se confruntă.multe dintre problemele pe care Norton le identifică pentru teoria confirmării Bayesiene se referă la aspecte tehnice pe care cititorii noștri le pot găsi mai mult sau mai puțin îngrijorătoare. În opinia sa, cea mai gravă provocare provine din aspirația Bayesiană de a oferi o relatare completă a inferenței inductive care urmărește raționamentul nostru inductiv înapoi la o stare inițială, neutră, înainte de încorporarea oricărei dovezi. Ceea ce învinge această aspirație, potrivit lui Norton, este binecunoscuta problemă recalcitrantă a priorilor, relatată în două forme în capitolul său. Într-o formă, problema este că p posterior(H|D&B), care exprimă suportul inductiv al datelor D pentru ipoteza H împreună cu informațiile de fond B, este fixat complet de cele două probabilități „anterioare”, P(H&D|B) și P(D|B). Dacă cineva este subiectivist și susține că probabilitățile anterioare pot fi selectate după capriciu, supuse doar axiomelor calculului probabilităților, atunci, potrivit lui Norton, p posterior(H|D&B) nu poate fi niciodată eliberat de aceste capricii. Sau dacă cineva este obiectivist și susține că nu poate exista decât un precedent corect în fiecare situație specifică, atunci, așa cum se explică în capitolul său, aditivitatea unei măsuri de probabilitate exclude atribuirea cu adevărat a „priorilor fără informații.”Acest lucru este în bine, potrivit lui Norton, deoarece un prior cu adevărat fără informații ar atribui aceeași valoare fiecărei propoziții contingente din algebră. Dependența funcțională a unui posterior de priori ar forța apoi toate posterioarele non-banale la o singură valoare fără informații. Prin urmare, un cont Bayesian poate fi non-banal, susține Norton, numai dacă începe cu o bogată distribuție de probabilitate anterioară al cărei conținut inductiv este furnizat de alte mijloace non-Bayesiene.

trei lucrări din volum explorează posibilitatea ca contul Bayesian să poată fi arătat ca o formă de logică. Colin Howson susține că Bayesianismul este o formă de logică deductivă a inferenței, în timp ce Roberto Festa și Jan-Willem Romeijn susțin că teoria Bayesiană poate fi aruncată sub forma inferenței inductive. Pentru a investiga dacă contul Bayesian poate fi privit ca o formă de inferență deductivă, Howson analizează pe scurt ultimii trei sute de ani de inferență științifică și apoi se concentrează asupra motivului pentru care crede că inferența Bayesiană ar trebui considerată o formă de logică pură a inferenței. Luând în considerare dezbaterea dacă inferența probabilistică poate fi privită ca logică a consistenței sau coerenței, el discută teoria probabilității lui de Finetti unde de Finetti a luat teoria probabilității pentru a nu spune nimic despre lume, ci o ia ca o „logică a incertitudinii.”Un motiv motivant pentru a lua în considerare de ce inferența Bayesiană ar trebui luată ca o logică a logicii pure este să remarcăm dezacordul său cu distincția lui Kyburg între expresia „consistență” să fie aplicabilă unui sistem care nu conține două credințe inconsistente și expresia „coerență” să fie aplicabilă gradelor de credință. Pentru Howson, analogia cu logica deductivă este între aceasta din urmă impunând constrângeri de consistență asupra evaluărilor adevărului și regulile teoriei probabilității impunând constrângeri în grad de credință. Restul lucrării sale este dedicat dezvoltării și interpretării inferenței Bayesiene ca o formă de logică pură a inferenței.atât Festa ,cât și Romeijn regretă că în secolul trecut statisticile și inferența inductivă s-au dezvoltat și au înflorit mai mult sau mai puțin independent una de cealaltă, fără semne clare de simbioză. Festa mărește Statisticile Bayesiene și teoria Carnap a probabilităților inductive și arată că, în ciuda diferitelor lor baze conceptuale, metodele elaborate în cadrul acestora din urmă sunt în esență identice cu cele utilizate în cadrul primelor. El susține că unele concepte și metode de logică inductivă pot fi aplicate în reconstrucția rațională a mai multor noțiuni și proceduri statistice. Potrivit lui, logica inductivă sugerează câteva metode noi care pot fi utilizate pentru diferite tipuri de inferențe statistice care implică considerații analogice. În cele din urmă, Festa arată cum o versiune Bayesiană a aproximării adevărului poate fi dezvoltată și integrată într-un cadru statistic.7

Romeijn investighează, de asemenea, relația dintre statistici și logica inductivă. Deși logica inductivă și statisticile s-au dezvoltat separat, Romeijn crede, la fel ca Festa, că este timpul să explorăm relația dintre cele două. În lucrarea sa, el investighează dacă este posibil să se reprezinte diferite moduri de inferență statistică în termeni de logică inductivă. Romeijn ia în considerare trei idei cheie în statistici pentru a crea legătura. Acestea sunt (i) testarea ipotezelor Neyman-Pearson (NPTH), (ii) estimarea probabilității maxime și (iii) statistici Bayesiene. Romeijn arată, folosind atât logica inductivă Carnapiană, cât și cea Bayesiană, că ultima dintre aceste două idei (adică., estimarea probabilității maxime și statisticile Bayesiene) pot fi reprezentate în mod natural în termeni de logică inductivă non-ampliativă. În secțiunea finală a capitolului său, NPTH este alăturat logicii inductive Bayesiene prin intermediul probabilităților bazate pe intervale asupra ipotezelor statistice.

deoarece există Bayesieni subiectivi, există și Bayesieni obiectivi. Jos Bernardo este unul dintre ei. Deoarece mulți filozofi nu sunt în general conștienți de opera lui Bernardo, îi vom dedica o discuție relativ mai lungă. Bernardo scrie că „t a devenit o practică standard,…, pentru a descrie ca „obiectivă” orice analiză statistică care depinde doar de modelul asumat. În acest sens precis (și numai în acest sens) Analiza de referință este o metodă de a produce inferență Bayesiană” obiectivă”.

pentru Bernardo, analiza de referință pe care a susținut-o pentru a-și promova marca de Bayesianism obiectiv ar trebui înțeleasă în termenii unui model parametric al formei m. Aici, se presupune că datele x constau dintr-o observație a procesului aleatoriu x x x cu distribuția probabilității P(x|w) pentru unele w x x. Un model parametric este o instanță a unui model statistic. Bernardo definește ca fiind un vector de interes un vector de interes. Toate legitime Bayesian concluzii despre valoarea θ sunt capturate în posterior distribution P(θ|x)∝∫ΛP(x|θ,λ)P(θ,λ)dλ cu condiția ca aceste concluzii sunt realizate sub un alt model. Aici, un vector al parametrilor de neplăcere este numit „modelul” P(X|hectolitru).

atracția acestui tip de obiectivism este accentul pus pe „analiza de referință”, care, cu ajutorul instrumentelor statistice, a făcut progrese suplimentare în transformarea temei sale de obiectivitate într-o școală statistică respectabilă în cadrul Bayesianismului. După cum scrie Bernardo, „analiza eferenței poate fi descrisă ca o metodă de derivare a posterioarelor non-subiective bazate pe model, bazate pe ideile Informațional-teoretice și destinate să descrie conținutul inferențial al datelor pentru comunicarea științifică” . Aici prin” conținutul inferențial al datelor „el înseamnă că primul oferă” baza unei metode de a obține posteriori non-subiectivi ” (Ibid). Bayesianismul obiectiv al lui Bernardo constă în următoarele afirmații.

În primul rând, el crede că informațiile de fond ale agentului ar trebui să ajute investigatorul să construiască un model statistic, prin urmare, în cele din urmă influențează pe care anterior acesta din urmă ar trebui să-l atribuie modelului. Prin urmare, deși Bernardo ar putea aproba atingerea unei valori unice a probabilității ca obiectiv, el nu cere să avem nevoie de atribuirea unică a probabilității în toate problemele la dispoziția noastră. El scrie: „se presupune că analistul are un p(w) unic (adesea subiectiv) anterior, independent de proiectarea experimentului, dar comunitatea științifică va fi probabil interesată să compare posteriorul personal al analistului corespunzător cu posteriorul de referință (consens) asociat designului experimental publicat.” . În al doilea rând, pentru Bernardo, inferența statistică nu este altceva decât un caz de a decide între diferite modele/teorii, unde decizia include, printre altele, utilitatea de a acționa pe presupunerea că modelul/teoria este adecvat empiric. Aici, utilitatea de a acționa asupra adecvării empirice a modelului/teoriei în cauză ar putea implica o anumită funcție de pierdere . În capitolul său pentru acest volum, el și-a dezvoltat versiunea de Bayesianism obiectiv și a abordat mai multe acuzații ridicate împotriva contului său.

În capitolul lor comun, Gregory Wheeler și Jon Williamson au combinat Bayesianismul obiectiv cu teoria probabilității probabile a lui Kyburg. Această poziție a Bayesianismului sau a oricărei forme de Bayesianism pare în contradicție cu abordarea lui Kyburg asupra inferenței statistice care se bazează pe teoria probatorie a probabilității. Vom lua în considerare un argument al lui Kyburg împotriva Bayesianismului. Kyburg crede că nu ar trebui să considerăm credințele parțiale drept „grade de credință”, deoarece Bayesienii (stricți) (precum Savage) sunt asociați cu presupunerea unei probabilități unice a unei propoziții. El a discutat probabilitatea bazată pe intervale ca surprinzând credințele noastre parțiale despre incertitudine. Deoarece probabilitatea bazată pe intervale nu este Bayesiană, rezultă că nu avem voie să tratăm credințele parțiale ca grade de credință. Având în vedere această opoziție între viziunea lui Kyburg asupra probabilității și viziunea Bayesiană obiectivă, Wheeler și Williamson au încercat să arate cum ideile de bază ale ambelor aceste două puncte de vedere ar putea fi adaptate fructuos într-o singură relatare a inferenței științifice.

pentru a încheia discuția noastră despre poziția Bayesiană, ținând cont de atribuirea de către Royall a întrebării credinței către Bayesieni, mulți Bayesieni ar avea sentimente mixte cu privire la această atribuire. Într-o anumită măsură, unii dintre ei ar putea considera că este inadecvat de simplu. Howson ar fi de acord cu această atribuire cu observația că aceasta ar lipsi unele dintre nuanțele și subtilitățile teoriei Bayesiene. El urmează în linii mari linia lui de Finetti în luarea evaluărilor subiective ale probabilității. Aceste evaluări sunt de obicei numite „grade de credință.”Deci, în această măsură, el certitudine crede că există un rol central pentru gradele de credință, deoarece la urma urmei sunt ceea ce se referă direct la funcția de probabilitate. Prin urmare, potrivit lui, atribuirea întrebării de credință Bayesienilor are un sens. Cu toate acestea, el crede că corpul principal al teoriei Bayesiene constă în identificarea constrângerilor care ar trebui impuse acestora pentru a asigura coerența/coerența lor. Lucrarea Sa a oferit acest cadru pentru Bayesianism. Hawthorne ar putea să nu fie de acord parțial cu Royall, deoarece Teorema sa de convergență a raportului de probabilitate arată că modul în care diferiți agenți ar putea fi de acord în cele din urmă, chiar dacă ar putea începe foarte bine cu diferite grade de credință într-o teorie. Atât Weirich, cât și Norton, deși aparțin taberelor opuse în ceea ce privește pozițiile lor față de Bayesianism, ar putea fi de acord că atribuirea lui Royall Bayesienilor este până la urmă justificată. În ceea ce privește întrebarea de predicție, mulți Bayesieni, inclusiv cei care lucrează în limitele teoriei confirmării, ar susține că o relatare a confirmării care răspunde la întrebarea credinței este capabilă să se ocupe de întrebarea de predicție, deoarece, pentru Bayesieni, aceasta din urmă este o sub-clasă a întrebării credinței.