Standardabweichung: Einfache Definition, Schritt für Schritt Video

Inhalt: Standardabweichung (klicken, um zum Abschnitt zu springen):

Grundlagen:

1. Standardabweichungsdefinition
2. So finden Sie die Standardabweichung der Probe von Hand

Weiterführende Themen :

1. Standardabweichung für ein Binom
2. Diskrete Zufallsvariable Standardabweichung
3. Standardabweichung für eine Häufigkeitsverteilung

Verwendung von Technologie:

1. Finden Sie die Standardabweichung in Minitab
2. Finden Sie die Standardabweichung in SPSS
3. in Excel
4. TI-89 Anweisungen

1. Absolute Standardabweichung

Definition

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung in der Statistik. „Streuung“ sagt Ihnen, wie viel Ihre Daten verteilt sind. Insbesondere zeigt es Ihnen, wie viel Ihre Daten um den Mittelwert oder Durchschnitt verteilt sind. Liegen beispielsweise alle Ihre Ergebnisse nahe am Durchschnitt? Oder sind viele Punkte weit über (oder weit unter) der durchschnittlichen Punktzahl?

Wie sieht es in einem Diagramm aus?

Die Glockenkurve (was Statistiker als „Normalverteilung“ bezeichnen) wird in der Statistik häufig als Werkzeug zum Verständnis der Standardabweichung angesehen.

Der folgende Graph einer Normalverteilung stellt eine Menge Daten im wirklichen Leben dar. Der Mittelwert oder Durchschnitt wird durch den griechischen Buchstaben μ in der Mitte dargestellt. Jedes Segment (dunkelblau bis hellblau gefärbt) repräsentiert eine Standardabweichung vom Mittelwert. Zum Beispiel bedeutet 2σ zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Beispiel aus der Praxis

Eine Normalverteilungskurve kann Hunderte von Situationen im wirklichen Leben darstellen. Haben Sie jemals im Unterricht bemerkt, dass die meisten Schüler Cs bekommen, während einige As oder Fs bekommen? Das kann mit einer Glockenkurve modelliert werden. Die Gewichte, Höhen, Ernährungsgewohnheiten und Trainingsprogramme der Menschen können ebenfalls mit ähnlichen Grafiken modelliert werden. Dieses Wissen ermöglicht es Unternehmen, Schulen und Regierungen, Vorhersagen über zukünftiges Verhalten zu treffen. Für Verhaltensweisen, die zu dieser Art von Glockenkurve passen (wie die Leistung auf dem SAT), können Sie vorhersagen, dass 34,1 + 34,1 = 68,2% der Schüler sehr nahe an der Durchschnittsnote oder eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt sind.

So finden Sie die Standardabweichung der Probe von Hand

Von Hand suchen

Wenn Sie ein Experiment (oder einen Test oder eine Umfrage) durchführen, arbeiten Sie normalerweise mit einer Stichprobe — einem kleinen Teil der Bevölkerung. Die Formel zum Ermitteln der Standardabweichung (en) bei der Arbeit mit Stichproben lautet:

Das Σ-Zeichen in der Formel bedeutet „addieren“ (siehe: Sigma-Notation). Um die Formel zu lösen,addieren Sie die Zahlen,quadrieren Sie sie und teilen Sie sie.

Es klingt einfach, wird aber mühsam, wenn Sie mit größeren Stichprobengrößen arbeiten (weil Sie mehrmals hinzufügen und quadrieren müssen). Das folgende Beispielproblem enthält nur 9 Datenpunkte, sollte Ihnen jedoch ein gutes Beispiel dafür geben, wie mühsam die Handberechnungen sein können. Wenn Sie es von Hand berechnen müssen (für Hausaufgaben oder einen Test), stellen Sie sicher, dass Sie einen Taschenrechner verwenden, um Ihre Antwort zu überprüfen.

Beispielproblem:

Q. Ermitteln Sie die Standardabweichung für die folgenden Ergebnisse:
{12, 15, 17, 20, 30, 31, 43, 44, 54}

Schritt 1: Addieren Sie die Zahlen:
12 + 15 + 17 + 20 + 30 + 31 + 43 + 44 + 54 = 266.

Schritt 2: Quadrieren Sie die Antwort aus Schritt 1:
266 x 266 = 70756

Schritt 3: Teilen Sie Ihre Antwort aus Schritt 2 durch die Anzahl der Elemente (n) in Ihrem Set. In diesem Beispiel haben wir 9 Elemente, also:
70756 / 9 = 7861.777777777777 (Division durch n)

Legen Sie diese Zahl für einen Moment beiseite. Sie werden es in einem späteren Schritt benötigen.

Schritt 4:Quadrieren Sie die ursprünglichen Zahlen {12, 15, 17, 20, 30, 31, 43, 44, 54} addieren Sie sie nacheinander:

(12 x 12) + (15 x 15) + (17 x 17) + (20 x 20) + (30 x 30) + (31 x 31) + (43 x 43) + (44 x 44) + (54 x 54) = 9620

Schritt 5: Subtrahieren Sie Schritt 4 von Schritt 3.

9620 – 7861.777777777777 = 1758.22222222222226

Beachten Sie, dass ich noch nicht runde. Sie sollten alle Ihre Dezimalstellen bis zum Ende behalten, dann können Sie runden. Das Runden in der Mitte führt dazu, dass Ihre Antwort gerade genug ist, um eine falsche Lehrbuchantwort zu erhalten. Legen Sie diese Nummer für einen Moment beiseite.

Schritt 6: Subtrahieren Sie 1 von n. Wir haben 9 Elemente, also n = 9:

9 – 1 = 8

Schritt 7: Teilen Sie Schritt 5 durch Schritt 6, um die Varianz zu erhalten:
1758.2222222222226 / 8 = 219.77777777777773

Schritt 8: Nehmen Sie die Quadratwurzel von Schritt 7:
√ 219.77777777777783) = 14.824903971958058
Die Standardabweichung beträgt 14.825.

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Standardabweichung für ein Binom

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Standardabweichung für ein Binom: TI-83
Standardabweichung für ein Binom: von Hand

TI 83 Standardabweichung für ein Binom

Der TI 83 hat keine eingebaute Funktion, um die Standardabweichung für ein Binom zu finden. Sie müssen die Gleichung manuell eingeben.

Beispielproblem: Finden Sie die Standardabweichung für eine Binomialverteilung mit n = 5 und p = 0,12.

Schritt 1: Subtrahieren Sie p von 1, um q zu finden.
1 – .12 GEBEN SIE
= EIN.88

Schritt 2: Multiplizieren Sie n mal p mal q.
5 * .12 * .88 GEBEN SIE
= EIN.528

Schritt 3: Finden Sie die Quadratwurzel der Antwort aus Schritt 2.
in der Tat.528 = =.727 (auf 3 Dezimalstellen gerundet).

Standardabweichung für ein Binom: Von Hand

Ein Münzwurf kann ein Binomialexperiment sein.

Eine Binomialverteilung ist eine der einfachsten Verteilungsarten in der Statistik. Es ist eine Art Verteilung, bei der es entweder Erfolg oder Misserfolg gibt. Zum Beispiel, im Lotto gewinnen: oder nicht im Lotto gewinnen. Sie können die Standardabweichung für eine Binomialverteilung auf zwei Arten ermitteln:

1. Mit einer Formel
2. Mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle (scrollen Sie nach unten für die Schritte)

Die Formel zum Ermitteln der Standardabweichung für eine Binomialverteilung lautet:

Sehen Sie sich das Video an oder lesen Sie die folgenden Schritte:

Beispielfrage:

Ermitteln Sie die Standardabweichung für die folgende Binomialverteilung: Werfen Sie eine Münze 1000 Mal, um zu sehen, wie viele Köpfe Sie erhalten.

Schritt 1: Identifizieren Sie n und p aus der Frage. N ist die Anzahl der Versuche (angegeben als 1000) und p ist die Wahrscheinlichkeit.5 (Sie haben eine 50% ige Chance, einen Kopf in jedem Münzwurf zu bekommen).

An dieser Stelle können Sie diese Zahlen in die Formel einfügen und lösen. Wenn Formeln nicht Ihre Stärke sind, folgen Sie diesen zusätzlichen Schritten:

Schritt 2: Multiplizieren Sie n mit p:
1000 * .5 = 500.

Schritt 3: Subtrahieren Sie „p“ von 1:
1 – .5 = .5.

Schritt 4: Multiplizieren Sie Schritt 2 mit Schritt 3: 500 * .5 = 250.

Schritt 5: Nehmen Sie die Quadratwurzel von Schritt 4:
√ 250 = 15.81.

Das war’s!

Standardabweichung diskreter Zufallsvariablen

Bei diskreten Zufallsvariablen erhalten Sie manchmal eine Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle anstelle von „p“ und „n“. Solange Sie eine Tabelle haben, können Sie die Standardabweichung der diskreten Zufallsvariablen mit dieser Formel berechnen:

Beispielfrage: Ermitteln Sie die Standardabweichung der diskreten Zufallsvariablen in der folgenden Tabelle, die das Umdrehen von drei Münzen darstellt:

Schritt 1: Ermitteln Sie den Mittelwert (dies ist die wird auch als Erwartungswert bezeichnet), indem die Wahrscheinlichkeiten in jeder Spalte mit x multipliziert und alle addiert werden:
μ = (0 * 0.125) + (1 * 0.375) + (2 * 0.375) + (3 * 0.125) = 1.5

Schritt 2: Arbeiten Sie den inneren Teil der obigen Gleichung ohne die Quadratwurzel:

• ((0 – 1.5)2 * 0.125 ) +
• ((1 – 1.5)2 * 0.375 ) +
• ((2 – 1.5)2 * 0.375 ) +
• ((3 – 1.5)2 * 0.125 ) +
• = 0.75

Schritt 3: Nehmen Sie die Quadratwurzel von Schritt 2:
σ = √ 0.75 = 0.8660254.

Das war’s!

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Standardabweichung für eine Häufigkeitsverteilung

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Die Formel zum Ermitteln der Standardabweichung für eine Häufigkeitsverteilung lautet:

Wobei:

• μ der Mittelwert für die Häufigkeitsverteilung ist,
• f die einzelnen Frequenzzählungen ist,
• x der den Frequenzen zugeordnete Wert ist.

Wenn Formeln nicht Ihre Stärke sind, sehen Sie sich dieses kurze Video an, das Ihnen zeigt, wie die Formel funktioniert:

Ermitteln der Standardabweichung in Minitab

Sehen Sie sich das Video an oder befolgen Sie die folgenden Schritte:

Beispielfrage: Ermitteln der Standardabweichung in Minitab für die folgenden Daten: 102, 104, 105, 110, 112, 116, 124, 124, 125, 240, 245, 254, 258, 259, 265, 265, 278, 289, 298, 311, 321, 321, 324, 354

Schritt 1: Geben Sie die Daten in eine einzelne Spalte in einem Minitab-Arbeitsblatt ein.

Schritt 2: Klicken Sie auf „Stat“, dann auf „Basic Statistics“ und dann auf „Descriptive Statistics“.“

Schritt 3: Wählen Sie die Variablen aus, für die Sie die Standardabweichung ermitteln möchten, und klicken Sie dann auf „Auswählen“, um die Variablennamen in das rechte Fenster zu verschieben.

Schritt 4: Klicken Sie auf die Schaltfläche „Statistik“.

Schritt 5: Aktivieren Sie das Kontrollkästchen „Standardabweichung“ und klicken Sie dann zweimal auf „OK“. Die Standardabweichung wird in einem neuen Fenster angezeigt.

Das war’s!

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Ermitteln der Standardabweichung in SPSS

Das Werkzeug zur Berechnung der Standardabweichung in SPSS finden Sie im Abschnitt „Analytics > Descriptive Statistics“ der Symbolleiste. Sie können auch die Option „Frequenzen“ im selben Menü verwenden. Das Video unten zeigt beide Optionen, oder lesen Sie unten für die Schritte mit der ersten Option nur.

Wenn Sie Ihre Daten bereits in ein Arbeitsblatt eingegeben haben, fahren Sie mit Schritt 3 fort.

Schritt 1: Öffnen Sie ein neues Arbeitsblatt, um Daten einzugeben. Wählen Sie nach dem Öffnen von SPSS das Optionsfeld „Daten eingeben“ rechts neben dem Dialogfeld „Was möchten Sie tun“.

Schritt 2: Geben Sie Ihre Daten in das Arbeitsblatt ein.Sie können so viele Spalten verwenden, wie Sie möchten, um Daten einzugeben, aber lassen Sie keine leeren Zeilen zwischen Ihren Daten.

Schritt 3: Klicken Sie in der Symbolleiste auf „Analysieren“ und fahren Sie mit der Maus über „Beschreibende Statistiken“.“ Klicken Sie auf „Beschreibungen“, um das Dialogfeld Variablen zu öffnen.

Schritt 4: Wählen Sie die Variablen aus, für die Sie beschreibende Statistiken suchen möchten. SPSS muss wissen, wo sich die Daten befinden, für die Sie die Standardabweichung berechnen möchten. Das System füllt das linke Feld mit Möglichkeiten (Datenspalten, die Sie eingegeben haben), aber Sie müssen auswählen, welche Variablen Sie einbeziehen möchten, und diese Listen in das rechte Feld übertragen. Um die Listen zu übertragen, klicken Sie auf den mittleren Pfeil, um diese Variablen aus dem linken Feld in das rechte Feld zu verschieben.

Schritt 5: Aktivieren Sie das Kontrollkästchen „Standardabweichung“ und klicken Sie dann auf „OK“. Die Antwort wird rechts im Fenster in der letzten Spalte mit der Überschrift „std“ angezeigt.“

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Excel

Inhalt:
Excel 2013 & nach oben
STDEV oder STDEV.P?

Hinweise für Mac:
Verwenden Sie für die Standardabweichung für eine Gesamtpopulation (σ):
STDEV.P(A1:A10)
Für die Standardabweichung einer Stichprobe (ein Bruchteil der Grundgesamtheit) verwenden Sie:
STDEV.S(A1:A10)

Excel 2013 & up

Sehen Sie sich das Video an oder lesen Sie weiter unten:

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, die Standardabweichung zu ermitteln:

1. Die STDEV-Funktion.
2. Das Toolpaket zur Datenanalyse.

Erwägen Sie die Installation des Datenanalyse-Toolpakets, insbesondere wenn Sie mehrere Datenanalysen für Ihre Daten durchführen möchten.

STDEV-Funktion

Schritt 1: Geben Sie die Daten in eine Spalte ein. Beispiel: Spalte A.

Schritt 2: Klicken Sie in eine leere Zelle.

Schritt 3: Geben Sie „= STDEV(A1:A99)“ ein — wobei A1:A99 die Zellpositionen Ihrer Daten sind.

Schritt 4: Klicken Sie auf „OK.“

Das Toolpak

Schritt 1: Klicken Sie auf die Registerkarte „Daten“ und dann auf „Datenanalyse.“

Schritt 2: Klicken Sie auf „Deskriptive Statistik“ und dann auf „OK.“

Schritt 3: Klicken Sie auf das Feld Eingabebereich und geben Sie ein, wo sich Ihre Daten befinden. Wenn Sie beispielsweise Ihre Daten in die Zellen B1 bis B50 eingegeben haben, geben Sie „B1: B50“ in das Feld ein.

Schritt 4: Wählen Sie das Optionsfeld Zeilen oder Spalten. Dies hängt davon ab, wie Sie Ihre Daten eingeben.

Schritt 5: Klicken Sie auf das Feld „Beschriftungen in der ersten Zeile“, wenn Ihre Daten Spaltenüberschriften haben. Eine Spaltenüberschrift ist das erste Feld in einer Spalte (z. B. A1, A2, A3 …), das eine Art Beschriftung hat, z. B. „Katzen“, „Probe“ oder „Monde“.

Schritt 6: Klicken Sie auf das Kontrollkästchen „Beschreibende Statistiken“.

Schritt 7: Wählen Sie einen Speicherort für Ihre Ergebnisse. Wenn Sie beispielsweise auf das Optionsfeld „Neues Arbeitsblatt“ klicken, werden Ihre Ergebnisse in ein neues Arbeitsblatt ausgegeben.

Schritt 8: Klicken Sie auf „OK.“

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STDEV, STDEV.P, STDEV.S, STDEVA, STDEVPA und STDEVP

Sehen Sie sich das Video an oder lesen Sie weiter unten:

Excel 2013 verfügt über SECHS Funktionen für die Standardabweichung:

• STDEV,
• STDEV.P,
• STDEV.S,
• STDEVA,
• STDEVPA
• STDEVP.

Welche Funktion Sie wählen, hängt davon ab, ob:

1. Sie mit Samples oder Populationen arbeiten.
2. Sie möchten numerische Daten oder andere Datentypen (wie die binären TRUE und FALSE) auswerten.

Die folgende Tabelle zeigt die Unterschiede zwischen den sechs Typen.

*Mit früheren Versionen von Excel.

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TI-89 Rechner

Sehen Sie sich das Video an oder lesen Sie weiter unten.

Beispielproblem: Was ist die Standardabweichung der Stichprobe für diese Liste? 1, 34, 56, 89, 287, 598, 1001.

Schritt 1: Drücken Sie HOME.

Schritt 2: PRESSEKATALOG.
Es befindet sich unter der APPS-Taste in der oberen Mitte Ihrer Tastatur.

Schritt 3: Scrollen Sie zu StdDev(.
Drücken Sie die EINGABETASTE.

Schritt 4: Drücken Sie 2nd, dann (.
Die Anzeige sollte lauten:
StdDev({
Beachten Sie die geschweifte Klammer:

Schritt 5: Geben Sie die Zahlen ein. Stellen Sie sicher, dass Sie nach jeder Zahl Kommas eingeben.
Das Endergebnis sollte so aussehen:
StdDev({1,34,56,89,287,598,1001

Schritt 6: Drücken Sie 2nd, dann ) zweimal.
Dies schließt den Ausdruck:
StdDev({1,34,56,89,287,598,1001}).

Schritt 7: Drücken Sie die EINGABETASTE, um die Lösung zu erhalten:
375.149.

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Gonick, L. (1993). Der Cartoon-Leitfaden für Statistiken. HarperPerennial.Kenney, J. F. und Keeping, E. S. Mathematik der Statistik, Pt. 2, 2. Aufl. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.
Kotz, S.; et al., eds. (2006), Enzyklopädie der statistischen Wissenschaften, Wiley.Papoulis, A. Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse, 2. Aufl. New York: McGraw-Hill, S. 144-145, 1984.
Vogt, W.P. (2005). Wörterbuch der Statistik & Methodik: Ein nichttechnischer Leitfaden für die Sozialwissenschaften. SALBEI.
Lindstrom, D. (2010). Schaum’s Easy Outline of Statistics, zweite Auflage (Schaum’s Easy Outlines) 2. Auflage. McGraw-Hill Education

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