Winkel- und Lineargeschwindigkeit und RPM
Sektoren-, Flächen- und Bogenschwertproblemewinkel- und Lineargeschwindigkeit
Purplemath
Aus irgendeinem Grund scheint es ziemlich üblich zu sein, dass Lehrbücher fragen der Winkelgeschwindigkeit, Lineargeschwindigkeit und Umdrehungen pro Minute (U / min) kurz nach der Erläuterung der Kreissektoren, ihrer Flächen und ihrer Bogenlängen.
Die Länge eines Bogens ist die Entfernung um einen Kreis; und die lineare Entfernung, die beispielsweise ein Fahrrad zurücklegt, hängt mit dem Radius der Reifen des Fahrrads zusammen. Wenn Sie einen Punkt auf dem Vorderreifen des Fahrrads markieren (z. B. die Stelle gegenüber dem Reifenventil) und zählen, wie oft sich das Rad dreht, können Sie die Anzahl der Kreisumfänge ermitteln, die der markierte Punkt bewegt hat.
Inhalt weiter unten
MathHelp.com
Wenn Sie diese Umfänge „abwickeln“, um eine gerade Linie zu erhalten, haben Sie die Entfernung gefunden, die das Fahrrad zurückgelegt hat. Diese Art von Beziehung zwischen den verschiedenen Maßnahmen ist, denke ich, warum dieses Thema oft an dieser Stelle in den Studien auftaucht.
Zunächst benötigen wir einige Fachbegriffe und Definitionen.
„Winkelgeschwindigkeit“ ist ein Maß für die Drehung pro Zeiteinheit. Es gibt die Größe des Winkels an, um den sich etwas in einer bestimmten Zeitspanne dreht. Zum Beispiel, wenn ein Rad sechzig Mal in einer Minute dreht, dann hat es eine Winkelgeschwindigkeit von 120π Bogenmaß pro Minute. Dann wird die Winkelgeschwindigkeit in Bogenmaß pro Sekunde gemessen, der griechische Kleinbuchstabe omega (ω) wird oft als Name verwendet.
„Lineare Geschwindigkeit“ ist ein Maß für die Entfernung pro Zeiteinheit. Wenn beispielsweise das Rad im vorherigen Beispiel einen Radius von 47 Zentimetern hat, beträgt jeder Durchgang des Umfangs 945 cm oder etwa 295 cm. Da das Rad sechzig dieser Umdrehungen in einer Minute ausführt, beträgt die Gesamtlänge 60 × 94&pi = 5.640 π cm oder etwa 177 Meter in einer Minute. (Das sind ungefähr 10,6 km / h oder ungefähr 6,7 Meilen pro Stunde.)
„Umdrehungen pro Minute“, normalerweise abgekürzt als „rpm“, ist ein Maß für die Drehung pro Zeiteinheit, aber die Zeiteinheit ist immer eine Minute. Und anstatt das Winkelmaß des Drehens anzugeben, gibt es nur die Anzahl der Drehungen an. Wenn Sie den Drehzahlmesser auf dem Armaturenbrett eines Fahrzeugs betrachten, sehen Sie die aktuelle Drehzahl des Fahrzeugmotors. Im obigen Beispiel wäre die Drehzahl einfach „60“.
„Frequenz“ f ist ein Maß für die Drehung (oder Vibrationen) pro Zeiteinheit, aber die Zeiteinheit ist immer eine Sekunde. Die Einheit für Frequenzen ist das „Hertz“, das als Hz bezeichnet wird.
Die Beziehung zwischen Frequenz f (in Hz), Drehzahl und Winkelgeschwindigkeit ω (im Bogenmaß) wird unten gezeigt (alle Elemente in einer Zeile sind äquivalent):
|
ω (in rad/sec) |
f (in Hz) |
rpm |
Jedoch, sie können feststellen, dass „Winkelgeschwindigkeit“ austauschbar (aber nur informell; nicht von Wissenschaftlern) mit Drehzahl oder Frequenz verwendet wird. Einige (wie Physiker) würden auch behaupten, dass „Winkelgeschwindigkeit“ eine Vektorgröße und ω eine skalare Größe ist, die „Winkelfrequenz“ genannt wird.
Affiliate
Bitte merken Sie sich diese möglichen Zusammenhänge nicht und machen Sie sich keine Sorgen darüber, was „Vektoren“ oder „Skalare“ sein könnten. Ich erzähle Ihnen davon, um Sie zu warnen, dass Sie sehr genau darauf achten sollten, wie Ihr bestimmtes Lehrbuch und Ihr bestimmter Lehrer die verschiedenen Begriffe für diese bestimmte Klasse definieren. Und wisse, dass die Begriffe und Definitionen in deiner nächsten Klasse sehr unterschiedlich sein können.
-
Ein Rad hat einen Durchmesser von 100 Zentimetern. Wenn das Rad einen Wagen trägt, der sich mit 45 Stundenkilometern bewegt, wie hoch ist dann die Drehzahl des Rades auf die nächste ganze Anzahl von Umdrehungen pro Minute?
Die „Drehzahl“ ist die Anzahl der Umdrehungen des Rades pro Minute. Um herauszufinden, wie oft sich dieses Rad in einer Minute dreht, muss ich die (lineare oder geradlinige) zurückgelegte Strecke (pro Minute) ermitteln, wenn ich mich mit 45 km / h bewege. Dann muss ich den Umfang des Rades ermitteln und den gesamten (linearen) Abstand pro Minute durch diesen „Einmal“ -Abstand dividieren. Die Anzahl der Umfänge, die in die Gesamtstrecke passen, ist die Anzahl der Umdrehungen des Rades in diesem Zeitraum.
Zuerst konvertiere ich die (lineare) Geschwindigkeit des Wagens von km / h in „Zentimeter pro Minute“, wobei ich das, was ich über das Umrechnen von Einheiten gelernt habe, verwende. (Warum „Zentimeter pro Minute“? Weil ich nach „Umdrehungen pro Minute“ suche, sind Minuten eine bessere Zeiteinheit als Stunden. Außerdem wird der Durchmesser in Zentimetern angegeben, das ist also eine bessere Längeneinheit als Kilometer.)
Die in einer Minute zurückgelegte Strecke beträgt also 75.000 Zentimeter. Der Durchmesser des Rades beträgt 100 cm, der Radius beträgt also 50 cm und der Umfang 1000 cm. Wie viele dieser Umfänge (oder Radumdrehungen) passen in die 75.000 cm? Mit anderen Worten, wenn ich die Lauffläche dieses Rades vom Wagen abziehen und flach auslegen würde, würde es einen Abstand von 1000 cm messen. Wie viele dieser Längen passen in die gesamte zurückgelegte Strecke in einer Minute? Um herauszufinden, wie viele von (diesem) in so viele von (diesem) passen, muss ich (das) durch (dieses) teilen, also:
Dann, Rundung auf die nächste ganze Zahl (dh Rundung der Antwort auf eine ganze Zahl), lautet meine Antwort:
239 rpm
Hinweis: Diese geschwindigkeit ist nicht so schnell, wie es scheinen mag: es ist nur unter vier umdrehungen pro sekunde. Sie können das auf Ihrem Fahrrad tun, ohne ins Schwitzen zu kommen. Hier ist ein weiterer Hinweis: Die Quelle, von der ich mein Framework für die obige Übung erhalten hatte, verwendete „Winkelgeschwindigkeit“ und „ω“ für „die Anzahl der Umdrehungen pro Minute“. Ja, ein Algebra-Lehrbuch verwendete die falschen Einheiten.
Inhalt weiter unten
Die vorherige Übung gab die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs und Informationen über das Rad. Daraus haben wir die Umdrehungen pro Minute ermittelt. Wir können auch in die andere Richtung gehen; Wir können mit den Umdrehungen pro Minute (plus Informationen über ein Rad) beginnen und die Geschwindigkeit des Fahrzeugs ermitteln.
-
Ein Fahrradrad hat einen Durchmesser von 78 cm. Wenn sich das Rad mit einer Geschwindigkeit von 120 Umdrehungen pro Minute dreht, wie hoch ist die lineare Geschwindigkeit des Fahrrads in Stundenkilometern? Runden Sie Ihre Antwort auf eine Dezimalstelle.
Die lineare Geschwindigkeit ist die geradlinige Strecke, die das Fahrrad während eines definierten Zeitraums zurücklegt. Sie haben mir gegeben, wie oft sich das Rad jede Minute dreht. Ein fester Punkt auf dem Reifen (z. B. ein Kieselstein in der Lauffläche des Reifens) bewegt die Länge des Umfangs für jede Umdrehung. Wenn Sie diesen Abstand auf den Boden abrollen, bewegt sich das Fahrrad für jede Umdrehung um jeweils einen Umfang entlang des Bodens. Diese Frage fordert mich also auf, die Umfangslänge zu ermitteln und daraus die Gesamtstrecke pro Minute zu ermitteln.
Da der Durchmesser 78 cm beträgt, beträgt der Umfang C = 78π cm. Wenn Sie den Weg des Reifens in eine gerade Linie auf dem Boden abwickeln, bewegt sich das Fahrrad für jede Umdrehung des Reifens 780 cm vorwärts. Es gibt 120 solcher Umdrehungen pro Minute, also:
(78π cm / U / min)×(120 U / min) = 9.360π cm/ min
Jetzt muss ich dies von Zentimetern pro Minute in Kilometer pro Stunde umrechnen:
Das Fahrrad bewegt sich mit etwa 17,6 km/ h.
…oder etwa elf Meilen pro Stunde.
Werbung
-
Angenommen, die Erdumlaufbahn ist kreisförmig mit einem Radius von 93.000.000 Meilen und „ein Jahr“ entspricht 365,25 Tagen. Finden Sie unter diesen Bedingungen die lineare Geschwindigkeit der Erde in Meilen pro Sekunde. Runden Sie Ihre Antwort auf eine Dezimalstelle.
Die Geschwindigkeit ist die (lineare oder äquivalente geradlinige) Strecke, die in einer Sekunde zurückgelegt wurde, geteilt durch die eine Sekunde. Sie gaben mir ein Jahr lang Informationen, also fange ich dort an. Der Umfang des Kreises mit r = 93.000.000 Meilen ist die lineare Entfernung, die die Erde in einem Jahr zurücklegt.
Dies ist die Anzahl der Meilen, die in einem Jahr zurückgelegt wurden, aber ich brauche die Anzahl der Meilen, die in nur einer Sekunde zurückgelegt wurden. Es gibt vierundzwanzig Stunden an einem Tag, sechzig Minuten in einer Stunde und sechzig Sekunden in einer Minute, also ist die Gesamtzahl der Sekunden für dieses Jahr:
Dann ist die lineare Geschwindigkeit, die die gesamte lineare Entfernung geteilt durch die Gesamtzeit ist und als Einheitsrate ausgedrückt wird, gleich:
Dann, auf eine Dezimalstelle gerundet, beträgt die lineare Geschwindigkeit der Erde:
18,5 Meilen pro Sekunde
„Hey!“ Ich höre dich weinen. „Wann werden wir Winkelmaße für irgendetwas verwenden?“ Während viele („die meisten“? einige der Übungen in Ihrem Buch werden wahrscheinlich den oben genannten ähnlich sein, Sie können sich gelegentlich mit tatsächlichen Bogenmaß und Grad befassen.
-
Ein Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 10 mph auf einer Kurve mit einem Radius von 3000 Fuß. Durch welchen Winkel wird der Zug in einer Minute drehen? Auf die nächste ganze Gradzahl runden.
„Eine Kurve mit einem Radius von 3000 Fuß“ bedeutet, dass, wenn ich versucht hätte, einen Kreis genau in die Kurve einzupassen, die beste Passform ein Kreis mit einem Radius von r = 3000 Fuß gewesen wäre. Mit anderen Worten, ich kann circle Facts verwenden, um diese Frage zu beantworten.
Da der Radius der Kurve in Fuß ist und ich den in einer Minute zurückgelegten Winkel ermitteln muss, konvertiere ich zunächst die Geschwindigkeit von Meilen pro Stunde in Fuß pro Sekunde:
Der Betrag der gekrümmten Strecke, die der Zug zurücklegt, ist auch ein Teil des Umfangs des Kreises. Diese 880 Fuß sind also die Bogenlänge, und jetzt muss ich den subtended Winkel des (implizierten) Kreissektors finden:
Aber dieser Wert ist im Bogenmaß (weil das die Bogenlängenformel verwendet), und ich brauche meine Antwort in Grad, also muss ich konvertieren:
Der Zug dreht sich um einen Winkel von etwa:
17°
Stellen Sie sich vor, Sie stünden in der Mitte dieses imaginären Kreises (dh dreitausend Fuß von der Kurve entfernt, mehr als eine halbe Meile entfernt) und beobachteten, wie sich der Zug entlang der Kurve bewegte. Wenn Sie Ihre Hand auf Armeslänge ausstrecken, eine enge Faust machen und, während Sie die Mittelfinger fest mit dem Daumen festhalten, Ihre kleinen Finger und Zeigefinger anheben, würde der Abstand zwischen ihnen etwa fünfzehn Grad betragen. Der Zug würde sich kaum mehr bewegen. Wenn Sie Ihre Faust auf Armeslänge halten und Ihren kleinen Finger und Daumen ausstrecken würden, wäre der Abstand ungefähr fünfundzwanzig Grad. Der Zug würde Ihre Finger nicht in der vorgegebenen Zeit verlassen.
(Manchmal lerne ich die coolsten Sachen, wenn ich Textprobleme recherchiere. Dann wieder, meine Definition von „cool“ kann ein bisschen traurig sein….)
URL: https://www.purplemath.com/modules/sectors3.htm
Seite 1seite 2Seite 2