8.3: momento Orbital do dipolo magnético do electrão

objectivos de aprendizagem

:

  • Explique por que o átomo de hidrogênio tem propriedades magnéticas
  • a Explicar por que os níveis de energia de um átomo de hidrogênio associado com orbital angular momentum são divididos por um campo magnético externo
  • Use números quânticos para calcular a magnitude e a direção do orbital momento dipolar magnético de um átomo de hidrogênio

No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, o elétron se move em uma órbita circular em torno do próton. O elétron passa por um ponto particular no loop em um certo tempo, para que possamos calcular um \atual (I = Q / t\). Um elétron que orbita um próton em um átomo de hidrogênio é, portanto, análogo à corrente que flui através de um fio circular (figura \(\PageIndex{1}\)). No estudo do magnetismo, vimos que um fio de transporte de corrente produz campos magnéticos. É, portanto, razoável concluir que o átomo de hidrogénio produz um campo magnético e interage com outros campos magnéticos.

Figure (a) shows a current carring loop. O loop tem corrente i a circular no sentido anti-horário visto de cima. Um vetor mu apontando para cima é mostrado no centro do loop. A figura (b) mostra o átomo de hidrogênio como um elétron, representado como uma pequena bola e rotulado menos e, fazendo uma órbita circular no sentido anti-horário, como visto de cima. Uma esfera, um vetor mu apontando para baixo, e um vetor L apontando para cima são mostrados no centro da órbita.
Figure \(\PageIndex{1}\): (a) corrente fluindo através de um fio circular é análogo a (b) um elétron que orbita um próton em um átomo de hidrogênio.

o momento orbital do dipolo magnético é uma medida da força do campo magnético produzido pelo momento angular orbital de um elétron. A partir da força e Torque em um Loop atual, a magnitude do momento do dipolo orbital para um loop atual é

\

onde \(i\) é a corrente e \(a\) é a área do loop. (Para brevidade, referimo-nos a isto como o momento magnético.) The current \(i\) associated with an electron in orbit about a proton in a hydrogen atom is

\

where e is the magnitude of the electron charge and \(T\) is its orbital period. Se partirmos do princípio de que o elétron viaja em uma órbita perfeitamente circular, o período orbital é

\

, onde r é o raio da órbita e v é a velocidade do elétron em sua órbita. Dado que a área de um círculo é \(\pi r^2\), a absoluta momento magnético é

\

é útil para expressar o impulso magnético μμ em termos do momento angular orbital (\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\)). Como o elétron orbita em um círculo, o vetor de posição \(\vec{r}\) e o vetor de momento \(\vec{p}\) formam um ângulo reto. Assim, a magnitude do momento angular orbital é

\

a Combinação destas duas equações, temos

\

Em plena forma vetorial, esta expressão é escrito como

\

O sinal negativo aparece porque o elétron possui uma carga negativa. Observe que a direção do momento magnético do elétron é antiparalel ao momento angular orbital, como mostrado na figura \(\PageIndex{1b}\). No modelo de Bohr do átomo, a relação entre \(\vec{\mu}\) e \(\vec{L}\) na Equação \ref{GRANDE} é independente do raio da órbita.

O momento magnético \(μ\) também pode ser expresso em termos do número quântico angular orbital \(l\). Combinando a Equação \ref{eq2} e a Equação \ref{eq1}, a magnitude do momento magnético é

\

O componente-z do momento magnético é

\ &= – \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, m \hbar \\ &= – \mu_B m. \label{eq6} \end{align}\]

A quantidade de \(\mu_B\) é uma unidade fundamental do magnetismo chamado o magneton de Bohr, que tem o valor de \(9.3 \times 10^{-24} \, Joule/Tesla\) (J/T) ou \(5.8 \times 10^{-5} eV/T\). Quantização do momento magnético é o resultado da quantização do momento angular orbital.como veremos na próxima seção, o momento do dipolo magnético total do átomo de hidrogênio é devido ao movimento orbital do elétron e seu spin intrínseco. Por agora, ignoramos o efeito do spin electrónico.

exemplo \(\PageIndex{1}\): Orbital Magnetic Dipole Moment

Qual é a magnitude do orbital dipole magnetic moment μ of an electron in the hydrogen atom in the (A) s state, (b) p state, and (C) d state? (Suponha que o spin do elétron é zero.)

estratégia

O momento magnético do elétron está relacionado com o seu momento angular orbital L. para o átomo de hidrogênio, esta quantidade está relacionada com o número quântico angular orbital l. os estados são dados em notação espectroscópica, que relaciona uma letra (s, p, d, etc. ) para um número quântico.

Solução

A magnitude do momento magnético é dado na Equação \ref{eq5}:

\ &= \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, \sqrt{l(l + 1)} \hbar \nonumber \\ &= \mu_B\sqrt{l(l + 1)}. \end{align}\]

  1. para o estado s, \(l = 0\) por isso temos \(\mu = 0\) e \(\mu_z = 0\).
  2. Para o estado p, \(l = 0\) e temos \ \ que \(m = (-1, 0, 1)\) assim \
  3. Para o estado d, \(l = 2\) e obtemos \ \ que \(m = (-2, -1, 0, 1, 2)\) assim \

Significância

No s do estado, não há orbital angular momentum e, portanto, nenhum momento magnético. Isto não significa que o elétron esteja em repouso, apenas que o movimento geral do elétron não produz um campo magnético. No estado p, o elétron tem um momento magnético com três valores possíveis para o z-componente do momento magnético; isto significa que o momento magnético pode apontar em três diferentes polar direções—cada antiparallel para o orbital angular momentum vetor. No Estado d, o elétron tem um momento magnético com cinco valores possíveis para o componente z deste momento magnético. Neste caso, o momento magnético pode apontar em cinco direções polares diferentes.

um átomo de hidrogénio tem um campo magnético, pelo que esperamos que o átomo de hidrogénio interaja com um campo magnético externo—como a pressão e a tracção entre dois ímanes de barras. De Força e Torque em um Loop de Corrente, nós sabemos que quando um loop de corrente interage com um campo magnético externo \(\vec{B}\), ele experimenta um torque dado por

\

, onde I é a corrente, \(\vec{A}\) é a área do loop, \(\vec{\mu}\) é o momento magnético, e \(\vec{B}\) é o campo magnético externo. Este torque atua para rodar o vetor momento magnético do átomo de hidrogênio para se alinhar com o campo magnético externo. Como o trabalho mecânico é feito pelo campo magnético externo do átomo de hidrogênio, podemos falar sobre transformações de energia no átomo. O potencial de energia do átomo de hidrogênio associado a esta interação magnética é dada pela Equação \ref{eq30}:

\

Se o momento magnético é antiparallel para o campo magnético externo, a energia potencial é grande, mas se o momento magnético é paralelo ao campo, o potencial de energia é pequena. O trabalho realizado no átomo de hidrogênio para rodar o vetor do momento magnético do átomo na direção do campo magnético externo é, portanto, associado a uma queda na energia potencial. A energia do sistema é conservada, no entanto, porque uma queda na energia potencial produz radiação (a emissão de um fóton). Estas transições de energia são quantizadas porque o momento magnético pode apontar em apenas certas direções.

Se o campo magnético externo pontos positivos z-direção, a energia potencial associada com o orbital magnético momento dipolar é

\

onde \(\mu_B\) é o magneton de Bohr e m é o momento angular de projeção quantum número (ou magnético orbital quantum número), que tem como valores

\

Por exemplo, em a \(l = 1\) elétron do estado, a energia total do elétron é dividida em três distintos níveis de energia correspondentes a \(U = -\mu_B B, 0, \mu_B B\).

A figura mostra o efeito do campo magnético, B sub ext, em duas diferentes linhas espectrais, o que corresponde a l=1, l=0 de transição à esquerda e a l=2 l=0 transição à direita. Os espectros são mostrados para nenhum campo externo, para um campo externo não zero e para um grande campo externo. Sem campo externo, ambas as transições aparecem como linhas únicas. No segundo caso, quando o campo magnético é aplicado, as linhas espectrais se dividem em várias linhas; a linha à esquerda se divide em três linhas. A linha da direita divide-se em cinco. No terceiro caso, o campo magnético é grande. A linha esquerda é novamente dividida em três linhas e a direita em cinco, mas as linhas divididas são mais distantes do que eles são quando o campo magnético externo não é tão forte.
Figure \(\PageIndex{2}\): o efeito Zeeman refere-se à divisão das linhas espectrais por um campo magnético externo. Na coluna da esquerda, a divisão de energia ocorre devido às transições do Estado (\(n = 2,\, l = 1\)) para um estado de energia inferior; e na coluna direita, a divisão de energia ocorre devido às transições do Estado (\(n = 2,\, l = 2\)) para um estado de menor energia. A separação destas linhas é proporcional à força do campo magnético externo.

the splitting of energy levels by an external magnetic field is called the Zeeman effect. Ignorando os efeitos do spin electrónico, as transições do estado \(l = 1\) para um estado de energia inferior comum produzem três linhas espectrais espaçadas (figura \(\PageIndex{2}\), coluna da esquerda). Da mesma forma, as transições do estado \(l = 2\) produzem cinco linhas espectrais espaçadas (coluna direita). A separação destas linhas é proporcional à força do campo magnético externo. Este efeito tem muitas aplicações. Por exemplo, a divisão de linhas no espectro de hidrogênio do sol é usada para determinar a força do campo magnético do sol. Muitas dessas medidas de campo magnético podem ser usadas para fazer um mapa da atividade magnética na superfície do sol chamado magnetograma (figura \(\PageIndex{3}\)).

um magnetograma do sol, que aparece como um disco cinzento contra um fundo preto, com manchas brancas e pretas espalhadas nele. A maioria dos pontos estão concentrados na parte central direita da imagem.
Figure \(\PageIndex{3}\): um magnetograma do sol. As manchas claras e escuras mostram uma atividade magnética significativa na superfície do sol.

contribuintes e atribuições

Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), e Bill Moebs com muitos autores contribuintes. Este trabalho é licenciado pela Universidade de Física da OpenStax sob uma licença Creative Commons Attribution (por 4.0).



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