heikko suurilukuinen laki
2.3 Bayesilainen tilastoparadigma
sen kannattajat ja kriitikot ovat yleisesti yhtä mieltä siitä, että Bayesialaisuus5 on tällä hetkellä vallitseva näkemys tieteenfilosofiassa. Jotkut tilastotieteilijät ovat menneet pidemmälle, conjecturing vuosia sitten, että Bayesian tilastot on hallitseva tilastoja 2000-luvulla. Tämän johdannon soveltamisala ei ulotu väitteen tueksi. On kuitenkin kiistatonta, että Bayesilaisella paradigmalla on ollut keskeinen asema esimerkiksi filosofian, tilastotieteen, tietojenkäsittelytieteen ja jopa oikeustieteen aloilla.
Bayesilaiset jaetaan karkeasti subjektiivisiin ja objektiivisiin luokkiin. Kaikkien Bayesialaisten mukaan agentin uskomuksen on täytettävä todennäköisyyslaskennan säännöt. Muuten agentin uskomus on tuttuun ”hollantilaiseen kirjaan” perustuvan argumentin mukaan epäjohdonmukainen. Subjektiiviset Bayesilaiset pitävät tätä (probabilistista) koherenssia sekä välttämättömänä että riittävänä ehtona agentin uskomusten rationaalisuudelle, ja sitten (tyypillisesti) väittävät rationaalisten agenttien uskomusten yhtenäistyvän ajan myötä. Tieteellisen päättelyn ydin ja sen ”objektiivisuuden” lähde on johdonmukaisuuden ja lähentymisen varmistaminen. Objektiiviset Bayesilaiset taas pitävät tyypillisesti kiinni siitä, että vaikka koherenssiehto on välttämätön, se ei myöskään riitä sellaiseen objektiivisuuteen, jonka tieteellisten menetelmien on tarkoitus mahdollistaa.
Paul Weirich ’ s paperi tässä volyymi keskittyy ensisijaisesti Subjektiivinen todennäköisyys. Weirich on kehittänyt Bayesilaisen päätösteoreettisen lähestymistavan, jossa hän pohtii, miten agentin uskomuksia voidaan muuttaa datan valossa. Todennäköisyydet edustavat agentin uskomusastetta. Weirich arvioi useita Bayesialaisia vastaan nostettuja syytteitä. Erään hänen tarkastelemansa vastaväitteen mukaan Bayesialaisuus sallii agentin uskomusasteet mitä tahansa, kunhan ne täyttävät todennäköisyyslaskennan. Weirich katsoo vastaväitteen tarkoittavan, että Bayesilaisten subjektiivisten todennäköisyyksien on edustettava agentin idiosynkraattisia uskomuksia. Hän on kuitenkin hylännyt sallivan Bayesialaisuuden ja suosinut omaa versiotaan Bayesialaisuudesta. Ehdollisen todennäköisyyden käsite, johon ehdollistamisen periaate perustuu, on hänelle keskeinen. Tämän periaatteen mukaan tekijän tulisi päivittää uskomusasteensa hypoteesiin (H) datan(D) valossa ehdollistamisperiaatteen mukaisesti, jonka mukaan hänen uskomusasteensa H: hon sen jälkeen, kun tieto on tiedossa, annetaan ehdollisella todennäköisyydellä P(H|D) = P(H&D)/P(D) olettaen, että P (D) ei ole nolla. Weirich arvioi myös ehdollistamisperiaatteen käytöstä nostettuja syytteitä. Lopuksi hän vertaa Bayesian tilastollinen päätös teoria klassisen tilastoja, lopuksi hänen paperin kanssa arviointi jälkimmäisen.
yksi tieteenfilosofian keskeinen tutkimusalue on Bayesilainen konfirmaatioteoria. James Hawthorne ottaa Bayesilaisen konfirmaatioteorian tarjotakseen logiikan siitä, miten todisteet eroavat kilpailevista hypoteeseista tai teorioista. Hänen mukaansa on harhaanjohtavaa tunnistaa Bayesilainen konfirmaatioteoria todennäköisyyden subjektiivisella kertomuksella. Sen sijaan jokainen tili, joka edustaa sitä, missä määrin hypoteesia tuetaan todistusaineiston hypoteesin ehdollisena todennäköisyytenä, jossa mukana oleva todennäköisyysfunktio täyttää tavanomaiset todennäköisyyslaskennan aksioomat, on Bayesilainen konfirmaatioteoria riippumatta sen käyttämän todennäköisyyden käsitteen tulkinnasta. For, on any such account Bayes ’ lause ilmaisee, miten mitä hypoteeseja sanoa todisteita (kautta likelicieses) vaikuttaa siihen, missä määrin hypoteeseja tukevat todisteet (kautta posterior todennäköisyydet). Hawthorne väittää, että tavanomainen subjektiivinen tulkinta todennäköisyysvahvistusfunktiosta on vakavasti kyseenalaistettu laajennetuilla versioilla vanhan todistusaineiston ongelmasta. Hän osoittaa, että tavanomaisessa subjektivistisessa tulkinnassa vähäpätöinenkin tieto, jonka agentti voi saada selville todistusväitteestä, voi täysin horjuttaa likimaden objektiivisuutta. Näin ollen konfirmaatiofunktio ei voi kestää tavanomaista subjektivistista tulkintaa sikäli kuin likiliittojen oletetaan olevan objektiivisia (tai intersubjektiivisesti sovittuja). Hawthorne katsoo, että todennäköisyydet riippuvat todennäköisyysarvioista, mutta väittää, että tällaiset arviot eivät ole pelkästään subjektiivisia ja että Bayesilainen konfirmaatioteoria ei ole vakavasti haitaksi sellaiselle subjektiivisuudelle, joka näihin arvioihin liittyy. Hän perustaa jälkimmäisen väitteen voimakkaaseen Bayesiläiseen konvergenssitulokseen, jota hän kutsuu todennäköisyyssuhteen konvergenssilauseeksi. Tämä lause riippuu vain likeliabilities, ei etukäteen todennäköisyydet; ja se on heikko laki suurten lukujen tulos, että toimittaa nimenomaisia rajoja, lähentymisnopeus. Se osoittaa, että todistusaineiston lisääntyessä käy erittäin todennäköiseksi, että todistusaineiston tulokset ovat sellaisia, että todennäköisyyssuhteet tulevat voimakkaasti suosimaan todellista hypoteesia kunkin todistusaineiston perusteella erotettavan kilpailijan sijasta. Näin ollen mikä tahansa kaksi vahvistusfunktiota (joita käyttävät eri tekijät), jotka ovat yhtä mieltä todennäköisyyksistä, mutta eroavat hypoteesien ennakkotodennäköisyyksistä (edellyttäen, että todellisen hypoteesin edeltäjä ei ole liian lähellä arvoa 0), pyrkii tuottamaan todennäköisyyssuhteita, jotka tuovat posterioriset todennäköisyydet lähentymään kohti 0: ta väärille hypoteeseille ja kohti 1: tä todelliselle vaihtoehdolle.6
John D. Norton pyrkii tarjoamaan vastapainon nykyisin vallitsevalle näkemykselle, jonka mukaan Bayesilainen konfirmaatioteoria on onnistunut löytämään universaalin logiikan, joka hallitsee todistusaineistoa ja sen induktiivista merkitystä tieteessä. Hän myöntää, että Bayesilaisilla on hyviä syitä optimismiin. Siinä missä monet muut ovat epäonnistuneet, heidän järjestelmänsä onnistuu täsmentämään tarkka laskutoimitus, selittämään muiden kertomusten induktiiviset periaatteet ja yhdistämään ne yhdeksi johdonmukaiseksi teoriaksi. Kuitenkin, hän kehottaa, sen valta-asema syntyi vasta äskettäin vuosisatojen Bayesilainen teoretisointi ja ehkä ei viimeinen ottaen huomioon sitkeys ongelmia se kohtaa.
monet Nortonin Bayesilaiselle konfirmaatioteorialle havaitsemat ongelmat koskevat muotoseikkoja, joita lukijamme saattavat pitää enemmän tai vähemmän huolestuttavina. Hänen mukaansa vakavin haaste juontuu Bayesilaisesta pyrkimyksestä esittää täydellinen selvitys induktiivisesta päättelystä, joka jäljittää induktiivisen päättelymme alkuperäiseen, neutraaliin tilaan ennen minkään todistusaineiston sisällyttämistä. Nortonin mukaan tämän pyrkimyksen voittaa saarnaajien tunnettu, vastahakoinen ongelma, joka kerrotaan kahdessa muodossa hänen luvussaan. Eräässä muodossa ongelmana on, että posteriorinen P(H|D&B), joka ilmaisee tiedon d induktiivisen tuen hypoteesille H yhdessä taustatietojen B kanssa, on täysin vahvistettu kahden ”edeltävän” todennäköisyyden, P(h&D|B) ja P(d|B) avulla. Jos on subjektivisti ja katsoo, että edeltävät todennäköisyydet voidaan valita hetken mielijohteesta, subjektina vain todennäköisyyslaskennan aksioomat, niin Nortonin mukaan posteriorinen P(h|d&B) ei voi koskaan vapautua noista päähänpistoista. Tai jos joku on objektivisti ja katsoo, että kussakin erityistilanteessa voi olla vain yksi oikea edeltäjä, niin, kuten hänen luvussa selitetään, todennäköisyysmittarin yhteenlasku estää antamasta todella ”informationless priors.”Tämä on parempi, mukaan Norton, koska todella informationless prior antaisi saman arvon jokaiselle ehdollinen proposition algebra. Posteriorin toiminnallinen riippuvuus prioreista pakottaisi kaikki ei-triviaalit posteriorit yhteen informaatiottomaan arvoon. Näin ollen Bayesilainen kertomus voi Nortonin mukaan olla ei-triviaali vain, jos se alkaa runsaalla todennäköisyysjakaumalla, jonka induktiivinen sisältö saadaan muilla, ei-Bayesilaisilla keinoilla.
kolme papers, volyymi tutkia mahdollisuutta, että Bayesian huomioon voitaisiin osoittaa eräänlaisena logiikkaa. Colin Howsonin mukaan Bayesialaisuus on eräs päättelyn deduktiivisen logiikan muoto, kun taas Roberto Festa ja Jan-Willem Romeijn väittävät, että Bayesialainen teoria voidaan heittää induktiivisen päättelyn muodossa. Tutkia, onko Bayesian huomioon voidaan pitää eräänlaisena deduktiivinen inference, Howson tarkastellaan lyhyesti viimeisen kolmensadan vuoden tieteellinen inference ja sitten keskittyy siihen, miksi hän ajattelee, että Bayesian inference olisi pidettävä eräänlaisena puhdasta logiikkaa inference. Ottaen huomioon keskustelun siitä, onko probabilistinen päättely voidaan pitää johdonmukaisuuden tai johdonmukaisuuden logiikkana, hän keskustelee de Finettin todennäköisyysteoriasta, jossa de Finetti otti todennäköisyysteorian sanoakseen mitään maailmasta, mutta ottaa sen ”epävarmuuden logiikkana.”Yksi motivoiva syy pohtia, miksi Bayesilainen päättely tulisi ottaa puhtaan logiikan logiikkana, on huomata, että hän on eri mieltä Kyburgin kanssa siitä, että ilmaisu ”johdonmukaisuus” on sovellettavissa järjestelmään, joka ei sisällä kahta epäjohdonmukaista uskomusta, ja ilmaisu ”johdonmukaisuus” on sovellettavissa uskomusasteisiin. For Howson, analogia kanssa deduktiivinen logiikka on välillä jälkimmäinen asettaa johdonmukaisuus rajoitteet totuus-arvioinnit ja sääntöjen todennäköisyyslaskenta asettaa rajoitteita aste usko. Loput hänen paperi on omistettu kehittää ja tulkita Bayesian inference kuin muoto puhdasta logiikkaa inference.
sekä Festa että Romeijn ovat pahoillaan siitä, että viime vuosisadalla tilastot ja induktiivinen päättely ovat kehittyneet ja kukoistaneet enemmän tai vähemmän toisistaan riippumatta, ilman selkeitä symbioosin merkkejä. Festa zoomaa Bayesian tilastoja ja Carnapin teoriaa induktiivisista todennäköisyyksistä, ja osoittaa, että huolimatta niiden erilaisista käsitteellisistä perusteista jälkimmäisten menetelmät ovat olennaisesti samat kuin edellisessä käytetyt menetelmät. Hän väittää, että joitakin induktiivisen logiikan käsitteitä ja menetelmiä voidaan soveltaa useiden tilastollisten käsitteiden ja menettelyjen rationaaliseen rekonstruktioon. Hänen mukaansa induktiivinen logiikka ehdottaa joitakin uusia menetelmiä, joita voidaan käyttää erilaisiin tilastollisiin päättelyihin, joihin liittyy analogisia näkökohtia. Lopuksi Festa osoittaa, miten bayesilainen versio totuuden approksimaatiosta voidaan kehittää ja integroida tilastolliseen viitekehykseen.7
Romeijn tutkii myös tilastotieteen ja induktiivisen logiikan suhdetta. Vaikka induktiivinen logiikka ja tilastotiede ovat kehittyneet erikseen, Romeijn ajattelee festan tavoin, että on aika tutkia näiden kahden välisiä suhteita. Hänen paperi, hän tutkii, onko mahdollista edustaa eri liikennemuotojen tilastollinen päättely kannalta induktiivinen logiikka. Romeijn pohtii kolmea keskeistä ajatusta tilastoissa yhteyden väärentämiseksi. Ne ovat (i) Neyman-Pearson hypoteesin testaus (NPTH), (ii) suurin todennäköisyys estimointi, ja (iii) Bayesilainen tilastot. Romeijn osoittaa sekä Karnapilaista että Bayesilaista induktiivista logiikkaa käyttäen, että kahdesta näistä ideoista viimeinen (ts., maksimitodennäköisyyden estimointi ja Bayesilainen tilastotiede) voidaan esittää luonnollisesti ei-monistavan induktiivisen logiikan avulla. Hänen lukunsa viimeisessä osassa NPTH liitetään Bayesilaiseen induktiiviseen logiikkaan intervallipohjaisten todennäköisyyksien avulla tilastollisten hypoteesien yli.
koska on subjektiivisia Bayesialaisia, on myös objektiivisia Bayesialaisia. José Bernardo on yksi heistä. Koska monet filosofit eivät yleensä ole tietoisia Bernardon työstä, me omistamme suhteellisesti pidemmän keskustelun siitä. Bernardo kirjoittaa, että ”t: stä on tullut vakiokäytäntö,…, kuvaamaan ”objektiiviseksi” mitä tahansa tilastollista analyysiä, joka riippuu vain otetusta mallista. Tässä täsmällisessä merkityksessä (ja vain tässä mielessä) referenssianalyysi on menetelmä tuottaa ’objektiivinen’ Bayesilainen päättely” .
bernardolle viiteanalyysi, jota hän on kannattanut objektiivisen Bayesialaisuuden brändinsä edistämiseksi,tulisi ymmärtää jonkinlaisena parametrisena mallina muodossa M≡{P(x / w), x∈X, w∈Ω}, joka kuvaa olosuhteita, joissa data on syntynyt. Tässä aineiston x oletetaan koostuvan yhdestä satunnaisprosessin havainnosta x ∈ X todennäköisyysjakauman p (x|w) kanssa joillekin w ∈ Ω. Parametrinen malli on esimerkki tilastollisesta mallista. Bernardo määrittelee θ = θ(w) Θ Θ olevan jokin kiinnostuksen vektori. Kaikki legitiimit Bayesilaiset päätelmät arvosta θ vangitaan sen posteriorijakaumassa P (θ|x)∫ ∫ ΛP(x|θ,λ)P (θ,λ)dλ edellyttäen, että nämä päätelmät tehdään oletetulla mallilla. Tässä λ on jokin haittaparametrien vektori ja siitä käytetään usein nimitystä ”malli” P(x|λ).
tämänkaltaisen objektivismin vetovoimana on sen korostaminen ”referenssianalyysissä”, joka tilastollisten työkalujen avulla on edistynyt objektiivisuuden teemansa muuttamisessa kunnioitettavaksi tilastolliseksi koulukunnaksi Bayesilaisuuden sisällä. Kuten Bernardo kirjoittaa, ”eference-analyysiä voidaan kuvata menetelmänä johtaa mallipohjaisia, ei-subjektiivisia posterioreja, jotka perustuvat informaatioteoreettisiin ideoihin ja joiden tarkoituksena on kuvata tiedon pääteltyä sisältöä tieteellistä viestintää varten” . Tässä ”päätelty sisältö tietojen” hän tarkoittaa, että edellinen tarjoaa ”perustan menetelmä johtaa ei-Subjektiivinen posteriors” (Ibid). Bernardon objektiivinen Bayesialaisuus koostuu seuraavista väitteistä
Ensinnäkin hän on sitä mieltä, että agentin taustatiedon pitäisi auttaa tutkijaa rakentamaan tilastollinen malli, ja näin ollen viime kädessä vaikuttaa se, mikä ennen viimeksi mainitun tulisi antaa mallille. Siksi, vaikka Bernardo ehkä kannattaakin ainutlaatuisen todennäköisyysarvon saavuttamista tavoitteeksi, hän ei vaadi, että meillä olisi oltava ainutlaatuinen todennäköisyyslaskenta kaikissa kysymyksissä käytettävissämme. Hän kirjoittaa, ” hän analyytikko on tarkoitus olla ainutlaatuinen (usein subjektiivinen) ennen p(w), riippumatta suunnittelun kokeen, mutta tiedeyhteisö oletettavasti on kiinnostunut vertaamalla vastaavan analyytikon henkilökohtainen posterior kanssa viittaus (konsensus) posterior liittyvät julkaistu kokeellinen suunnittelu.” . Toiseksi, bernardolle, tilastollinen päättely ei ole muuta kuin päättämistä eri mallien/teorioiden välillä, jossa päätös sisältää muun muassa hyödyllisyyden toimia olettaen, että malli/teoria on empiirisesti riittävä. Tällöin kyseisen mallin/teorian empiiriseen riittävyyteen vaikuttaminen saattaa sisältää jonkin häviöfunktion . Tämän teoksen luvussa hän on kehittänyt oman versionsa objektiivisesta Bayesilaisuudesta ja käsitellyt useita hänen kertomustaan vastaan nostettuja syytteitä.
yhteisessä luvussaan Gregory Wheeler ja Jon Williamson ovat yhdistäneet objektiivisen Bayesialaisuuden Kyburgin evidentiaaliseen todennäköisyysteoriaan. Tämä kanta Bayesialaisuus tai minkäänlaista Bayesialaisuus näyttää ristiriidassa Kyburg lähestymistapa tilastollinen päättely, joka perustuu hänen evidential teoria todennäköisyys. Tarkastelemme Kyburgin yhtä argumenttia Bayesilaisuutta vastaan. Kyburgin mielestä osittaisia uskomuksia ei tule pitää ”uskomusasteina”, koska (tiukat) Bayesialaiset (kuten Savage) liittyvät oletukseen proposition ainutlaatuisesta todennäköisyydestä. Hän keskusteli intervallipohjaisen todennäköisyyden vangitsevan osittaisia uskomuksiamme epävarmuudesta. Koska intervallipohjainen todennäköisyys ei ole Bayesilainen, tästä seuraa, että osittaisia uskomuksia ei saa käsitellä uskomusasteina. Ottaen huomioon tämän opposition välillä Kyburg näkemys todennäköisyydellä ja tavoite Bayesian näkökulmasta, Wheeler ja Williamson ovat yrittäneet osoittaa, miten ydinajatuksia sekä nämä kaksi näkemystä voisi olla hedelmällisesti mahtuu yhden huomioon tieteellisen inference.
Päättääksemme keskustelumme Bayesilaisesta kannasta pitäen samalla mielessään Royallin esittämän uskonkysymyksen Bayesilaisille, monilla Bayesilaisilla olisi ristiriitaisia tunteita tätä nimitystä kohtaan. Jossain määrin jotkut heistä saattavat pitää sitä sopimattoman yksinkertaisena. Howson olisi samaa mieltä tämän attribuution kanssa siitä havainnosta, että tämä jäisi paitsi joistakin bayesilaisen teorian vivahteista ja hienouksista. Hän yleisesti seuraa de Finetti n linja ottaen Subjektiivinen arvioinnit todennäköisyys. Näitä arviointeja kutsutaan yleensä ” uskomusasteiksi.”Siinä määrin hän siis varmasti ajattelee, että uskonasteilla on keskeinen rooli, koska loppujen lopuksi ne ovat sitä, mihin todennäköisyysfunktio suoraan viittaa. Siksi Uskomuskysymyksen liittäminen Bayesilaisiin on hänen mukaansa jossain määrin järkevää. Hän kuitenkin katsoo, että bayesilaisen teorian tärkein elin koostuu niiden rajoitteiden tunnistamisesta, jotka näille tulisi asettaa niiden johdonmukaisuuden/yhtenäisyyden varmistamiseksi. Hänen paperinsa on antanut raamit Bayesiläisyydelle. Hawthorne saattaa osittain eri mieltä Royall, koska hänen todennäköisyys suhde Lähentymislause osoittaa, että miten eri agentit voisivat sopia lopulta, vaikka ne voisivat hyvin aloittaa vaihtelevalla usko teoriaan. Sekä Weirich että Norton, vaikka he kuuluvat vastakkaisiin leireihin sikäli kuin heidän kantansa Bayesialaisuuteen ovat huolissaan, saattavat olla yhtä mieltä siitä, että Royallin myöntäminen Bayesialaisiksi on loppujen lopuksi perusteltua. Mitä tulee ennustuskysymykseen, monet Bayesialaiset, mukaan lukien ne, jotka työskentelevät konfirmaatioteorian rajoissa, väittäisivät, että konfirmaatiokysymykseen vastaava konfirmaatiokertomus pystyy käsittelemään ennustuskysymyksen, koska Bayesialaisille jälkimmäinen on uskomuskysymyksen alaluokka.