zwakke wet van groot aantal

2.3 Bayesian statistics paradigma

algemeen wordt aangenomen dat het Bayesianisme5 momenteel de dominante visie is in de wetenschapsfilosofie. Sommige statistici zijn verder gegaan en vermoeden jaren geleden dat Bayesiaanse statistieken de dominante statistieken voor de eenentwintigste eeuw zullen zijn. Of dit argument kan worden onderbouwd, valt buiten het toepassingsgebied van deze inleiding. Het is echter onbetwistbaar dat het Bayesiaanse paradigma een centrale rol heeft gespeeld in disciplines als filosofie, statistiek, informatica en zelfs jurisprudentie.

Bayesians zijn in grote lijnen onderverdeeld in subjectieve en objectieve categorieën. Volgens alle Bayesianen moet het geloof van een agent voldoen aan de regels van de waarschijnlijkheidsrekening. Anders, in overeenstemming met het bekende “Nederlandse Boek” argument, de mate van geloof van de agent is onsamenhangend. Subjectieve Bayesianen beschouwen deze (probabilistische) samenhang als zowel een noodzakelijke als een voldoende voorwaarde voor de rationaliteit van de overtuigingen van een agent, en dan (typisch) beweren dat de overtuigingen van rationele agenten zal convergeren in de tijd. Het doel van de wetenschappelijke gevolgtrekking, en de bron van haar” objectiviteit”, is het waarborgen van samenhang en convergentie. Objectieve Bajesianen daarentegen beweren doorgaans dat de voorwaarde van coherentie weliswaar noodzakelijk is, maar niet voldoende is voor het soort objectiviteit dat wetenschappelijke methodologieën mogelijk moeten maken.

Paul Weirich ‘ s paper in dit deel richt zich voornamelijk op subjectieve waarschijnlijkheid. Weirich heeft een Bayesiaanse beslissingstheoretische benadering ontwikkeld waarbij hij overweegt hoe de overtuigingen van een agent kunnen worden herzien in het licht van gegevens. Waarschijnlijkheden vertegenwoordigen de mate van geloof van een agent. Weirich evalueert verschillende aanklachten tegen Bayesianen. Volgens een bezwaar dat hij heeft overwogen, staat het Bayesianisme toe dat de graden van geloof van een agent iets zijn zolang ze voldoen aan de waarschijnlijkheidsrekening. Weirich neemt aan dat het bezwaar impliceert dat Bayesiaanse subjectieve waarschijnlijkheden de idiosyncratische overtuigingen van een agent moeten vertegenwoordigen. Hij verwierp echter het tolerante Bayesianisme ten gunste van zijn versie van het Bayesianisme. De notie van voorwaardelijke waarschijnlijkheid waarop het principe van conditionalisering berust, staat voor hem centraal. Volgens dit principe moet een agent haar geloof in een hypothese (H) in het licht van gegevens (D) bijwerken in overeenstemming met het principe van conditionalisatie, dat zegt dat haar geloof in H nadat de gegevens bekend zijn wordt gegeven door de voorwaardelijke waarschijnlijkheid P(H|D) = P(H&D)/P(D), in de veronderstelling dat P(D) niet nul is. Weirich evalueert ook de aanklachten tegen het gebruik van het principe van conditionalisering. Tot slot vergelijkt hij de Bayesiaanse statistische beslissingstheorie met de klassieke statistiek en sluit hij zijn paper af met een evaluatie van de laatste.een centraal onderzoeksgebied in de wetenschapsfilosofie is de Bayesiaanse bevestigingstheorie. James Hawthorne neemt Bayesiaanse bevestigingstheorie om een logica te bieden van hoe bewijs onderscheid maakt tussen concurrerende hypothesen of theorieën. Hij stelt dat het misleidend is om de Bayesiaanse bevestigingstheorie te identificeren met de subjectieve rekening van waarschijnlijkheid. In plaats daarvan zal elke verklaring die de mate aangeeft waarin een hypothese wordt ondersteund door bewijs als een voorwaardelijke waarschijnlijkheid van de hypothese op het bewijs, waarbij de betrokken waarschijnlijkheidsfunctie voldoet aan de gebruikelijke probabilistische axioma ‘ s, een Bayesiaanse bevestigingstheorie zijn, ongeacht de interpretatie van de notie van waarschijnlijkheid die zij hanteert. Want, op een dergelijke rekening zal de stelling van Bayes uitdrukken hoe wat hypothesen zeggen over bewijs (via de likelihoods) de mate beïnvloedt waarin hypothesen worden ondersteund door bewijs (via posterior probabilities). Hawthorne stelt dat de gebruikelijke subjectieve interpretatie van de probabilistische bevestigingsfunctie ernstig wordt uitgedaagd door uitgebreide versies van het probleem van het oude bewijs. Hij toont aan dat op de gebruikelijke subjectivistische interpretatie zelfs triviale informatie een agent kan leren over een bewijs claim kan volledig ondermijnen de objectiviteit van de waarschijnlijkheden. Dus, voor zover de waarschijnlijkheden geacht worden objectief te zijn (of intersubjectief overeengekomen), kan de bevestigingsfunctie de gebruikelijke subjectivistische lezing niet verdragen. Hawthorne neemt wel eerdere kansen om afhankelijk te zijn van plausibiliteitsbeoordelingen, maar stelt dat dergelijke beoordelingen niet louter subjectief zijn, en dat de Bayesiaanse bevestigingstheorie niet ernstig gehandicapt is door het soort subjectiviteit dat betrokken is bij dergelijke beoordelingen. Hij baseert deze laatste bewering op een krachtig Bayesiaans convergentieresultaat, dat hij de waarschijnlijkheidsratio-convergentiestelling noemt. Deze stelling hangt alleen af van waarschijnlijkheden, niet van eerdere waarschijnlijkheden; en het is een zwakke wet van grote getallen resultaat dat expliciete grenzen biedt aan de snelheid van convergentie. Het toont aan dat naarmate het bewijs toeneemt, wordt het zeer waarschijnlijk dat de evidentiële resultaten zodanig zullen zijn dat de waarschijnlijkheidsratio ‘ s komen om een echte hypothese ten opzichte van elke evidentieel te onderscheiden concurrent sterk te bevoordelen. Dus, elke twee bevestigingsfuncties (gebruikt door verschillende agenten) die het eens zijn over waarschijnlijkheden maar verschillen over eerdere waarschijnlijkheden voor hypothesen (op voorwaarde dat de prior voor de ware hypothese niet te dicht bij 0 is) zullen geneigd zijn om waarschijnlijkheidsratio ‘ s te produceren die de posterieure waarschijnlijkheden naar 0 voor valse hypothesen en naar 1 Voor het ware alternatief brengen.John D. Norton probeert een tegenwicht te bieden aan de nu dominante opvatting dat de Bayesiaanse bevestigingstheorie erin geslaagd is de universele logica te vinden die het bewijs en zijn inductieve invloed in de wetenschap beheerst. Hij laat toe dat Bayesianen goede redenen hebben voor optimisme. Waar vele anderen gefaald hebben, slaagt hun systeem erin een precieze calculus te specificeren, de inductieve principes van andere rekeningen uit te leggen en ze te combineren tot één consistente theorie. Hij dringt er echter op aan dat de dominantie ervan pas onlangs is ontstaan in de eeuwen van Bayesiaanse theoretisering en misschien niet zal duren gezien het voortbestaan van de problemen waarmee het wordt geconfronteerd.

veel van de problemen die Norton identificeert voor de Bayesiaanse bevestigingstheorie betreffen technische details die onze lezers min of meer verontrustend kunnen vinden. Volgens hem komt de grootste uitdaging voort uit de Bayesiaanse ambitie om een volledig verslag van inductieve gevolgtrekking te geven dat onze inductieve redenering terugvoert naar een initiële, neutrale staat, voorafgaand aan de opname van enig bewijs. Wat deze aspiratie verslaat, volgens Norton, is het bekende, recalcitrante probleem van de priors, verteld in twee vormen in zijn hoofdstuk. In één vorm is het probleem dat de posterieure P(H|D&B), die de inductieve ondersteuning van gegevens D voor hypothese H in combinatie met achtergrondinformatie B uitdrukt, volledig wordt gefixeerd door de twee “eerdere” waarschijnlijkheden, P(H&D|B) en P(D|B). Als men een subjectivist is en van mening is dat de eerdere waarschijnlijkheden op grillen kunnen worden geselecteerd, alleen afhankelijk van de axioma ‘ s van de waarschijnlijkheidsrekening, dan kan volgens Norton de posterior P(H|D&B) nooit van die grillen worden bevrijd. Of als men een objectivist is en van mening is dat er slechts één correcte prior kan zijn in elke specifieke situatie, dan, zoals uitgelegd in zijn hoofdstuk, sluit de additieve werking van een waarschijnlijkheidsmaat uit dat men werkelijk “informatieloze priors” toewijst.”Dat is ten goede, volgens Norton, omdat een echt informatieloze prior dezelfde waarde zou toekennen aan elke voorwaardelijke propositie in de algebra. De functionele afhankelijkheid van een posterior van de priors zou dan alle niet-triviale posteriors dwingen tot een enkele, informatieloze waarde. Daarom kan een Bayesiaanse rekening niet-triviaal zijn, stelt Norton, alleen als het begint met een rijke eerdere kansverdeling waarvan de inductieve inhoud wordt geleverd door andere, niet-Bayesiaanse middelen.

drie papers in het boek onderzoeken de mogelijkheid dat Bayesiaanse rekening kan worden weergegeven als een vorm van logica. Colin Howson beweert dat het Bayesianisme een vorm van deductieve logica van de gevolgtrekking is, terwijl Roberto Festa en Jan-Willem Romeijn beweren dat de Bayesiaanse theorie kan worden gegoten in de vorm van inductieve gevolgtrekking. Om te onderzoeken of Bayesian account kan worden beschouwd als een vorm van deductieve gevolgtrekking, kijkt Howson kort naar de laatste driehonderd jaar van wetenschappelijke gevolgtrekking en richt hij zich vervolgens op waarom hij denkt dat Bayesian gevolgtrekking moet worden beschouwd als een vorm van pure logica van gevolgtrekking. Rekening houdend met het debat over de vraag of probabilistische gevolgtrekking kan worden beschouwd als logica van consistentie of coherentie, bespreekt hij de waarschijnlijkheidstheorie van de Finetti waarbij de Finetti de waarschijnlijkheidstheorie gebruikte om niets over de wereld te zeggen, maar het als een “logica van onzekerheid” beschouwt.”Een motiverende reden om te overwegen waarom Bayesiaanse gevolgtrekking moet worden genomen als een logica van pure logica is om op te merken dat hij het niet eens is met Kyburg’ s onderscheid tussen de uitdrukking “consistentie” van toepassing zijn op een systeem dat geen twee inconsistente overtuigingen bevat en de uitdrukking “coherentie” van toepassing zijn op graden van geloof. Voor Howson is de analogie met deductieve logica tussen de laatste die consistentiebeperkingen oplegt aan waarheidsevaluaties en de regels van de kansrekening die beperkingen opleggen in graad van geloof. De rest van zijn artikel is gewijd aan het ontwikkelen en interpreteren van Bayesiaanse gevolgtrekking als een vorm van pure logica van gevolgtrekking.zowel Festa als Romeijn betreuren het dat in de afgelopen eeuw statistieken en inductieve gevolgtrekkingen min of meer onafhankelijk van elkaar zijn ontwikkeld en tot bloei zijn gekomen, zonder duidelijke tekenen van symbiose. Festa zoomt in op Bayesiaanse statistieken en de theorie van de inductieve waarschijnlijkheden van Carnap, en toont aan dat ondanks hun verschillende conceptuele bases, de methoden die binnen de laatste in wezen identiek zijn aan die welke binnen de eerste worden gebruikt. Hij stelt dat sommige concepten en methoden van inductieve logica kunnen worden toegepast in de rationele reconstructie van verschillende statistische noties en procedures. Volgens hem suggereert inductieve logica een aantal nieuwe methoden die kunnen worden gebruikt voor verschillende soorten statistische gevolgtrekkingen met analoge overwegingen. Ten slotte laat Festa zien hoe een Bayesiaanse versie van waarheidsbenadering kan worden ontwikkeld en geïntegreerd in een statistisch kader.7

Romeijn onderzoekt ook de relatie tussen statistiek en inductieve logica. Hoewel inductieve logica en statistiek zich afzonderlijk hebben ontwikkeld, vindt Romeijn, net als Festa, dat het tijd is om de onderlinge relatie tussen beide te onderzoeken. In zijn artikel onderzoekt hij of het mogelijk is om verschillende wijzen van statistische gevolgtrekking weer te geven in termen van inductieve logica. Romeijn beschouwt drie belangrijke ideeën in de statistiek om de link te smeden. Het gaat om (I) Neyman-Pearson hypothese testen (NPTH), (ii) maximale waarschijnlijkheid schatting, en (iii) Bayesiaanse statistieken. Romeijn toont, met behulp van zowel Carnapische als Bayesiaanse inductieve logica, dat de laatste van twee van deze ideeën (d.w.z., maximale waarschijnlijkheid schatting en Bayesiaanse statistieken) kan natuurlijk worden weergegeven in termen van een niet-ampliatieve inductieve logica. In het laatste deel van zijn hoofdstuk wordt NPTH verbonden met de Bayesiaanse inductieve logica door middel van interval-gebaseerde waarschijnlijkheden over de statistische hypothesen.

aangezien er subjectieve Bayesianen zijn, zijn er ook objectieve Bayesianen. José Bernardo is een van hen. Aangezien veel filosofen zich over het algemeen niet bewust zijn van Bernardo ‘ s werk, zullen we er een relatief langere discussie aan wijden. Bernardo schrijft dat ” t standaardpraktijk is geworden,…, om elke statistische analyse die alleen afhangt van het veronderstelde model als ‘objectief’ te beschrijven. In deze precieze zin (en alleen in deze zin) is referentieanalyse een methode om ‘objectieve’ Bayesiaanse gevolgtrekking te produceren” .

voor Bernardo moet de referentieanalyse die hij heeft bepleit om zijn merk van objectief Bayesianisme te promoten worden begrepen in termen van een parametrisch model van de vorm M≡{P(x / w), x∈X,W Ω Ω}, die de omstandigheden beschrijft waaronder gegevens zijn gegenereerd. Hier wordt aangenomen dat de gegevens x bestaan uit één waarneming van het willekeurige proces x ∈ X met kansverdeling P(x|w) voor een deel W Ω Ω. Een parametrisch model is een voorbeeld van een statistisch model. Bernardo definieert θ = θ (w) Θ Θ als een vector van belang. Alle legitieme Bayesiaanse gevolgtrekkingen over de waarde θ worden gevangen in de posterieure verdeling P(θ|x) λ λp(x|θ,λ)p (θ,λ)dλ mits deze gevolgtrekkingen worden gemaakt volgens een aangenomen model. Hier is λ een vector van hinderparameters en wordt vaak aangeduid als “model” P (x / λ).

de aantrekkingskracht van dit soort objectivisme is de nadruk op “referentieanalyse”, die met behulp van statistische instrumenten verdere vooruitgang heeft geboekt in het veranderen van zijn thema van objectiviteit in een respectabele statistische school binnen het Bayesianisme. Zoals Bernardo schrijft, “eferentieanalyse kan worden beschreven als een methode om model-gebaseerde, niet-subjectieve posteriors af te leiden, gebaseerd op de informatie-theoretische ideeën, en bedoeld om de inferentiële inhoud van de gegevens voor wetenschappelijke communicatie te beschrijven” . Hier bedoelt hij met de “inferentiële inhoud van de gegevens” dat de eerste “de basis vormt voor een methode om niet-subjectieve posteriors af te leiden” (Ibid). Bernardo ‘ s doelstelling Bayesianisme bestaat uit de volgende beweringen.

ten eerste is hij van mening dat de achtergrondinformatie van de agent De onderzoeker moet helpen een statistisch model op te bouwen, vandaar uiteindelijk invloed die voorafgaand aan de laatste zou moeten toewijzen aan het model. Daarom, hoewel Bernardo zou kunnen onderschrijven het bereiken van een unieke kanswaarde als doel, hij vereist niet dat we nodig hebben om de unieke kans toewijzing in alle kwesties tot onze beschikking. Hij schrijft: “hij analist wordt verondersteld een unieke (vaak subjectieve) voorafgaande p(w) te hebben, onafhankelijk van het ontwerp van het experiment, maar de wetenschappelijke gemeenschap zal vermoedelijk geïnteresseerd zijn in het vergelijken van de overeenkomstige analist’ s persoonlijke posterior met de referentie (consensus) posterior geassocieerd met het gepubliceerde experimentele ontwerp.” . Ten tweede, voor Bernardo, statistische gevolgtrekking is niets anders dan een geval van beslissen tussen verschillende modellen/theorieën, waar de beslissing omvat, onder andere, het nut van het handelen op basis van de veronderstelling dat het model/theorie empirisch adequaat. Hier kan het nut van handelen op basis van de empirische geschiktheid van het model/de theorie in kwestie enige verliesfunctie met zich meebrengen . In zijn Hoofdstuk voor dit deel heeft hij zijn versie van objectief Bayesianisme ontwikkeld en verschillende aanklachten tegen zijn verslag behandeld.in hun gezamenlijke hoofdstuk hebben Gregory Wheeler en Jon Williamson objectief Bayesianisme gecombineerd met Kyburg ‘ s evidential theory of probability. Deze positie van het Bayesianisme of enige vorm van het Bayesianisme lijkt op gespannen voet te staan met Kyburg ‘ s benadering van statistische gevolgtrekking die berust op zijn bewijstheorie van waarschijnlijkheid. We zullen Kyburg ‘ s enige argument tegen het Bayesianisme overwegen. Kyburg vindt dat we partiële overtuigingen niet als “graden van geloof” moeten beschouwen, omdat (strikte) Bayesianen (zoals Savage) geassocieerd worden met de aanname van een unieke kans op een stelling. Hij besprak de interval-gebaseerde waarschijnlijkheid als het vastleggen van onze gedeeltelijke overtuigingen over onzekerheid. Aangezien de interval-gebaseerde waarschijnlijkheid niet Bayesiaans is, volgt hieruit dat we partiële overtuigingen niet mogen behandelen als graden van geloof. Gezien deze tegenstelling tussen Kyburg ‘ s visie op waarschijnlijkheid en objectieve Bayesiaanse visie, Wheeler en Williamson hebben geprobeerd om te laten zien hoe kernideeën van beide deze twee standpunten vruchtbaar konden worden ondergebracht in een enkel verslag van wetenschappelijke gevolgtrekking.om onze discussie over de Bayesiaanse positie af te sluiten terwijl Royall ‘ s attributie van de geloofsvraag aan Bayesianen in gedachten houdt, zouden veel Bayesianen gemengde gevoelens hebben over deze attributie. Tot op zekere hoogte zouden sommigen van hen het als ongepast eenvoudig van geest kunnen beschouwen. Howson zou het eens zijn met deze toeschrijving met de opmerking dat dit een aantal van de nuances en subtiliteiten van de Bayesiaanse theorie zou missen. Hij volgt in grote lijnen de lijn van de Finetti in het nemen van subjectieve evaluaties van waarschijnlijkheid. Deze evaluaties worden meestal genoemd ” graden van geloof.”Dus in die mate denkt hij zekerheid dat er een centrale rol is voor graden van geloof, omdat ze immers zijn wat direct wordt bedoeld door de waarschijnlijkheidsfunctie. Daarom, volgens hem, de toeschrijving van de geloofsvraag aan Bayesianen is een beetje logisch. Hij is echter van mening dat het belangrijkste deel van de Bayesiaanse theorie bestaat in het identificeren van de beperkingen die moeten worden opgelegd aan deze om hun consistentie/coherentie te waarborgen. Zijn paper heeft dat kader verschaft voor het Bayesianisme. Hawthorne kan het gedeeltelijk oneens zijn met Royall omdat zijn Waarschijnlijkheidsratio Convergentiestelling laat zien dat hoe verschillende agenten het uiteindelijk eens zouden kunnen zijn, ook al zouden ze heel goed kunnen beginnen met verschillende graden van geloof in een theorie. Zowel Weirich als Norton, hoewel ze tot tegengestelde kampen behoren wat betreft hun standpunten ten opzichte van het Bayesianisme, zouden het erover eens kunnen zijn dat Royall ‘ s attributie aan Bayesians toch gerechtvaardigd is. Met betrekking tot de voorspellings vraag, veel Bayesianen, met inbegrip van degenen die werken binnen de grenzen van de bevestiging theorie, zou beweren dat een verslag van de bevestiging dat reageert op de geloofsvraag is in staat om de voorspelling vraag te behandelen, omdat, voor Bayesianen, de laatste is een sub-klasse van de geloofsvraag.