8.3: orbitaal magnetisch dipoolmoment van het elektron
leerdoelen
aan het einde van deze sectie zult u in staat zijn om:
- leg uit waarom het waterstofatoom magnetische eigenschappen heeft
- leg uit waarom de energieniveaus van een waterstofatoom geassocieerd met orbitale impulsmoment worden gesplitst door een extern magnetisch veld
- gebruik kwantumgetallen om de magnitude en richting van het orbitale magnetische dipoolmoment van een waterstofatoom
in Bohr ‘ s model van het waterstofatoom beweegt het elektron in een cirkelbaan rond het proton. Het elektron passeert in een bepaalde tijd een bepaald punt op de lus, zodat we een stroom \(I = Q/t\) kunnen berekenen. Een elektron dat om een proton draait in een waterstofatoom is daarom analoog aan de stroom die door een cirkeldraad stroomt (figuur \(\Paginindex{1}\)). In de studie van magnetisme zagen we dat een stroomdragende draad magnetische velden produceert. Het is daarom redelijk te concluderen dat het waterstofatoom een magnetisch veld produceert en met andere magnetische velden in wisselwerking staat.
Het magnetisch dipoolmoment in de baan is een maat voor de sterkte van het magnetisch veld dat wordt geproduceerd door het impulsmoment in de baan van een elektron. Van kracht en koppel op een stroomlus is de magnitude van het magnetisch dipoolmoment voor een stroomlus
\
waarbij \(I\) de stroom is en \(A\) het gebied van de lus. (In het kort noemen we dit het magnetische moment.) De stroom \(I\) geassocieerd met een elektron in een baan rond een proton in een waterstofatoom is
\
waarbij e de magnitude van de elektronlading is en \(T\) de baanperiode is. Als we aannemen dat het elektron in een perfect cirkelvormige baan reist, is de baanperiode
\
waarin r de straal van de baan is en v De snelheid van het elektron in zijn baan. Aangezien het oppervlak van een cirkel \(\pi r^2\) is, is het absolute magnetische moment
\
Het is nuttig om het magnetische momentum μμ uit te drukken in termen van het orbitale impulsmoment (\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\)). Omdat het elektron in een cirkel draait, vormen de positievector \(\vec{r}\) en de momentumvector \(\vec{p}\) een rechte hoek. De magnitude van het orbitale impulsmoment is dus
\
door deze twee vergelijkingen te combineren, hebben we
\
in volledige vectorvorm, deze uitdrukking wordt geschreven als
\
het negatieve teken verschijnt omdat het elektron een negatieve lading heeft. Merk op dat de richting van het magnetische moment van het elektron antiparallel is met het orbitale impulsmoment, zoals weergegeven in Figuur \(\Paginindex{1b}\). In het Bohr-model van het atoom is de relatie tussen \(\vec{\mu}\) en \(\vec{L}\) in vergelijking \ref{BIG} onafhankelijk van de straal van de baan.
het magnetische moment \(μ\) kan ook worden uitgedrukt in termen van het orbitale hoekige kwantumgetal \(l\). Het combineren van Vergelijking \ref{eq2} en Vergelijking \ref{eq1}, de grootte van het magnetisch moment is
\
De z-component van het magnetisch moment is
\ &= – \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, m \hbar \\ &= – \mu_B m. \label{eq6} \end{align}\]
De hoeveelheid \(\mu_B\) is een van de fundamentele eenheid van magnetisme heet het Bohr magneton, die de waarde van \(9.3 \maal 10^{-24} \, Joule/Tesla -\) (J/T) of \(5.8 \maal 10^{-5} eV/T\). Kwantisatie van het magnetisch moment is het resultaat van kwantisatie van het orbitale impulsmoment.
zoals we in de volgende paragraaf zullen zien, is het totale magnetische dipoolmoment van het waterstofatoom te wijten aan zowel de baanbeweging van het elektron als zijn intrinsieke spin. Voor nu, negeren we het effect van elektronen spin.
voorbeeld \(\Paginindex{1}\): magnetisch dipoolmoment
Wat is de magnitude van het magnetisch dipoolmoment μ van een elektron in het waterstofatoom in de (A) S-toestand, (b) p-toestand, en (c) d-toestand? (Stel dat de rotatie van het elektron nul is.)
strategie
het magnetische momentum van het elektron is gerelateerd aan zijn orbitale impulsmoment L. Voor het waterstofatoom is deze hoeveelheid gerelateerd aan het orbitale hoekkwantumgetal l. de toestanden worden gegeven in spectroscopische notatie, die een letter (s, p, d, enz.) tot een kwantumgetal.
oplossing
de magnitude van het magnetische moment wordt gegeven in vergelijking \ref{eq5}:
\ &= \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, \sqrt{l(l + 1)} \hbar \nonumber \\ &= \mu_b\sqrt{L(L + 1)}. \ end{align}\]
- voor de S-toestand, \(l = 0\) dus we hebben \(\mu = 0\) en \(\mu_z = 0\).
- voor de P-toestand, \(l = 0\) en we hebben \ \ waar \(m = (-1, 0, 1)\) dus \
- voor de D-toestand, \(l = 2\) en we verkrijgen \ \ waar \(m = (-2, -1, 0, 1, 2)\) dus \
significantie
In de S-toestand is er geen orbitaal impulsmoment en dus geen magnetisch moment. Dit betekent niet dat het elektron in rust is, alleen dat de totale beweging van het elektron geen magnetisch veld produceert. In de P-toestand heeft het elektron een magnetisch moment met drie mogelijke waarden voor de Z-component van dit magnetische moment; dit betekent dat magnetisch moment in drie verschillende polaire richtingen kan wijzen—elk antiparallel met de orbitale impulsmomentvector. In de D-toestand heeft het elektron een magnetisch moment met vijf mogelijke waarden voor de Z-component van dit magnetische moment. In dit geval kan het magnetische moment in vijf verschillende poolrichtingen wijzen.
een waterstofatoom heeft een magnetisch veld, dus we verwachten dat het waterstofatoom interactie heeft met een extern magnetisch veld—zoals het duwen en trekken tussen twee staafmagneten. Uit kracht en koppel op een stroomlus weten we dat wanneer een stroomlus interageert met een extern magnetisch veld \(\vec{B}\), het een koppel ervaart gegeven door
\
waar I de stroom is, \(\vec{A}\) het gebied van de lus is, \(\vec{\mu}\) het magnetische moment is, en \(\vec{B}\) het externe magnetische veld. Dit koppel werkt om de magnetische momentvector van het waterstofatoom te draaien om uit te lijnen met het externe magnetische veld. Omdat mechanisch werk wordt gedaan door het externe magnetische veld op het waterstofatoom, kunnen we praten over energietransformaties in het atoom. De potentiële energie van het waterstofatoom geassocieerd met deze magnetische interactie wordt gegeven door vergelijking \ref{eq30}:
\
als het magnetische moment antiparallel is met het externe magnetische veld, is de potentiële energie groot, maar als het magnetische moment evenwijdig is met het veld, is de potentiële energie klein. Het werk dat aan het waterstofatoom wordt gedaan om de magnetische momentvector van het atoom in de richting van het externe magnetische veld te draaien, wordt daarom geassocieerd met een daling van de potentiële energie. De energie van het systeem wordt echter behouden, omdat een daling van de potentiële energie straling (de emissie van een foton) produceert. Deze energietransities worden gekwantiseerd omdat het magnetische moment slechts in bepaalde richtingen kan wijzen.
Als het externe magnetische veld de punten in de positieve z-richting, de potentiële energie geassocieerd met de orbital magnetisch dipoolmoment is
\
waar \(\mu_B\) is de Bohr magneton en m is het impulsmoment projectie quantum-nummer (of magnetische orbital quantum-nummer), welke de waarden
\
bijvoorbeeld, in de \(l = 1\) het elektron staat, de totale energie van het elektron is opgesplitst in drie verschillende energie niveaus overeenkomt met \(U = -\mu_B B, 0, \mu_B B\).
het splitsen van energieniveaus door een extern magnetisch veld wordt het Zeeman-effect genoemd. Zonder de effecten van elektronenspin te negeren, produceren overgangen van de \(l = 1\) toestand naar een gemeenschappelijke lagere energietoestand drie dicht op elkaar liggende spectraallijnen (figuur \(\Paginindex{2}\), linkerkolom). Evenzo produceren overgangen van de \(l = 2\) toestand vijf dicht op elkaar liggende spectraallijnen (rechterkolom). De scheiding van deze lijnen is evenredig met de sterkte van het externe magnetische veld. Dit effect heeft vele toepassingen. Bijvoorbeeld, de splitsing van lijnen in het waterstofspectrum van de zon wordt gebruikt om de sterkte van het magnetisch veld van de zon te bepalen. Veel van dergelijke magnetische veldmetingen kunnen worden gebruikt om een kaart te maken van de magnetische activiteit aan het oppervlak van de zon, een magnetogram genaamd (figuur \(\Paginindex{3}\)).
bijdragers en toeschrijvingen
Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), en Bill Moebs met vele bijdragende auteurs. Dit werk is gelicenseerd door OpenStax University Physics onder een Creative Commons Attribution License (door 4.0).